PPTCEG029EM31-A15V1
EM-31
Ecuaciones de segundo grado
Resumen de la clase anterior
Sistema de ecuaciones
de primer grado
Métodos de resolución
Igualación
Reducción
Sustitución
Aprendizajes esperados
• Comprender una ecuación de segundo grado con una incógnita como una
igualdad dada donde hay que determinar los valores de la incógnita que
satisfacen la igualdad.
• Comprender que toda ecuación de segundo grado con coeficientes reales
tiene raíces en el conjunto de los números complejos.
• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación
de cuadrados, factorización o inspección, con raíces reales o complejas.
• Interpretar las soluciones y determinar a qué conjunto numérico pertenecen.
• Deducir la fórmula de la ecuación general de segundo grado y el
comportamiento de sus raíces.
Pregunta oficial PSU
23. Las soluciones de la ecuación 3(x – 2)2 = 7 están representadas en
A)
7
2
3
B)  2 
7
3
7
C) 2 
3
D) 2  13
3
E)
2
7
3
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015.
Ecuación
de segundo grado
Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma:
ax2 + bx + c = 0
con a ≠ 0
a = 5, b = 3 y c = 1
Ejemplos:
a = – 2, b = 7 y c = – 1
1) 5x2 + 3x + 1 = 0
a = 1, b = – 2 y c = 8
2) – 2x2 + 7x – 1 =
0
3) x2 – 2x + 8 = 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces.
Ecuación de segundo grado
Raíces de una ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado, se resuelve mediante la siguiente
fórmula:
– b ±  b2 – 4ac
x=
2a
a = 1, b = – 3 y c = – 4
Ejemplo:
¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación x2 – 3x – 4 = 0?
x=
x=
–(– 3) ±
 (– 3)2 – 4·1·(– 4)
2·1
3 ±
9
2
+ 16
Ecuación de segundo grado
Raíces de una ecuación de segundo grado
3 ±  25
2
3± 5
x=
2
x=
x1 = 8
2
x2 = – 2
2
x1 = 4
x2 = – 1
Ecuación de segundo grado
Raíces de una ecuación de segundo grado
También podemos obtener las raíces de la ecuación, factorizando
como producto de binomios:
Ejemplo:
x2 – 3x – 4 = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
 (x – 4)= 0
x1 = 4
ó
(x + 1)= 0
x2 = – 1
Ecuación de segundo grado
Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado, de la
forma ax2 + bx + c = 0, entonces:
1)
x1 + x2 = – b
a
2)
x1 · x2 = c
a
Ejemplo:
Si en la ecuación x2 – 3x – 4 = 0, a = 1, b = – 3 y c = – 4, entonces:
x1 + x2 = –(– 3)
1
x1 · x2 = – 4
1
x1 + x2 = 3
x1 · x2 = – 4
Ecuación de segundo grado
Propiedades de las raíces
¿Cómo determinar una ecuación de segundo grado
a partir de sus soluciones x1 y x2?
Al conocer x1 y x2, la ecuación se puede escribir como
x2 – (x1 + x2)·x + x1·x2 = 0
x1 = 4, x2 = – 2
Ejemplo:
Una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 4 y − 2 es
x2 – (4 + (– 2))·x + 4·(– 2) = 0
 x2 – 2x – 8 = 0
Ecuación de segundo grado
Discriminante
En una ecuación de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c = 0,
la expresión b2 – 4ac, se denomina “discriminante” y su valor
permite conocer la naturaleza de las raíces.
Δ = b2 – 4ac
a) Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones
reales y distintas.
b) Si b2 – 4ac < 0, entonces la ecuación NO tiene solución real.
c) Si b2 – 4ac = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales
e iguales.
Ecuación de segundo grado
Discriminante
Ejemplo:
a = 2, b = – 1 y c = – 3
1) 2x2 – x – 3 = 0
b2 – 4ac = (– 1)2 – 4∙2∙(– 3)
b2 – 4ac = 1 + 24
b2 – 4ac = 25 > 0
Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas
– b ± Δ
x =Al resolver
la ecuación, lo podremos comprobar.
2a
1+5
3
x1 =
x1 =
2
4
1 ±  25
x=
4
1–5
x2 = – 1
x2 =
4
Ecuación de segundo grado
Discriminante
a = 1, b = – 6 y c = 10
Ejemplo:
2) x2 – 6x + 10 = 0
b2 – 4ac = (– 6)2 – 4∙1∙(10)
b2 – 4ac = 36 – 40
b2 – 4ac = – 4 < 0
Entonces la ecuación tiene no tiene solución real. Tiene dos
soluciones complejas conjugadas.
– b ± Δ
x =Al resolver
la ecuación, lo podremos comprobar.
2a
6 + 2i
x1 =
x1 = 3 + i
2
6 ± – 4
x=
2
6 – 2i
x2 = 3 – i
x2 =
2
Ecuación de segundo grado
Discriminante
a = 25, b = 10 y c = 1
Ejemplo:
3) 25x2 + 10x + 1 = 0
b2 – 4ac = (10)2 – 4∙25∙(1)
b2 – 4ac = 100 – 100
b2 – 4ac = 0
Entonces la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.
– b ± Δ
x =Al resolver
la ecuación, lo podremos comprobar.
2a
– 10 + 0
x1 =
x1 = – 5
2
– 10 ±  0
x=
2
– 10 – 0
x2 = – 5
x2 =
2
Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando b o c (o
ambos) son iguales a cero. Por tanto, existen tres tipos:
ax2 = 0
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
con a ≠ 0
con a ≠ 0
con a ≠ 0
Las soluciones son
Las soluciones son
x1 = 0
x1 = 0
x2 = 0
Ejemplo:
3x2 = 0
x1 = 0
x2 = 0
x2 =
b
a
Las soluciones son
c
x1 =
x2 =
a

c
a
Ejemplo:
Ejemplo:
x2 + 3x = 0
x2 – 25 = 0
x(x + 3) = 0
x1 = 0
x2 = – 3
x2 = 25
x1 = 5
x2 = – 5
Pregunta oficial PSU
23. Las soluciones de la ecuación 3(x – 2)2 = 7 están representadas en
A)
7
2
3
B)  2 
7
3
7
C) 2 
3
D) 2  13
3
E)
2
7
ALTERNATIVA
CORRECTA
C
3
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015.
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
E
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
2
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
3
E
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
4
C
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
5
D
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
6
C
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
7
B
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
8
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
9
C
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
10
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
11
B
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
12
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
E
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
14
C
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
15
B
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
16
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
17
D
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
18
E
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
19
A
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
20
C
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
21
E
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
22
B
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Comprensión
23
D
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Aplicación
24
B
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
25
D
Ecuación de segundo grado y función cuadrática
ASE
Síntesis de la clase
Ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
Se resuelve mediante
la fórmula
– b ±  b2 – 4ac
x=
2a
x1 + x2 = – b
a
Propiedades
de las raíces
x1·x2 = c
a
Si Δ < 0  NO tiene solución real
Discriminante
Δ = b2 – 4ac
Si Δ > 0  2 soluciones reales y distintas
Si Δ = 0  2 soluciones reales e iguales
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Desigualdades e inecuaciones
de primer grado
Equipo Editorial
Matemática
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE
PROPIEDAD INTELECTUAL.
Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414
Descargar

Diapositiva 1 - Cpech - El preuniversitario de Chile