Una teoría es más impresionante cuanto mayor
sea la simplicidad de sus postulados, el número
de cosas que relacione y la extensión de su
campo de aplicación. De aquí la impresión tan
profunda que me ha causado la termodinámica.
Es la única teoría física de contenido universal de
la cual estoy convencido que, por lo que respecta
al campo de aplicación de sus conceptos básicos,
nunca será sustituida. Por sólo estas razones, es
una parte muy importante en la educación de un
físico.
Albert Einstein
La teoría cinética trata de
explicar las propiedades de los
gases, tales como la presión, la
temperatura ó el volumen,
considerando su composición
molecular y su movimiento
1. Un gas ideal consta de partículas que siguen un
movimiento aleatorio y que obedecen las leyes de la
mecánica clásica
2. El número total de moléculas es muy grande
3. El volumen ocupado por las moléculas es una fracción
muy pequeña del que ocupa el gas
4. La única fuerza que actúa sobre las moléculas es la
debida a las colisiones, ya sean con otras moléculas o
con las paredes del contenedor
5. Todas las colisiones son elásticas y de muy corta
duración
P 
1
 v
2
3
3
kT 
m v
2
U T
2
2

3
2
N kT
k es la constante de B oltzm ann
k  1.38  10
23
joules/kelvin
R es la constante de los gases ideales
R  8.31
joules
kelvin m ol
El estado mecánico de cada partícula se
define por su posición y su velocidad:
r  x, y, z 
y
v  x, y, z 
E s el n ú m ero d e p artícu las p o r u n id ad d e
vo lu m en d el esp acio d e co n fig u ració n :
d r  d xd yd z
dN  r , v , t   f
dv  dvxdv ydvz
 r , v , t  d rd v
T o d a variab le m ecán ica q u e ex p rese la en erg ía
en fo rm a d el cu ad rad o d e u n a variab le c o n trib u ye
a la en erg ía in tern a co n la m itad d e la co n stan te
d e B o ltzm an n p o r la tem p eratu ra ab so lu ta.
E s d ecir, si l a en erg ía m ecán ica es
E  x
2
la en erg ía in tern a vin cu lad a co n esa variab le vale:
Ux
1

 N  kT 
2

S ea una m olécula que posee f variables m ecánicas,
o grados de libertad, que expresan la en ergía en
form a de cuadrado. E n ese caso:
f
 f

U  N  k T  
nR  T
2
2

E l calor m olar del gas que form a valdrá:
cV 
1 U
n T

f
2
R
G as m o n o ató m ico :
cV
1  U 
3

R

 
n   T V
2
c p  cv  R 
5
2
R
G as d iató m ico :
cV
1  U 
5
 
R
 
n   T V
2
c p  cv  R 
7
2
R
G as poliatóm ico
G rados de libertad, f
 6 ó m ás, siendo traslaciones y rotaciones:
1  U 
6
cV  
  R  3R
n   T V
2
c p  cv  R  3 R  R  4 R
C ristal form ado por átom os o m oléculas m onoatóm icas
ordenados en el espacio.
C ada partícula vibra sobre su posición d e equilibrio y
tiene tres grados de libertad cinéticos y tres potenciales:
1  U 
6
cV  c p  
  R  3R
n   T V
2
E l calor específico m olar de un cristal es
c  3R
Independientem ente de la naturaleza
del cristal
La sección eficaz de choque es el área
dentro del que se debe situar el centro de
una partícula para que choque con otra.
Seguimos pensando en n partículas por
unidad de volumen con la velocidad media,
<v>.
Todas las partículas se sustituyen por sus
centros, y sólo una por sección eficaz, σ.
La sección eficaz de choque será entonce s:
  4 r
2
vt

n    V rel   1

 
1
n V rel

1
4  nr V rel
2
vt

 
  v
 
L cil
N cil
v
n V rel
 
vt
n V rel t

vt
4  nr V rel t
2
v´
v
V rel  v  v ´
V rel  v  v ´
2
V rel
  v  v ´   v  v ´  v
2
 v´  2v  v´
T o m an d o lo s p ro m ed io s
2
V rel

v
2

v´
2
2
 2 v  v´
V rel  v  v ´
v  v´ 
v v ´ cos 

 cos  sin  d 
0

0
y
2
V rel

v
2

v´
2
v  v´  0
2

V rel
v
2

v´
2
H acien d o la ap ro x im ació n
2
 V rel
V rel
2
e ig u al p ara las o tras velo cid ad es, ten e m o s
2
V rel

2
v
 v´
2
2
V rel

2
v
 v´
2
P or últim o, basados en nuestras suposici ones
2
es claro que
así que
V rel

2 v
v

2
v´
 
V rel
 
v t
4 n r

2
V rel t
2 v
v t
4 2 n r
2

v t
1
4 2 n r
2
 
1
4 2 r n
2
T enem os que
n
N
V
así que
 
V
4 2 r N
2
U sando la ecuación de estado de un gas ideal
P V  N kT
 
V
4 2 r N
2

kT
4 2 r P
2
El estado mecánico de cada partícula se
define por su posición y su velocidad:
r  x, y, z 
y
v  x, y, z 
E s el n ú m ero d e p artícu las p o r u n id ad d e
vo lu m en d el esp acio d e co n fig u ració n :
d r  d xd yd z
dN  r , v , t   f
dv  dvxdv ydvz
 r , v , t  d rd v
 m 
N  v  dv  4 N 

 2 kT 
3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
 m 
N  v  dv  4 N 

2

kT


3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
 m 
N  v  dv  4  N 

 2  kT 

N   N  v  dv
0
3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
 m 
N  v  dv  4  N 

 2  kT 
3/2

 m 
 N  v  dv  4 N  2 kT 
0
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
3/2 
 v exp   m v / 2 kT  dv
2
0

  2 kT 
 v exp   m v / 2 kT  dv  4  m 
0
2
3/2
2

 m 
 N  v  dv  4 N  2 kT 
0

 N  v  dv  N
0
2
3/2
  2 kT 


4  m 
3/2
 N
 m 
N  v  dv  4  N 

 2  kT 
3/2
dN  v 
3/2
dv
dN  v 
 m 
  8 N 

2

kT


0
dv
m v / 2 kT  1  0
2
vp 
2 kT
m
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
v exp   m v / 2 kT
2
 m v
2
/ 2 kT  1 
 m 
N  v  dv  4  N 

 2  kT 
v 
1
N
v
3
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2

 vN  v  dv
0
4 N  m 
v 


N  2  kT 

3/2
3/2 
v
3
exp   m v / 2 kT  dv
2
0
exp   m v / 2 kT  dv 
2
2
2k T
m
0
 m 
v  8 

 2  kT 
3/2
2
k T
m
2
2

2
2
8 kT
m
 m 
N  v  dv  4  N 

2

kT


v
2

1
N
v
2
3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2

 v N  v  dv
2
0
4 N  m 



N  2  kT 
3/2 
 v exp   m v / 2 kT  dv
4
2
0

3   2 kT 
 v exp   m v / 2 kT  dv  8  m 
0
4
v
2
5/2
2
 m 
 4 

 2  kT 
3/2
3   2 kT 


8  m 
5/2

3 kT
m
 m 
N  v  dv  4  N 

 2  kT 
v
2

3 kT
m
v rm s 
v
2

3 kT
m
3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
N
K 
1
2
N
m v 
2
i
i 1
1
2

Nm
i 1
N
3
 3 kT 
Nm 
K 
  kT
2
2
 m 
1
K 
3
2
kT
2
vi

1
2
2
N m v rm s
v
2
rm s

3P
y

 
A d em ás
v
M
V
P o r tan to ,
3P


3PV

M
m
y
PV 
M
3 kT
kT
m
P V  N kT
2
rm s

3 kT
m
 m 
N  v  dv  4  N 

2

kT


3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
N  E  dE  N  v  d v
N  E   N v 
dv
dE
C om o
E 
1
mv
2
ó
2
dv
dE

v
2E
m
2 1
m 2
E
2
 m 
N  v  d v  4 N 

 2  kT 
N  E   N v
N  E   4 N
N E 
3/2
v ex p   m v / 2 kT  d v
2
2
dv
dv
dE
dE
m  1 


2   kT 
2N
1

 kT 
3/2

2 1
m 2
3/2
E ex p   E / kT
E ex p   E / kT


1
E
2 1
m 2
1
E
N E 
2N
1

 kT 
3/2
E exp   E / kT

N E 
dN  E 
2N
1

 kT 
 
dE
dN  E 
 0
dE
2E
1 0
kT
EP 
kT
2
3/2
2N
1

 kT 
E ex p   E / kT
1
3/2
2

 2E

ex p   E / kT  
 1
E
 kT

N E 
E 
1

 kT 
0
1

 kT 
N
E 
3
2

 E N  E  dE
1 2N
E 
E ex p   E / kT
3/2

1
N
E 
2N
2
1

 kT 
kT

3/2

3/2
ex p   E / kT d E
0
3 
3/2
E
4
 kT 
5/2

3 kT
2
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CAPÍTULO 8