Distribución NORMAL
Es la distribución más importante en probabilidad y estadística.
Muchas poblaciones tienen distribución normal o pueden ajustarse
muy bien a ella.
1
En 1835, Poisson acuñó la frase “ley de los grandes
números” y demostró que había estabilidad estadística en
cuestiones sociales.
10
8
6
4
2
0
0.3
0.9
1.5
2.1
2.7
3.3
3.9
4.5
5.1
5.7
6.3
Ejemplos:
• Estatura, peso y otras características físicas.
• Errores de medición en experimentos científicos
• Tiempos de reacción en experimentos psicológicos
• Mediciones de inteligencia y aptitud.
• Calificaciones en diversas pruebas.
• Muchas medidas e indicadores económicos.
Distribución NORMAL

Se dice que una va X continua tiene una distribución normal con
parámetros m y s (ó m y s2) si su fdp es:
f ( x) 
1
2 s

e
(xm )
2s
2
2
  x
E(X )  m
V (X )  s
2
2
  m 
s 0
Distribución NORMAL
0.8
m 2
s  0 .5
0.6
m 0
s 1
0.4
m 2
m 0
s 1
s 2
0.2
0
-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Distribución NORMAL

Probabilidad de que una variable aleatoria normal se encuentre
entre a y b:
b
P (a  X  b) 

a
4
1
2 s
(xm )
e
2s
2
2
dx
Distribución NORMAL ESTÁNDAR



5
La distribución normal con parámetros m = 0 y s = 1 recibe el
nombre de distribución normal estándar.
La variable aleatoria normal estándar se denota por Z y su
2
fdp es:
z
1
f (z) 
e 2
2
Su función de probabilidad acumulada se
denota por:
2
t
z
1
 (z)  F (z)  
e 2 dt

2
Distribución NORMAL ESTÁNDAR
Uso de tablas
Si Z es una variable aleatoria Normal Estándar, determine:
a)
b)
c)
d)
P(Z < 1.5)
el valor de z tal que P(Z > z) = 0.975
P(-2.33 < Z < 2.33)
el valor de w tal que la variable Z lo excede sólo
con probabilidad 0.001
e) el valor de z tal que P(-z < Z < z) = 0.5
f) el percentil 95 de la distribución normal estándar.
6
a) 0.9332; b) -1.96; c) 0.98;
d) 3.09; e) z = 0.67; f) 1.64.
Distribución NORMAL
Si X tiene distribución normal con parámetros m y s, entonces:
Z 
X m
s
 N (0, 1)
Así, cualquier probabilidad que esté en términos de X se puede “estandarizar”
poniéndola en términos de Z.
xm 

xm 
P ( X  x)  P Z 
  

s 

 s 
7
Distribución NORMAL
Estandarización
x
Z 
8
X m
s
Distribución NORMAL
Ejercicio:
El tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces de freno
traseras de otro vehículo que frena es crítico para ayudar a evitar una
colisión. El artículo “Fast-Rice Brake Lamp as a Collision-Prevention
Device” sugiere que el tiempo de reacción para una respuesta en
tránsito, a una señal de frenado de luces de freno estándar se puede
modelar con una distribución normal que tenga un valor medio de 1.25
seg. y una desviación estándar de 0.46 seg.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre
entre 1.00 y 1.75 seg.?
9
R: 0.5653
Distribución NORMAL
Ejercicio:
Los resultados de la prueba de inteligencia Stanford-Binet IQ tiene
distribución normal con media 100 y desviación estándar de 16.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar
obtenga una calificación…
a) Mayor a 138?
b) A menos de 2 desviaciones de la media?
c) Hallar el percentil 90.
10
R: 0.008704, 0.9545, 120.5
Distribución NORMAL
11
Distribución NORMAL

12
Un producto de consumo diario en el hogar
se envasa en paquetes cuyo contenido neto
al llegar al consumidor es una variable
aleatoria con distribución normal de media
12.5 gr y desviación estándar de 2 gr. ¿Qué
proporción de paquetes llegan al consumidor
con menos de 8.54 gr?
R = 0.0239
Distribución NORMAL
Ejercicio
Según el número de noviembre de 1993 de la revista Harper’s, los
niños estadounidenses pasan entre 1200 y 1800 horas al año
viendo televisión. Suponga que el tiempo que los niños pasan
frente al televisor se distribuye normalmente con una media
igual a 1500 horas y una desviación estándar de 100 horas.
a. ¿Qué porcentaje vio televisión entre 1400 y 1600 horas?
b. ¿Qué porcentaje vio televisión entre1200 y 1800 horas?
R: 0.6826, 0.9973
13
Distribución NORMAL
La calificación en una práctica de laboratorio
es una variable aleatoria normalmente
distribuida, con media de 6.7 y desviación
estándar de 1.37. ¿Cuál es la calificación
mínima aprobatoria si el 30.5% reprueba la
práctica?
R = 6.0013
14
Números aleatorios con
Distribución Normal
En Excel
=NORMINV(RAND(),500,50)
aleatorio entre 0 y 1 media
desv. std.
En MEL (Maya)
gauss (1) + 3
gauss (1)
15
desv. std.
media
desv. std.
Aleatorios2.mel
sphere;
rename nurbsSphere1 a1;
select a1;
duplicate -rr;
for($i=1; $i<=99; ++$i)
duplicate -rr -st;
16
for($i=1; $i<=100; ++$i)
{
select("a"+$i);
$x=gauss(5);
print $x;
print " ";
$y=gauss(5);
print $y;
print " ";
$z=gauss(5);
print $z;
print "\r";
move $x $y $z;
select -d;
};
Aleatorios2.mel
17
Descargar

Probabilidad