3°
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :
ax2 + bx + c = 0
donde a , b
y
c son números reales y
Y
A
B
E
C
X’
D
X1 = 0
X2 = 3
Y’
X
a ≠ 0
CUADRATICO
Segundo Grado
ax2
INDEPENDIENTE
+ bx
+ c
LINEAL
Primer Grado
ELEMENTOS
=
0
ax2 + bx + c = 0
CUADRATICO + LINEAL + INDEPENDIENTE
ax2 + bx = 0
CUADRATICO + LINEAL
ax2 + c = 0
CUADRATICO + INDEPENDIENTE
ENCONTRAR EL VALOR DE SUS DOS RAICES
PROCEDIMIENTO GRAFICO
COMPLETANDO UN
CUADRADO
FACTORIZACION
FORMULA GENERAL
François Viète
(1540 – 1603)
Matemático francés. Se le considera uno de los principales precursores
del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una
ecuación con letras.
FORMULA GENERAL
COMPLETANDO UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
RESOLUCION DE PROBLEMAS
FACTORIZACION
PROCEDIMIENTO GRAFICO
FACTORIZACION
UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :
ax2 + bx + c = 0
a , b
y
a ≠ 0
c son números reales y
Y
A
B
E
C
X’
D
X1 = 0
X2 = 3
Y’
X
CUADRATICO
Segundo Grado
ax2
INDEPENDIENTE
+ bx
+ c
LINEAL
Primer Grado
ELEMENTOS
=
0
Y
E
X1 = - 5
Eje Real
A
X’
D
X
X2 = 4
B
C
Parábola Secante
Y’
Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
Tipo
x2
Signos iguales
EJEMPLO No. 1
+ 11x + 30
( x + 6 )( x +
= 0
TRINOMIO CUADRADO
5 ) = 0
Igualamos con cero y resolvemos
(x + 6)= 0
(x + 5)= 0
x1 = - 6
+ 30
+ 1
+ 15
+ 2
+ 10
+ 3
+ 6
+ 5
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
x2 = - 5
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
*
ES LA RESPUESTA
Par de números
que multiplican + 30 y suman + 11
Signo del mayor
x2
+ 13x
Signos diferentes
- 30
( x + 15 ) ( x -
EJEMPLO No. 2
= 0
TRINOMIO CUADRADO
2 ) = 0
Igualamos con cero y resolvemos
( x + 15 ) = 0
(x - 2 )= 0
x1 = - 15
+ 30
- 1
+ 15
- 2
*
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
x2 = + 2
ES LA RESPUESTA
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Par de números
que multiplican - 30 y suman + 13
Signo del mayor
x2
Signos diferentes
- 3x
- 40
( x - 8 )( x +
EJEMPLO No. 3
= 0
TRINOMIO CUADRADO
5 ) = 0
Igualamos con cero y resolvemos
(x - 8) = 0
(x+ 5 )= 0
x1 = + 8
- 40
+ 1
- 20
+ 2
- 10
+ 4
- 8
+ 5
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
x2 = - 5
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
*
ES LA RESPUESTA
Par de números
que multiplican - 40 y suman - 3
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
Signos iguales
Tipo de signo
EJEMPLO No. 4
3x ( 7 )
9x2
+ 21x
+ 10
= 0
3x
( 3x + 5 ) ( 3x +
2 ) = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Igualamos con cero y resolvemos
( 3x + 5 ) = 0
( 3x + 2 ) = 0
x1 = - 5/3
+ 10
+ 1
+ 5
+ 2
*
x2 = - 5/3
Par de números
que multiplican + 10 y suman + 7
ES LA RESPUESTA
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
Signos diferentes
Signo del mayor
EJEMPLO No. 5
5x ( 8 )
25x2 + 40x
- 9
= 0
5x
( 5x + 9 ) ( 5x - 1 ) = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Igualamos con cero y resolvemos
( 5x + 9 ) = 0
( 5x - 1 ) = 0
x1 = - 9/5
+ 9
- 1
*
x2 = 1/5
ES LA RESPUESTA
Par de números
que multiplican - 9 y suman + 8
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
Signos diferentes
Signo del mayor
EJEMPLO No. 6
7x ( 2 )
49x2 + 14x
- 3
= 0
7x
( 7x + 3 ) ( 7x - 1 ) = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Igualamos con cero y resolvemos
( 7x + 3 ) = 0
( 7x - 1 ) = 0
x1 = - 3/7
+ 3
- 1
*
x2 = 1/7
ES LA RESPUESTA
Par de números
que multiplican - 3 y suman + 2
COEFICIENTE NO CUADRATICO
EJEMPLO No. 7
15
por
5x2
- 3
+ 14x
= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Sustituimos
*
( 5x2 + 15x ) - ( x - 3 ) = 0
5x ( x + 3 ) - 1( x + 3 ) = 0
( 5x - 1 ) ( x + 3 ) = 0
Se forma dos parejas y buscamos factor
común monomio
Igualamos con cero y resolvemos
( 5x - 1 ) = 0
(x + 3 ) = 0
x1 = 1/5
+ 15
- 1
*
x2 = - 3
ES LA RESPUESTA
Par de números
que multiplican - 15 y suman + 14
COEFICIENTE NO CUADRATICO
EJEMPLO No. 8
70
por
7x2
- 10
- 33x
= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Sustituimos
( 7x2 - 35x ) + ( 2x - 10 ) = 0
7x ( x - 5 ) + 2( x - 5 ) = 0
( 7x + 2 ) ( x - 5 ) = 0
Se forma dos parejas y buscamos factor
común monomio
Igualamos con cero y resolvemos
( 7x + 2 ) = 0
(x - 5 ) = 0
x1 = - 2/7
- 35
+ 2
*
x2 =
ES LA RESPUESTA
5
Par de números
que multiplican - 70 y suman - 33
EJEMPLO No. 9
24
por
8x2
- 3
- 23x
= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Sustituimos
( 8x2 - 24x ) + ( x - 3 ) = 0
8x ( x - 3 ) + 1( x - 3 ) = 0
( 8x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
Se forma dos parejas y buscamos factor
común monomio
Igualamos con cero y resolvemos
( 8x + 1 ) = 0
(x - 3 ) = 0
x1 = - 1/8
- 24
+ 1
*
x2 =
ES LA RESPUESTA
3
Par de números
que multiplican - 24 y suman - 23
EJEMPLO No. 10
30
por
3x2
+ 10
+ 11x
= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Sustituimos
( 3x2 + 6x ) + (5x + 10 ) = 0
3x ( x + 2 ) + 5( x + 2 ) = 0
( 3x + 5 ) ( x + 2 ) = 0
Se forma dos parejas y buscamos factor
común monomio
Igualamos con cero y resolvemos
( 3x + 5 ) = 0
(x - 3 ) = 0
x1 = - 5/3
+ 6
+ 5
*
x2 =
ES LA RESPUESTA
3
Par de números
que multiplican + 30 y suman + 11
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 + 17x + 66 = 0
( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0
x1 = - 11 y x2 = - 6
x2 - x
- 56 = 0
(x - 8) (x + 7) = 0
x1 = 8 y x 2 = - 7
x2 - 11x - 26 = 0
( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0
x1 = 13 y x2 = - 2
x2 - 18x + 72 = 0
( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 12 y x2 = 6
x2 + 19x + 70 = 0
( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0
x1 = - 14
y x2 = - 5
x2 - 8x + 7 = 0
(x-7) (x-1) = 0
x1 = 7 y x 2 = 1
x2 - 19x + 78 = 0
( x - 13 ) ( x - 1 ) = 0
x1 = 13 y x2 = 1
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 + 17x + 66 = 0
x2 - x
- 56 = 0
( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0
x1 = - 11 y x2 = - 6
(x-8 ) (x+7)=0
x1 = 8 y x 2 = - 7
x2 - 11x - 26 = 0
( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0
x1 = 13 y x2 = - 2
x2 - 18x + 72 = 0
( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 12 y x2 = 6
x2 + 19x + 70 = 0
( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0
x1 = - 14 y x2 = - 5
x2 - 8x + 7 = 0
(x-7) (x-1) = 0
x1 = 7 y x 2 = 1
x2 - 19x + 78 = 0
( x - 13 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 13 y x2 = 6
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 - 8x - 9
=0
(x-9) (x+1)=0
x1 = 9 y x 2 = - 1
x2 + 21x + 90 = 0
( x + 15 ) ( x + 6 ) = 0
x1 = - 15 y x2 = - 6
x2 - 3x - 88 = 0
( x - 11 ) ( x + 8 ) = 0
x1 = 11 y x2 = - 8
x2 + 3x - 108 = 0
( x + 12 ) ( x - 9 ) = 0
x1 = -12 y x2 = 9
x2 - 13x + 42 = 0
(x-7) (x - 6) = 0
x1 = 7 y x 2 = 6
x2 + 15x + 50 = 0
( x + 10 ) ( x + 5 ) = 0
x1 = -10 y x2 = - 5
x2 + 10x - 39 = 0
( x + 13 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = -13 y x2 = 3
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
121x2 + 22x – 3 = 0
( 11 x + 3 ) ( 11x + 1 ) = 0
x1 = - 3/11 y x2 = 1/11
9x2 - 9x - 70 = 0
( 3x + 7 ) ( 3x – 10 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = 10/3
64x2 + 16x + 2 = 0
( 8x + 1 ) ( 8x + 1 ) = 0
x1 = - 1/8 y x2 = -1/8
36x2 - 72x + 32 = 0
( 6x - 8 ) ( 6x - 4 ) = 0
x1 = 8/3 y x2 = 4/3
25x2 + 55x - 26 = 0
( 5x + 13 ) ( 5x – 2 ) = 0
x1 = -13/5 y x2 = 2/5
49x2 + 42x + 5 = 0
( 7x + 5 ) ( 7x + 1 ) = 0
x1 = -5/7 y x2 = - 1/7
81x2 + 54x - 16 = 0
( 9x - 8 ) ( 9x + 2 ) = 0
x1 = - 8/9 y x2 = 2/9
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
4x2 + 6x – 54 = 0
( 2x + 9 ) ( 2x - 3 ) = 0
x1 = - 9/2 y x2 = 3
49x2 - 70x + 16 = 0
( 7x - 2 ) ( 7x - 8 ) = 0
x1 = 2/7 y x2 = 8/7
16x2 + 44x - 12 = 0
( 4x + 12 ) ( 4x - 1 ) = 0
x1 = - 3 y x2 = 1/4
25x2 + 60x + 27 = 0
( 5x + 9 ) ( 5x + 3 ) = 0
x1 = -9/5 y x2 = - 3/5
100x2 + 40x – 12 = 0
( 10x + 6 ) ( 10x - 2 ) = 0
x1 = -3/5 y x2 = 1/5
9x2 + 39x + 42 = 0
( 3x + 7 ) ( 3x + 6 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = -2
36x2 - 30x + 4 = 0
( 6x - 4 ) ( 6x - 1 ) = 0
x1 = 2/3 y x = 1/6
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
12x2 - 10x – 12 = 0
( 4x – 6 ) ( 3x + 2 ) = 0
x1 = 3/2 y x2 = -2/3
3x2 + 5x – 42 = 0
( 3x + 14 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = - 14/3 y x2 = 3
14x2 - 3x - 5 = 0
( 7x – 5 ) ( 2x + 1 ) = 0
x1 = 5/7 y x2 = -1/2
6x2 - 10x - 16 = 0
( 2x + 2 ) ( 3x - 8 ) = 0
x1 = -1 y x2 = 8/3
18x2 - 25x – 3 = 0
6x2 - 17x - 45 = 0
10x2 - 34x + 12 = 0
( 9x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0
x1 = -1/9 y x2 = 3/2
( 3x + 5 ) ( 2x – 9 ) = 0
x1 = -5/3 y x2 = 9/2
( 5x - 2 ) ( 2x - 6 ) = 0
x1 = 2/5 y x2 = 3
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
2x2 - 15x – 77 = 0
( 2x + 7 ) ( x – 11 ) = 0
x1 = -7/2 y x2 = 11
2x2 + 4x - 30 = 0
( 2x + 10 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = - 5 y x 2 = 3
6x2 - x - 35 = 0
( 3x + 7 ) ( 2x - 5 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = 5/2
6x2 + 3x - 30 = 0
( 2x + 5 ) ( 3x – 6 ) = 0
x1 = -5/2 y x2 = 2
15x2 + 25x – 40 = 0
( 5x – 5 ) ( 3x + 8 ) = 0
x1 = 1 y x2 = -8/3
8x2 - 29x - 42 = 0
( 8x + 3 ) ( x - 4 ) = 0
x1 = - 3/8 y x2 = 4
3x2 - 4x - 7 = 0
( 3x - 7 ) ( x + 1 ) = 0
x1 = 7/3 y x2 = 1
Y
A
B
E
C
X’
D
X1 =
0
Eje Real
X
X2 = 3
Parábola Secante
Y’
Ecuación de la forma ax2 + bx = 0
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
EJEMPLO No. 1
x2
+
11x
=
0
Factor común
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
x ( x + 11 ) =
0
Igualamos con cero y resolvemos
x = 0
x1 = 0
*
x + 11 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
x2 = - 11
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
EJEMPLO No. 2
5x2 -
15x
=
0
Factor común
5x ( x - 3 )
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
=
0
Igualamos con cero y resolvemos
5x = 0
x - 3 = 0
x1 = 0
x2 = 3
*
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
EJEMPLO No. 3
9x2 +
18x
=
0
Factor común
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
9x ( x + 2 ) =
0
Igualamos con cero y resolvemos
9x = 0
x1 = 0
*
x+ 2= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
x2 = - 2
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
EJEMPLO No. 4
7x2 -
35x
=
0
Factor común
7x ( x - 5 )
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
=
0
Igualamos con cero y resolvemos
7x = 0
x1 = 0
*
x- 5= 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
x2 = 5
UNA DE SUS RAICES ES CERO
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 + 17x = 0
x ( x + 17 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 17
x2 - x
= 0
x(x-1) = 0
x1 = 0 y x 2 = 1
x2 - 11x
= 0
x ( x - 11 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 11
x2 - 18x
= 0
x ( x - 18 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 18
x2 + 19x = 0
x ( x + 19 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -19
x2 - 8x
= 0
x (( x - 8 ) = 0
x1 = 0 y x 2 = 8
x2 - 10x
= 0
X ( x - 10 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 10
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
4x2 + 6x = 0
2x ( 2x + 3 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -3/2
49x2 - 10x = 0
x ( 49x – 10 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 10/49
16x2 + 44x = 0
4x ( 4x + 11 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 11/4
25x2 + 60x = 0
5x ( 5x + 12 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 12/5
100x2 + 40x = 0
20x ( 5x + 2 ) = 0
x1 = 0 y
x2 = -2/5
9x2 + 39x = 0
3x ( 3x + 13 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -13/3
36x2 - 30x = 0
6x ( 6x - 5 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 5/6
FACTORIZACION
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
2x2 - 15x = 0
x ( 2x - 15 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 15/2
2x2 + 4x = 0
2x ( x + 2 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -2
6x2 - x = 0
x ( 6x - 1 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 1/6
6x2 + 3x = 0
3x ( 2x + 1 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -1/2
15x2 + 25x = 0
5x ( 3x + 5 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -5/3
8x2 - 29x = 0
x ( 8x - 29 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 29/8
3x2 - 4x = 0
x ( 3x - 4 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 4/3
Y
E
A
X’
B
D
C
X1 = - 1
Eje Real
X
X2 = 1
Parábola
Secante
Y’
Ecuación de la forma ax2 + c = 0
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
x2
-
36
x
=
EJEMPLO No. 1
0
6
( x + 6 )( x - 6 ) = 0
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
Igualamos con cero y resolvemos
x+6 = 0
x1 = - 6
x- 6= 0
x2 =
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
6
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
x2
-
81
x
=
EJEMPLO No. 2
0
6
( x + 9 )( x - 9 ) = 0
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
Igualamos con cero y resolvemos
x+9 = 0
x1 = - 9
x- 9= 0
x2 =
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
9
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
4x2 2x
49
=
0
6
( 2x + 7 ) ( 2x - 7 ) = 0
EJEMPLO No. 3
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
Igualamos con cero y resolvemos
2x + 7 = 0
x1 = - 7/2
2x - 7 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
x2 = 7/2
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
25x2 5x
81
=
0
9
( 5x + 9 ) ( 5x - 9 ) = 0
EJEMPLO No. 3
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
Igualamos con cero y resolvemos
5x + 9 = 0
x1 = - 9/5
5x - 9 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
x2 = 9/5
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 -
81x2 -
16 = 0
36 = 0
b2 -
64 = 0
x2 -
4 = 0
100x2 x2 9a2 -
25 = 0
81 = 0
121 = 0
( x + 4) ( x-4) = 0
x1 = 4 y x 2 = 4
( 9x + 6 ) ( 9x – 6 ) = 0
x1 = - 2/3 y x2 = 2/3
( b + 8 ) ( b – 8) = 0
b1 = - 8 y b2 = 8
( x + 2 ) ( x - 2) = 0
x1 = - 2
y x2 = 2
(10x + 5 ) (10x - 5 ) = 0
x1 = - 1/2 y x2 = 1/2
( x +9) (x- 9 ) = 0
x1 = - 9 y x 2 = 9
( 3a + 11 ) ( 3a – 11 ) = 0
a1 = - 11/3 y a2 = 11/3
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno.
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 -
81x2 b2 x2 100x2 x2 9y2 -
36 = 0
49 = 0
100 = 0
( x+6 ) ( x–6 ) = 0
x1 = - 6
y x2 = 6
( 9x + 7 ) ( 9x - 7 ) = 0
x1 = - 7/9 y x2 = 7/9
( b + 10 ) ( b – 10 ) = 0
b1 = - 10 y b2 = 10
144 = 0
( x + 12 ) ( x - 12 ) = 0
x1 = - 12 y x2 = 12
49 = 0
(10x + 7 ) (10x - 7 ) = 0
x1 = - 7/10 y x2 = 7/10
25 = 0
9 = 0
( x + 5 )
x1 = -5
(x - 5 ) = 0
y x2 = 5
( 3b + 3 ) ( 3b – 3 ) = 0
b1 = - 1 y b2 = 1
MENU
JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS
( 1777 – 1855 )
“El príncipe de los matemáticos”
Título póstumo con que se ha conocido a Gauss,
que junto a Arquímedes y Newton,
es uno de los tres genios de la historia de las matemáticas.
COMPLETANDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( x+7) (x+7) =
x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 14x + 49
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
( x+7) (x+7)
LOS BINOMIOS SON IGUALES
¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR
( x + 7 )2
2(7)(x)
( x+7) (x+7) =
x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 14x + 49
( x + 7 )2 =
x • x
Cuadrado
del primer término
BINOMIO
AL CUADRADO
x2 + 14x
+ 49
2(7)(x)
Doble producto
Primero por segundo
7 • 7
Cuadrado
del segundo término
TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2
x • x
Cuadrado
del primer término
+ 14x + 49
2(X)(7)
Doble producto
Primero por segundo
7 • 7
Cuadrado
del segundo término
COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
EJEMPLO No. 1
x2 + 12x + 32 = 0
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
= - 32
x2 + 12x
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
12 : 2 = 6 ,
x2 + 12x + 36 = - 32 + 36
62 = 36
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
=
( x + 6 )2
4
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
= ±2
x+ 6
Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x+ 6= +2
,
x = +2-6
x1 = - 4
x+ 6= -2
,
x = -2-6
x2 = - 8
EJEMPLO No. 2
x2 + 10x + 21 = 0
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
= - 21
x2 + 10x
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
x2 + 10x + 25 = - 21 + 25
10 : 2 = 5 ,
52 = 25
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
( x + 5 )2
=
4
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
x+ 5
= ±2
Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x+ 5 = +2
x = +2-5
x1
= - 3
x+ 5 = -2
x = -2-5
x2
= - 7
EJEMPLO No. 3
x2
- 8x
+ 15 = 0
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
x2
= - 15
- 8x
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
x2 - 8x + 16 = - 15 + 16
42 = 16
8:2=4,
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
=
( x - 4 )2
1
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
=
x- 4
±1
Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x- 4 = +1
x = +1+4
x1
=
5
x- 4 = -1
x = -1+4
x2
=
3
EJEMPLO No. 4
x2
x2
- 8x
- 20 = 0
TRANSPONER
= + 20
- 8x
x2 - 8x + 16 =
+ 20 + 16
COMPLETAR CUADRADO
8:2=4,
42 = 16
( x - 4 )2
=
36
FACTORIZAR Y REDUCIR
=
±6
EXTRAER RAIZ CUADRADA
x- 4
BUSCAMOS RAICES
x- 4 = +6
x = +6+4
x1
=
10
x- 4 = -6
x = -6+4
x2
=
-2
EJEMPLO No. 5
x2
x2
- 6x
- 55 = 0
TRANSPONER
= + 55
- 6x
x2 - 6x + 9 =
+ 55 + 9
COMPLETAR CUADRADO
6:2=3,
32 = 9
( x - 3 )2
=
64
FACTORIZAR Y REDUCIR
=
±8
EXTRAER RAIZ CUADRADA
x- 3
BUSCAMOS RAICES
x- 3 = +8
x = +8+3
x1
=
11
x- 3 = - 8
x = -8+3
x2
=
-5
EJEMPLO No. 6
x2
x2
- 3x
- 40 = 0
TRANSPONER
= + 40
- 3x
x2 - 3x + 9 =
4
+ 40 + 9
4
COMPLETAR CUADRADO
(3/2)2 = 9/4
3 : 2 = 3/2 ,
( x - 3 )2 =
2
40 (4) + 9 =
169
4
169/4
± 13/2
=
x - 3/2
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x - 3/2 = + 13/2
x = + 13/2 + 3/2
x1
=
8
x - 3/2 = - 13/2
x = - 13/2 + 3/2
x2
=
-5
EJEMPLO No. 7
x2 + 5x
- 36 = 0
x2 + 5x
= + 36
x2 + 5x + 25
4
=
5 : 2 = 5/2 ,
+ 36 + 25
4
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
(5/2)2 = 25/4
( x + 5 )2 =
2
169
4
36 (4) + 25 =
169/4
=
x + 5/2
± 13/2
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x + 5/2 = + 13/2
x = + 13/2 - 5/2
x1
=
4
x + 5/2 = - 13/2
x = - 13/2 - 5/2
x2
=
-9
EJEMPLO No. 8
2x2
+
7x
x2
+
7x
2
x2
+
7x
2
=
+ 5
0
= - 5
2
+ 49
16
=
- 5 + 49
2
16
DIVIDIR ENTRE 2
Y
TRANSPONER
COMPLETAR
CUADRADO
(7/4)2 = 49/16
7/2 : 2 = 7/4 ,
( x + 7 )2
4
=
-5 (8) + 49 =
9/16
=
x+ 7
4
9
16
FACTORIZAR Y
REDUCIR
±3
4
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x + 7/4 = + 3/4
x = + 3/4 - 7/4
x1
=
-1
x + 7/4 = - 3/4
x = - 3/4 - 7/4
x2
=
- 5/2
EJEMPLO No. 9
7x2
-
27x
x2
-
27 x
7
x2
-
27 x + 729 = + 4 + 729
196
7
196
7
- 4
=
0
=
+ 4
7
DIVIDIR ENTRE 7
Y
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
(27/14)2 = 729/196
27/7 : 2 = 27/14 ,
=
( x - 27 )2
14
4 (28) + 729 =
841
196
FACTORIZAR Y REDUCIR
841/196
= ± 29
14
x - 27
14
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x - 27/14 = + 29/14
x = + 29/14 + 27/14
x1
=
4
x - 27/14 = - 29/14
x = - 29/14 + 27/14
x2
=
- 1/7
EJEMPLO No. 10
5x2
-
7x
x2
-
7x
5
x2
-
7x
5
- 6
+
7/5 : 2 = 7/10 ,
=
0
=
+ 6
5
49 = + 6 + 49
100
5
100
DIVIDIR ENTRE 5
Y
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
(7/10)2 = 49/100
=
( x - 7 )2
10
6 (20) + 49 =
169
100
FACTORIZAR Y REDUCIR
169/100
= ± 13
10
x- 7
10
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x - 7/10 = + 13/10
x = + 13/10 + 7/10
x1
=
2
x - 7/10 = - 13/10
x = - 13/10 + 7/14
x2
=
- 3/5
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2
+ 14x
x2
+ 14x
x2
+ 14x
+ 45
+ 49
=
0
=
- 45
=
- 45 + 49
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
( x + 7 )2
=
4
FACTORIZAR Y REDUCIR
x+ 7
=
±2
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x+ 7 = +2
x = +2-7
x1
=
-5
x+ 7 = - 2
x = -2-7
x2
=
-9
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2
- 12x
x2
- 12x
x2
- 12x
- 45
+ 36
=
0
=
+ 45
=
+ 45 + 36
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
( x - 6 )2
=
81
FACTORIZAR Y REDUCIR
x - 6
=
±9
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x - 6 = +9
x = +9+6
x1
=
15
x - 6 = - 9
x = -9+6
x2
=
-3
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2
- 3x
x2
x2
=
0
- 3x
=
+ 54
- 3x
=
+ 54 + 9
4
225
4
± 15/2
- 54
+ 9
4
( x - 3 )2
2
x - 3/2
=
=
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x - 3/2 = + 15/2
x - 3/2 = - 15/2
x = + 15/2 + 3/2
x1
=
9
x = - 15/2 + 3/2
x2
=
-6
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
=
0
+ 20x
7
+ 20x + 400
7
196
=
+ 3
7
+ 3 + 400
7
196
( x + 20 )2
14
=
7x2
+ 20x
x2
x2
- 3
=
=
x + 20/14
484
196
± 22/14
DIVIDIR ENTRE 7
Y
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAEMOS RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x + 20/14 = + 22/14
x + 20/14 = - 22/14
x = + 22/14 - 20/14
x1
=
1/7
x = - 22/14 - 20/14
x2
=
-3
MENU
AUGUSTIN LOUIS CAUCHY
(1789 – 1857)
PIONERO EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y LA TEORÍA DE GRUPOS DE PERMUTACIONES.
UNO DE LOS MATEMÁTICOS MÁS IMPORTANTES DE LA HISTORIA.
PROPUSO LA TEORÍA DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS.
FORMULA GENERAL
DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL
APLICAMOS EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR
UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
ax2
+
bx
x2
+
bx
a
x2
+
bx
a
=
+ c
Dividir entre “a” y transponer
0
= - c
a
=
+ b2
4a2
b/a : 2 = b/2a ,
-c
a
+ b2
4a2
Completar el cuadrado
(b/2a)2 = b2/4a2
Factorizar y reducir
( x + b )2 = b2 – 4ac
2a
4a2
= ±
x + b
2a
b2 - 4ac
2a
Buscamos raíces de la ecuación
x = - b
2a
±
b2 - 4ac
2a
Extraer raíz cuadrada
Reducimos a un denominador común
x
= - b ±
b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
x
=
- b ±
b2 - 4ac
2a
UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES
x1 =
- b +
b2 - 4ac
2a
b2 - 4ac
x2 =
- b -
b2 - 4ac
2a
DISCRIMINANTE
DISCRIMINANTE
b2 - 4ac > 0
Raíces reales y desiguales
Por ejemplo: 3x2 + 5x - 2 = 0
a= 3 , b= 5 y c= -2
( 5 )2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) = 25 + 24 = 49
b2 - 4ac = 0
Raíces reales e iguales
Por ejemplo: 36x2 + 12x + 1 = 0
a = 36 , b = 12 y c = 1
( 12 )2 - 4 ( 36 ) ( 1 ) = 144 - 144 = 0
b2 - 4ac < 0
Por ejemplo: x2 - 4x + 8 = 0
x1 = 1/3 , x2 = - 2
x1 = - 1/6 , x2 = - 1/6
Raíces imaginarias y desiguales
a= 1 , b= -4 y c= 8
( - 4 )2 - 4 ( 1 ) ( 8 ) = 16 - 32 = - 16
x1 = 2 + 2i , x2 = 2 – 2i
FORMULA GENERAL
x2 + 9x + 14 = 0
x =
x =
x =
x =
x =
- b
±
a = 1
b = 9
b2 - 4ac
EJEMPLO 1
c = 14
SUSTITUYENDO VALORES
2a
-(9) ±
( 9 )2 - 4( 1 ) ( 14 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 1 )
- 9
±
81 - 56
BUSCANDO RAICES
2
- 9
±
25
2
- 9
±
2
5
x1 =
- 9
x2 =
- 9
+
5
= - 2
5
= - 7
2
2
FORMULA GENERAL
x2 - 7x - 44 = 0
x =
x =
x =
- b
±
a = 1
b = -7
b2 - 4ac
EJEMPLO 2
c = - 44
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (-7 ) ±
( -7 )2 - 4( 1 )(- 44 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 1 )
+ 7 ±
49 + 176
BUSCANDO RAICES
2
x =
+ 7 ±
2
x =
+ 7 ±
2
225
15
x1 =
+ 7 + 15
2
x2 =
+ 7 - 15 = - 4
2
=
11
FORMULA GENERAL
2x2 - 7x - 15 = 0
x =
x =
x =
x =
x =
- b
±
a = 2
b = -7
b2 - 4ac
EJEMPLO 3
c = - 15
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (-7 ) ±
( -7 )2 - 4( 2 )(- 15 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 2 )
+ 7 ±
49 + 120
BUSCANDO RAICES
4
+ 7 ±
169
4
+ 7 ±
4
13
x1 =
+ 7 + 13
4
x2 =
+ 7 - 13 = - 3
2
4
=
5
FORMULA GENERAL
5x2 - 14x - 3 = 0
x =
x =
x =
x =
- b
±
a = 5
b = -14
b2 - 4ac
EJEMPLO 4
c =-3
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (-14 ) ±
( -14 )2 - 4( 5 )(- 3 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 5 )
+ 14 ±
196 + 60
BUSCANDO RAICES
10
+ 14 ±
256
10
x = + 14 ±
4
16
x1 =
+ 14 + 16
10
x2 =
+ 14 - 16 = - 1
5
10
=
3
FORMULA GENERAL
6x2 - 20x + 6 = 0
x =
x =
x =
x =
- b
±
a = 6
b = -20
b2 - 4ac
EJEMPLO 5
c = 6
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (-20 ) ±
( -20 )2 - 4( 6 )( 6 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 6 )
+ 20 ±
400 - 144
BUSCANDO RAICES
12
+ 20 ±
256
12
16
x = + 20 ±
12
x1 =
+ 20 + 16
12
=
3
x2 =
+ 20 - 16 =
12
1
3
FORMULA GENERAL
x2 - 4x + 8 = 0
x =
x =
x =
x =
x =
- b
a = 1
±
b= -4
b2 - 4ac
EJEMPLO 6
c = 8
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (- 4 ) ±
( - 4 )2 - 4( 1 )( 8 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 1 )
+ 4 ±
16 - 32
BUSCANDO RAICES
2
+ 4 ±
- 16
2
+ 4 ±
2
4i
x1 =
+ 4 + 4i
2
=
2+2i
x2 =
+ 4 - 4i =
2
2–2i
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
4x2 + 2x - 6 = 0
COEFICIENTES
- b ±
b2 - 4ac
x =
x =
x =
x =
x =
a = 4
b= +2
c = -6
SUSTITUYENDO VALORES
2a
-(2) ±
( 2 )2 - 4( 4 )( - 6 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 4 )
- 2 ±
4 + 96
BUSCANDO RAICES
8
- 2
±
100
8
- 2
±
8
10
x1 =
x2 =
- 2 + 10
8
-2
=
1
- 10 = - 3
2
8
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
2x2 + x - 105 = 0
x =
x =
x =
x =
x =
- b ±
COEFICIENTES
a = 2
b= +1
b2 - 4ac
c = -105
SUSTITUYENDO VALORES
2a
-(1) ±
( 1 )2 - 4( 2 )( - 105 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 2 )
- 1 ±
1 + 840
BUSCANDO RAICES
4
- 1
±
841
4
- 1
±
4
29
x1 =
- 1 + 29
4
x2 =
-1
4
29
=
7
= - 15
2
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
8x2 - 2x - 3 = 0
COEFICIENTES
- b ±
b2 - 4ac
x =
x =
x =
x =
x =
a = 8
b= -2
c = -3
SUSTITUYENDO VALORES
2a
- (- 2 ) ±
( - 2 )2 - 4( 8 )( - 3 )
REALIZANDO OPERACIONES
2( 8 )
+ 2 ±
4 + 96
BUSCANDO RAICES
16
+ 2 ±
100
16
+ 2 ± 10
16
x1 =
+ 2 + 10
16
x2 =
+ 2 - 10 = - 1
2
16
=
3
4
MENU
NICCOLO FONTANA
(1499 – 1557 )
PLANTEO LA RESOLUCION DE DIVERSAS ECUACIONES DE LA FORMA x³+ px = q
PROCEDIMIENTO GRAFICO
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 1
x
y
Puntos
-3
8
A ( -3 , 8 )
-1
0
B ( -1 , 0 )
0
1
C ( 0 , -1 )
1
0
D( 1, 0 )
3
8
E( 3, 8)
Y
*
E
Ceros
de función
A
*
B
X’
Eje Real
X
D
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y= (-3)2 -1 = 9-1= 8
C
X1 = - 1
X2 = 1
y = ( - 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0
Parábola Secante
y = ( 0 )2 - 1 = - 1
y = ( 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0
y = ( 3 )2 - 1 = 9 - 1 = 8
Y’
Escala 1: 2
Vertical
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - x - 6
x
y
Puntos
-3
6
A ( -3 , 6 )
-2
0
B ( -2 , 0 )
0
- 6
C( 0,-6)
2
- 4
D ( 2 ,- 4 )
3
0
E( 3, 0)
Y
A
*
Ceros
de función
*X’
E
B
Eje Real
X
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - ( -3 ) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6
X1 = - 2
X2 = 3
y = ( - 2 )2 - ( -2 ) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
D
y = ( 0 )2 - ( 0 ) - 6 = - 6
y = ( 2 )2 - ( 2 ) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4
y = ( 3 )2 - ( 3 ) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0
Parábola Secante
C
Y’
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 4
x
y
Puntos
-3
5
A ( -3 , 5 )
-2
0
B ( -2 , 0 )
0
-4
C( 0,-4)
2
0
D( 2, 0)
3
5
E( 3, 5)
Y
A
*
E
Ceros
de función
*
B
X’
Eje Real
X
D
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y= (-3)2 -4 = 9-4= 5
X1 = - 2
X2 = 2
y = ( - 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0
y= ( 0
)2
C
-4 = -4
y = ( 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0
y = ( 3 )2 - 4 = 9 - 4 = 5
Y’
Parábola Secante
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 3X
x
y
Puntos
-3
18
A ( -3 , 18 )
-2
10
B ( -2 , 10 )
0
0
C( 0, 0)
2
-2
D( 2,-2)
3
0
E( 3, 0)
Y
A
*
*X’
Ceros
de función
B
Eje Real
X
E
C
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 3 ( - 3 ) = 9 + 9 = 18
D
X1 = 0
X2 = 3
y = ( - 2 )2 - 3 ( - 2 ) = 4 + 6 = 10
y= ( 0
)2
Parábola Secante
-3(0) = 0
y = ( 2 )2 - 3 ( 2 ) = 4 – 6 = - 2
y = ( 3 )2 - 3 ( 3 ) = 9 – 9 = 0
Y’
Escala 1: 3
Vertical
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 + x - 20
x
y
Puntos
-5
0
A ( -5 , 0 )
-2
- 18
B ( -2,-18 )
0
- 20 C ( 0 ,-20 )
4
0
D( 4, 0 )
5
10
E ( 5 , 10 )
Y
*
Ceros
de función
*
E
X1 = - 5
Eje Real
X
A
X’
Asignamos valores a x
D
Buscamos valores de y
y = ( - 5 ) 2 + ( -5 ) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0
X2 = 4
y = ( - 2 )2 + ( -2 ) - 20 = 4 - 2 - 20 = - 18
y = ( 0 )2 + ( 0 ) - 20 = - 20
y = ( 4 )2 + ( 4 ) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0
y = ( 5 )2 + ( 5 ) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10
Parábola Secante
B
C
Y’
Escala 1: 4
Vertical
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 10x + 25
x
y
Y
Puntos
-5
100 A( -5 ,100 )
-2
49
B ( -2, 49 )
0
25
C( 0 , 25 )
2
9
D( 4 , 9 )
5
0
E( 5 , 0 )
Cero
de función
Múltiple
A
X1 = 5
X2 = 5
B
*X’
C
X
Asignamos valores a x
D
Buscamos valores de y
E
Eje Real
y = ( - 5 ) 2 - 10( -5 ) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100
y = ( - 2 )2 - 10( -2 ) + 25 = 4 + 20 + 25 = 49
Parábola Tangente
y = ( 0 )2 - 10( 0 ) + 25 = 25
y = ( 2 )2 - 10( 2 ) + 25 = 4 - 20 + 25 = 9
y = ( 5 )2 - 10( 5 ) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0
Y’
Escala 1: 25
Vertical
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 + 8x + 16
x
y
Puntos
-8
16
A( -8 , 16 )
Y
-4
0
B ( -2, 0 )
X1 = - 4
0
16
C( 0 , 16 )
X2 = - 4
2
36
D( 4 , 36 )
4
81
E( 5 , 81 )
*X’
E
D
A
C
Asignamos valores a x
B
X
Eje Real
Buscamos valores de y
y = ( - 8 ) 2 + 8( -8 ) + 16 = 64 - 64 + 16 = 16
y = ( - 4 )2 + 8( -4 ) + 16 = 16 - 32 + 16 =
Cero
de función
Múltiple
Parábola Tangente
0
y = ( 0 )2 + 8( 0 ) + 16 = 16
y = ( 2 )2 + 8( 2 ) + 16 = 4 + 16 + 16 = 36
y = ( 5 )2 + 8( 5 ) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81
Y’
Escala 1: 2
Horizontal
Escala 1:16
Vertical
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 2x + 3
x
y
Puntos
-3
18
A( -3 , 18 )
-2
11
B ( -2, 11 )
0
3
C( 0 , 3 )
2
3
D( 2 , 3 )
3
6
E( 3 , 6 )
Y
A
Raíces
imaginarias
B
E
C
D
X’
Eje Real
X
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 2( -3 ) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18
Parábola
y = ( - 2 )2 - 2( -2 ) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11
y = ( 0 )2 - 2( 0 ) + 3 = 3
Escala 1:3
Vertical
y = ( 2 )2 - 2( 2 ) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3
y = ( 3 )2 - 2( 3 ) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6
Y’
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
y = x2 - 3x
x
y
Puntos
-4
28
A ( -4 , 28 )
-3
18
B ( -3 , 18 )
0
0
C( 0, 0)
3
0
D( 2, 0)
4
4
E( 4, 4 )
Y
Parábola Secante
A
*
*
X2 = 3
B
E
X’
X
Asignamos valores a x
C
Buscamos valores de y
y = (- 4 )2 – 3(-4) = 16 + 12 = 28
X1 = 0
Grafica la función
en tu cuaderno
y = (-3 )2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18
y = ( 0 )2 - 3( 0 ) = 0
y = ( 3 )2 - 3( 3 ) = 9 - 9 = 0
y = ( 4 )2 - 3( 4 ) = 16 - 12 = 4
Escala 1: 6
Vertical
D
Y’
Para comprobar
resultados da un click
en el botón izquierdo
del mouse
MENU
RENE DESCARTE
( 1596 – 1650)
CREO LA GEOMETRIA ANALITICA
INTRODUJO UN SISTEMA DE COORDENADAS, LLAMADAS CARTESIANAS.
RESOLUCION DE PROBLEMAS
RESOLUCION DE PROBLEMAS
LECTURA CUIDADOSA HASTA ENTENDER LA SITUACION QUE SE PLANTEA
IDENTIFICAR CANTIDADES
CONOCIDAS
DESCONOCIDAS
OTRAS EN FUNCION DE ESTA LETRA
UNA SE REPRESENTA POR “x”
IDENTIFICAR IGUALDADES
(CONSTRUIR LA ECUACION)
ENCONTRAR LA SOLUCION
EJEMPLO 1
El producto de dos números es 91. ¿Cuáles son esos números, si
sabemos que el mayor excede en 6 unidades al menor ? .
Número menor :
Número mayor :
x
x+6
x ( x + 6 ) = 91
Verificando operaciones
x2 + 6x = 91
Transponer e igualar a cero
x2 + 6x – 91 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 6x - 91 = 0
Número menor :
( x + 13 ) ( x - 7 ) = 0
Número mayor :
( x + 13 ) = 0
7
7+6
13
x = - 13
(x- 7) =0
x = 7
Los números son 7 y 13
*
EJEMPLO 2
El producto de dos números consecutivos pares es 48. Encontrar esos
números.
Primer número :
x
Segundo número : x + 2
x ( x + 2 ) = 48
Verificando operaciones
x2 + 2x = 48
Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 48 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 48 = 0
Primer número :
(x +8 )(x-6) = 0
6
Segundo número : 6 + 2
(x + 8) = 0
8
x = - 8
(x - 6) =0
x = 6
Los números son 6 y 8
*
EJEMPLO 3
La suma de los cuadrados de las edades de Margarita y Josefina es 100
años. Si Margarita es dos años mayor, ¿ cuáles son sus edades ?
x
Josefina :
Margarita :
x2 + ( x + 2 )2 = 100
x+2
x2 + x2 + 4x + 4 = 100
2x2 + 4x + 4 = 100
2x2 + 4x - 96 = 0
Resolvemos la ecuación
Verificando operaciones
Transponer e igualar a cero
Simplificando
x2 + 2x - 48 = 0
x2 + 2x - 48 = 0
(x +8 )(x-6) = 0
(x + 8) = 0
Josefina :
6 años
Margarita :
6 + 2
8 años
x = - 8
(x - 6) =0
x = 6
Margarita tiene 8 años y Josefina tiene 6 años
*
EJEMPLO 4
El área de un rectángulo es 36 m2, su base excede a la altura en 5 m.
Encontrar las dimensiones del rectángulo.
Base :
x+5
x ( x + 5 ) = 36
Verificando operaciones
x
x2 + 5x = 36
Transponer e igualar a cero
Altura :
x2 + 5x - 36 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 5x - 36 = 0
(x +9 )(x-4) = 0
Base:
(x + 9) = 0
Altura :
4 + 5
9 metros
4 metros
x = - 9
(x - 4) =0
x = 4
Dimensiones : 9 m de base y 4 m de altura
*
EJEMPLO 5
La diferencia entre dos números es 2 y su producto 288. Encontrar los
números.
Número menor :
x
x ( x + 2 ) = 288
Verificando operaciones
Número mayor :
x+2
x2 + 2x = 288
Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 288 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 288 = 0
( x + 18 ) ( x - 16 ) = 0
( x + 18 ) = 0
Número menor:
16
Número mayor :
16 + 2
18
x = - 18
( x - 16 ) = 0
x = 16
16 y 18 son los números buscados
*
EJEMPLO 6
El área de un triángulo rectángulo mide 84 m2. Encontrar las
dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 m .
x
A = bh
2
84 m2
x + 17
x ( x + 17 ) = 84
2
Verificando operaciones
x2 + 17x = 168
Transponer e igualar a cero
x2 + 17x - 168 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 17x - 168 = 0
( x + 24 ) ( x - 7 ) = 0
( x + 24 ) = 0
Altura:
7m
Base :
7 + 17
24 m
x = - 24
(x - 7 ) = 0
x = 7
Los catetos miden 7 m y 24 m
*
EJEMPLO 7
Un número es el doble más uno con respecto a otro. La diferencia de
sus cuadrados es 97. Encontrar esos números.
Número menor :
x
Número mayor :
2x+1
(2 x + 1 )2 - x2 = 96
4x2 + 4x + 1 - x2 =
96
2
3x + 4x - 95 = 0
Verificando operaciones
Transponer e igualar a cero
Resolvemos la ecuación
3x2 + 4x - 95 = 0
Número menor :
(3x2 + 19x) - ( 15x + 95) = 0
5
Número mayor : 10 + 1
x ( x + 19 ) - 5 (x + 19 ) = 0
11
(x- 5) =0
x = 5
( x + 19 ) = 0
x = - 19
*
Los números son 5 y 11
EJEMPLO 8
La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 .
Primer numero :
x
Segundo número : 22 - x
x ( 22 - x ) = 117
Verificando operaciones
- x2 + 22x = 117
Transponer e igualar a cero
- x2 + 22x - 117 = 0
Multiplicando por - 1
x2 - 22x + 117 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 - 22x + 117 = 0
Primer número:
( x - 13 ) (x - 9 ) = 0
Segundo número :
( x - 13 ) = 0
9
22 - 9
x = 13
Los números son 9 y 13
(x - 9) =0
x = 9
*
13
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
La diferencia de dos números es 2 y su suma multiplicada por el mayor
equivale a 40. Encontrar esos números.
x
Primer menor :
Segundo número :
Suma
x+2
2x + 2
( 2x + 2 ) ( x + 2 ) = 40
2x2 + 6x + 4 = 40
Verificando operaciones
Transponer e igualar a cero
2x2 + 6x - 36 = 0
Simplificando
x2 + 3x - 18 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 3x - 18 = 0
Primer número:
( x + 6 ) (x - 3 ) = 0
Segundo número :
(x+ 6) = 0
3
3+2
x = - 6
Los números son 3 y 5
(x - 3) =0
x = 3
*
5
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
El producto de dos números enteros positivos es 143, si sabemos que
el mayor excede en 2 unidades al menor, ¿cuáles son los números?.
Número menor :
x
Número mayor :
x+2
x ( x + 2 ) = 143
x2 + 2x = 143
Verificando operaciones
Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 143 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 143 = 0
( x + 13 ) (x - 11 ) = 0
( x + 13 ) = 0
Número menor:
11
Número mayor :
11 + 2
x = - 13
Los números son 11 y 13
( x - 11 ) = 0
x = 11
*
13
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno .
Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
Un romboide presenta un área de 133 m2. Encontrar sus dimensiones,
sabiendo que la base mide el doble más cinco con respecto a la altura
Altura :
Base :
x
x ( 2x + 5 ) = 133
2x + 5
Verificando operaciones
2x2 + 5x = 133
Transponer e igualar a cero
2x2 + 5x - 133 = 0
Resolvemos la ecuación
2x2 + 5x - 133 = 0
(2x2 + 19x) - (14x – 133) = 0
Altura:
7m
2x ( x + 19 ) – 14 (x+ 19 ) = 0
Base :
14 + 5
19m
(2x - 14 ) (x+ 19 ) = 0
x = 7
( x + 19 ) = 0
x = - 19
*
El romboide tiene como dimensiones:
19 m de base y 7 m de altura
MENU
LEONHARD EULER
(1707 – 1783 )
REALIZO EL PRIMER TRATAMIENTO ANALITICO COMPLETO DEL ALGEBRA,
LA TEORIA DE ECUACIONES, LA TRIGONOMETRIA Y LA GEOMETRIA ANALITICA.
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Diapositiva 1 - Sec. 302 T.V Mate | Blog educativo