Derivadas Parciales
Moisés Grillo
Ing. Industrial
VIDEOSDEMATEMATICAS.COM
Derivadas Parciales de Orden Superior
z  3x y  5x y
2
3
2
z x  6 xy  10 xy
 z xx  6 y  10 y

2
 z xy  18 xy  10 x
zy  9x y  5x
 z yx  18 xy  10 x

2
 z yy  18 x y
3
3
2
2
2
2
Notación
zx 
zy 
z
x
z
y
2

 z
 z xx  2
x


2

z
z 
 xy  y  x
2

 z
 z yx 
xy


2
 z   z
 yy  y 2

Derivadas Parciales de Orden Superior
z  3x y  5x y
2
3
2
z x  6 xy  10 xy
 z xx  6 y  10 y

2
 z xy  18 xy  10 x
zy  9x y  5x
 z yx  18 xy  10 x

2
 z yy  18 x y
3
3
2
2
2
2
Derivadas Parciales de Orden Superior
z  3x y  5x y
2
z
x
z
y
3
2
 6 xy  10 xy
 2z
3

6
y
 10 y

2
 x
 2
  z  18 xy 2  10 x
  y  x
 9x y  5x
 2z
2

18
xy
 10 x

 xy

2
 z
2


18
x
y
2

y

3
2
2
2
Ejercicios
Encuentre todas las derivadas parciales de primer
y segundo orden de las siguientes funciones:
1
z  2x y  x y
4
2
z  3 xy  4 x y
2
3
z x yx y
2
3
7
9
3
5
2
7
Respuestas
 z xx  4 y  42 x y
z x  4 xy  7 x y 
2
6 3
 z xy  12 xy  28 x y
3
3
1
4
4
3
 z yx  12 xy  28 x y
zy  6x y  4x y 
2
7 2
z

12
x
y

12
x
y
 yy
2
2
2
6
5
2
7
6
3
3 2

z


80
x
y

xx
9
4 2
z x  3 y  20 x y 
8
4
 z xy  27 y  40 x y
8
4

z

27
y

40
x
y
8
5  yx
z y  2 7 xy  8 x y 
7
5
z

216
xy

8
x
 yy
3
7

z

6
xy

2
y
xx
2
7 
z x  3 x y  2 xy 
2
6
z

3
x

14
xy
 xy
2
6

z

3
x

14
xy

yx
3
2 6
zy  x  7x y 
2 5
 z yy  4 2 x y
Derivadas Parciales Implícitas
7 x z  3x y  5 y z
2
3
2
3
2
7 x z  3x y  5 y z  0
2
3
2
3
2
F  7 x z  3x y  5 y z
2
3
2
3
F x  14 xz  6 xy
3
F y  3 x  15 y z
2
2
2
F z  21 x z  10 y z
2
2
3
2
Derivadas Parciales Implícitas
7 x z  3x y  5 y z
2
3
2
3
2
zx  
7 x z  3x y  5 y z  0
2
3
2
3
2
F  7 x z  3x y  5 y z
2
3
2
3
2
F y  3 x  15 y z
2
zy  
3
Fz
14 xz  6 xy
21 x z  10 y z
2
2
3
3 x  15 y z
2
2
F z  21 x z  10 y z
2
zy  
Fz
zx  
3
2
Fy
3
F x  14 xz  6 xy
2
Fx
2
2
21 x z  10 y z
2
2
3
Ejercicios
Encuentre las derivadas zx =?
zy =?
1
2 xz  5 y z   6 x y
2
3 y z  3 xy  4 x y
3
2x z  x y  x y
3
2
3
2
5
9
5
3
5
2
2
7
4
Respuestas
1
4 4

2 z  30 x y
 zx 
3
2 x  10 y z


2 2
5 3

15
y
z

24
x
y
z 
3
 y
2
x

10
y
z

2
9
4 2

 3 y  20 x y
 zx 
3
3y


2
8
5
 z  9 y z  27 xy  8 x y
3
 y
3y

3
5
2
7

4 xz  3 x y  2 xy
 zx 
2 4

10 x z

3
2 6
z  x  7x y
2 4
 y
10 x z
Regla de la Cadena
z  7 x  2 xy  3 y
3
x  2t  5v
y  t  2v
4
z
x
z
y
3
 21 x  2 y
2
 21 x  2 y
2
5
z x z y




t x t y t
z
2
2
3
21
x

2
y

2

21
x

2
y

4
t
 
 

t
x
y
3
2
 4t
t
t
x
v
z
 5
y
v
 6v
2
Regla de la Cadena
z  7 x  2 xy  3 y
3
x  2t  5v
y  t  2v
4
z
x
z
y
3
 21 x  2 y
2
 21 x  2 y
2
5
z x z y




v x v y v
z
2
2
2
21
x

2
y

5

21
x

2
y

6
v

 

v
x
y
3
2
 4t
t
t
x
v
z
 5
y
v
 6v
2
Ejercicios
1  z  5 x  2 xy  7 y
3
2
2  z  7 v  5u
x  7v  t
v  7 x  2 xy
y  3t  v
u  5 y  3 xy
z
t
?
2
3
z
v
?
z
x
?
z
y
?
Respuestas
1
z
t
z
v
2
z
x
z
y
 15 x  2 y    t    2 x  14 y   3 
2
 15 x  2 y   7    2 x  14 y  1 
2
  7   14 x  2 y     5   3 y 
  7   2 x    5  3 y  3 x 
2
Diferenciales
z  5x y  2x y
3
z
x
5
2
7
 15 x y  4 xy
dz 
2
z
x
5
dx 
z
y
7
5
y
 25 x y  14 x y
3
4
2
6
dy
dz  15 x y  4 xy
2
z
7
 dx   25 x
3
y  14 x y
4
2
6
 dy
Ejercicios
1
z  8x y  6x y
2
z  6 x y  5 xy
3
z y x
5
9
3
3
6
7
3
4
Ejercicios
1
dz   40 x y  18 x y
4
2
dz  1 8 x y  5 y
3
3
4
9
2
 dx   72 x y  24 x y
5
8
3
 dx   6 x  15 xy  dy
dz    7 x  dx   6 y  dy
2
6
3
2
5
3
 dy
Diferenciales Exactos
3 x y dx  2 x y dy
2
2
M  3x y
2
M
 6x y
2
y
2
3
N  2x y
3
Nx  6x y
2
M y  Nx
Diferencial Exacto
Ejercicios
1  6 x dx  10 y dy
2
2
4x
3
 3y
2
 dx  6 xy dy
3  6 x y dx  4 x y dy
2
3
3
Diferencial Exacto
Diferencial Exacto
Diferencial Inexacto
Cálculo de la Primitiva
3 x y dx  2 x y dy
2
2
3
 3 x y dx  3 y
2
2
 2 x y dy  2 x
3
2
3
3
3 2
2 x
x
dx
 3y
 f  y  x y  f  y

3
2

y dy  2 x
3
y
2
2
 g x  x y  g  x
3
2
z  x y c
3
2
Cálculo de la Primitiva
3 x dx  4 y dy
2
 3x
4y
2
3
dx 
3x
3
3
3
dy 
4y
4
 f  y  x  f  y
3
4
 g x  y  g  x
4
z  x  y c
3
4
Ejercicios
 6 x y  dx   6 x y  dy
2   4 x  3 y  dx   6 xy  dy
3   6 x  dx   1 0 y  dy
1
2
3
2
3
3
2
2
Respuestas
1 z  2 x y
3
3
2  z  x  3 xy
4
2
3 z  2 x  5 y
3
2
Gradiente
z  xy  2 x y
2
z
x
3
 y  6x y
2
2
z
y
 2 xy  2 x
 z z 
z 
; 
 x y 
z
 y  6 x y ; 2 xy  2 x
2
2
3

3
Ejercicios
1
z  x y  6x y
2
z  3x y  2x y
3
3
z  7 xy  5 x y
7
4
z  5 x y  xy
5
z  2x y  4x y
2
3
3
2
2
5
5
6
2
4
3
4
6
Respuestas
1
z   2 xy  18 x y ; x  12 x y 
2
z   9 x y  4 xy ; 3 x  6 x y
3
z   7 y  25 x y ;14 xy  35 x y
4
5
2
2
2
3
2
3
3
2
2


z   25 x y  y ; 20 x y  4 xy 
z   12 x y  24 x y ; 6 x y  4 x 
2
4
4
5
4
3
7
5
4
5
5
3
6
6
3
2
6
Vector Unitario
Sea el vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)
Hallar su vector unitario
v  P final  Pinicial
v 
3   2 
v   2,1     1, 3 
v 
94
v   2    1  ,1  3 
v  13
v  2  1 , 1  3
2 
 3
uv  
,

13 
 13
v  3 , 2 
2
2
Ejercicios
1. Sea el vector que inicia en (2,-1) y termina en (-3,2)
Hallar su vector unitario
2. Sea el vector que inicia en (-3,-2) y termina en (4,3)
Hallar su vector unitario
3. Sea el vector que inicia en (-3,5) y termina en (3,-1)
Hallar su vector unitario
4. Sea el vector que inicia en (1,1) y termina en (-3,-2)
Hallar su vector unitario
5. Sea el vector que inicia en (-3,1) y termina en (1,2)
Hallar su vector unitario
Respuestas
1
3 
 5
uv  
,

34 
 34
2
5 
 7
uv  
,

74 
 74
3
6 
 6
uv  
,

72 
 72
4
 4 3 
uv  
,

5
5


5
1 
 4
uv  
,

17
17


Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de: z  2 x y  xy
En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y
termina en (2,1)
2
2
v  3   2 
v  P final  Pinicial
2
v   2,1     1, 3 
v 
v   2    1  ,1  3 
v  13
v  2  1 , 1  3
2 
 3
uv  
,

13 
 13
v  3 , 2 
94
3
Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de: z  2 x y  xy
En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y
termina en (2,1)
2
z
x
 4 xy  y
z
3
 z z 
z  ; 
 x y 
y
z
 2 x  3 xy
2
 4 xy  y
3
3
2
; 2 x  3 xy
2
2

Derivada Direccional
Hallar la derivada direccional de: z  2 x y  xy
En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y
termina en (2,1)
2
z   4 xy  y ; 2 x  3 xy
3
2
2

2
 3

uv  
;

13
 13

3
2
3
2
2
Du z 
 4 xy  y    2 x  3 xy 
13
13
3
Ejercicios
Hallar la derivada direccional de: z  x y  3 xy
En la dirección del vector que inicia en (2,-3) y
termina en (-2,-5)
3
4
Du z  
3x y  3 y
2
20
2

2
20
2
 x  6 xy 
3
Hallar la derivada direccional de: z  3 xy  7 x y
En la dirección del vector que inicia en (-1,-2) y
termina en (-2,4)
Du z  
1
37
 3 y  35 x y  
2
4
6
37
2
 6 xy  7 x
5

5
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