•Viernes 1 de julio
De 11:00 a 13:00 horas
• Jueves 14 de julio
De 11:00 a 13:00 horas
1.La temperatura
2.El calor y la primera ley de la
termodinámica
3.La teoría cinética de los gases
4.Entropía y la segunda ley de la
termodinámica
5.El Cuerpo negro
a. Modelo molecular de un gas ideal
b. Calor específico molar de un gas ideal
c. Procesos adiabáticos de un gas ideal
d. La equipartición de la energía
e. La distribución molecular de las
velocidades
La teoría cinética trata de explicar las
propiedades de los gases, tales com o
la presión, la tem peratura ó el volum en,
considerando su com posición m olecular
y el m ovim iento de dichas m oléculas.
Hasta antes de 1908 no se había aceptado de
manera general la teoría atómica a pesar de:
Evidencias químicas
Leyes de la química. Dalton et al
Pesos moleculares y atómicos
Tabla periódica de los elementos
Evidencias físicas
Teoría cinética de los gases y del calor
Electrólisis
•Los conocimientos generados por la Química,
sugerían la existencia de los átomos.
•La teoría atómica no era universalmente
aceptada
•La teoría cinética de los gases se basaba en la
idea atómica (Boltzmann). Sin embargo, existían
objeciones filosóficas profundas (Mach)
En 1824, el botánico escocés Robert
Brown observó con un microscopio
granos de polen y esporas, y descubrió
que realizaban un movimiento
completamente errático sin que, al
parecer, nada influyera sobre ellas.
A este movimiento se le llamo
browniano.
http://www.youtube.c
om/watch?v=p5F1d
YDql08
Einstein desarrollo en 1905 la
teoría del movimiento browniano.
Einstein, de pasada, inventó la teoría de los
procesos estocásticos.
También se le da crédito a Marian
Smoluchowski.
http://www.youtube.com/watch?v=3EHQf
3HRiDc&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=onl4iN
_mEWo&feature=related
Es la caminata al azar de una partícula pequeña
suspendida en un líquido, debida al bombardeo de
las moléculas del fluido, cuya distribución de
velocidades es la de Maxwell.
Einstein utilizó la teoría cinética para derivar la
constante de difusión del movimiento browniano, en
términos de los parámetros fundamentales de la
partícula y del líquido.
El coeficiente de difusión se obtiene del desplazamiento medio cuadrático
de la partícula.
E cuación de Langevin y el flujo de S toke s para una esfera
m
dv
dt
  v  F  t 
m es la m asa de la partícula brow niana
v es la velocidad de la partícula brow nia na
  6  a
es la constante de am ortiguam iento
 es la v iscosidad dinám ica
a es el radio de la partícula brow niana
F  t  es la fuerza aleatoria que actua sobre la partícula brow niana
m
dv
  v  F  t 
dt
2
m
d x
dt
 
2
dx
dt
2
mx
d x
dt
2
x
d x
dt
2
2
  x
 F t 
dx
dt
 xF  t 
d  dx   dx 

x


dt  dt   dt 
2
2
d  dx 
dx
 dx 
m
 xF  t 
x
 m
   x
dt  dt 
dt
 dt 
2
d  dx 
dx
 dx 
m
 xF  t 
x
 m
   x
dt  dt 
dt
 dt 
d  dx 
 dx 
m
x
 m 

dt  dt 
 dt 
2
 dx 
 dx 
m
x
 m 

dt  dt 
dt


2
 dx 
 dx 
m
x
  m 

dt  dt 
 dt 
2
d
d
 
x
dx
dt
 
x
dx
dt

x
dx
dt
 xF  t 
 xF  t 
 xF  t 
m
d
x
dt
 dx 
 m 

d
t


dx
dt
xF  t   x
 dx 
m 

2
d
t


1
m
d
dt
x
dx
2

dt
F t   0
2

1
kT
2
 kT  
dt
 
dx
 d


 x
m 
dt
 dt
x
dx
dt

kT
m
x
dx
 xF  t 
 
dx
 d

x


d
t
m
dt


x
dx
dt
 

kT
m
 C ex p    t  
kT


m
C o n d ició n in icial:
C  
0 C 
kT

kT

dx
kT 
x

1  ex p    t  

dt
 

dx
x

dt
d
x
2

dt
x
2
x
2
x
dx
2
dt
2 kT


1 d
x
2
2 dt
1  ex p    t  

1
2 kT 
t  
 t  ex p    t    b

 

2 kT  1 
t  0 
 b
  
b  
2
2
1
2 kT


1
2 kT 
1  ex p    t   
t  
t 

 

1/ ,  t
Si t
1
y
exp    t   1   t 
1
 t
2 2
2
así que
x
 2 kT 
2 kT 
1
1
t  
 t  1  exp    t    
t 
  
  

2
kT 2
x t  
t
m
2
1 2 2 

1  1   t  2  t  


1/ ,  t
Si t
1
y
exp    t   0
así que
 2 kT
2 kT  1
x t  
 t  1  ex p    t    
  


2
x
2
t  
2 kT
6  a
t
kT
3 a
t


1
t 1  1  exp    t   
 t

x
2
kT
t  
3 a
t
P or las hipótesis probabilistas:
por tanto,
r
2

kT
 a
t
  6  a
C om o
tenem os
r
2

6 kT

t
r
2
3 x
2
r
2
D 
 2Dt
3 kT

r
2
D 
 2Dt
3 kT


x 
P x 
ex p  

2  Dt
 4Dt 
1
2
2

x 
P x 
ex p  

4
D
t
2  Dt


1
Con la teoría de Einstein, para el
movimiento browniano, Perrin (1908) fue
capaz de determinar experimentalmente
el número de Avogadro
A partir de ese momento la
teoría atómica de la materia fue
universalmente aceptada
La teoría cinética trata de explicar las
propiedades de los gases, tales com o
la presión, la tem peratura ó el volum en,
considerando su com posición m olecular
y el m ovim iento de dichas m oléculas.
1. E l núm ero de m oléculas en el gas
es m uy grande, y la separación prom edio
entre ellas es grande en com paración
con su tam año.
1. E l núm ero de m oléculas en el gas es m uy grande, y la separación
prom edio entre ellas es grande en com paración con su tam año.
E n o tras p alab ras, las m o lécu las o cu p an
u n vo lu m en d esp reciab le d e recip ien te.
E sto es co n sisten te co n el m o d elo d el
g as id eal, en el cu al p en sam o s en las
m o lécu las co m o p artícu las.
2. Las m oléculas obedecen las leyes de
N ew ton, pero en conjunto se m ueven
aleatoriam ente
3. L as m oléculas interactuan solam ente
con fuerzas de corto alcance durante las
colisiones.
E sto es consistente con el m odelo del ga s
ideal, en el cual la m oléculas no ejerce n
fuerzas de largo alcance entr e ellas.
4. Las m oléculas colisionan elasticam ente
con las paredes.
E stas colisiones generan la presión m acroscópica
en las paredes del recipiente.
5. E l gas es una sustancia pura;
esto es, todas las m oléculas son
idénticas.
1. E l núm ero de m oléculas en el gas es m uy grande, y la separación
prom edio entre ellas es grande en com paración con su tam año.
2. Las m oléculas obedecen las leyes de N ew ton, pero en conjunto
se m ueven aleatoriam ente.
3. Las m oléculas interactuan solam ente con fuerzas de corto
alcance durante las colisiones.
4. Las m oléculas colisionan elasticam ente con las paredes.
5. E l gas es una sustancia pura; esto es, todas las m oléculas son
idénticas.
E s u n a teo ría m ecán ica d e lo s g ases su p o n ién d o lo s
fo rm ad o s p o r p artícu las in d ep en d ien tes o m o lécu las.
E l g as se su p o n e a p resió n b aja, es u n g as id eal.
L as d istan cias en tre p artícu las so n m u y g ran d es
fren te al tam añ o d e las m ism as.
C u m p le el “ lím ite term o d in ám ico ”, o sea, q u e sien d o
N   y V   , su d en sid ad d e p artícu las se
m an tien e fin ita:
n 
N
V
 fin ito
•El gas está formado por partículas iguales,
esféricas, macizas y de masa m, que obedecen
la Mecánica de Newton.
•Las partículas no ejercen fuerzas a distancia.
•Las paredes del recipiente son perfectas.
•Todos los choques son perfectamente
elásticos.
•El volumen que ocupan las partículas es
despreciable en comparación con el volumen
total ocupado por el gas.
•No soporta ningún campo de fuerzas externo.
•El espacio que ocupan es uniforme e isótropo.
L





A1

A2



M asa de cada m olécula: m
V elocidad de cada m olécula: v   v x , v y , v z 
C onsiderem os N m oléculas
de un gas ideal en un
recipiente de volum en V .
E l recipiente es un cubo
con lado d .
C u an d o la m o lécu la
ch o ca co n la p ared ,
el cam b io en el
m o m en to es:
 p xi   m 0 v xi   m 0 v xi 
  2 m 0 v xi
E l cam bio en el m om ento de una
partícula es igual al im pulso de la
fuerza neta que actua sobre la
partícula:
p  I
 p xi   m 0 v xi   m 0 v xi    2 m 0 v xi
A plicando el teorem a del im pulso y el m o m ento,
Fi , ion m olécula   t colisión   p xi   2 m 0 v xi
donde Fi , ion m olécula es la com ponente x de la fuerza
prom edio que las paredes ejercen en la m olécula
durante la coli sión y  t colisión es la duración de la
colisión.
E l intervalo entre
dos colisiones
con la pared es
t 
2d
v xi
P or lo tanto, podem os reescribir el teorem a
de conservación del im pulso y m om ento co m o
Fi  t   2 m 0 v xi
donde Fi es la com ponente de la fuerza pro m edio
en el intervalo de tiem po en que la m olécula
cruza el cu bo y regresa.
Fi  t   2 m 0 v xi , donde Fi es la com ponente de la fuerza prom edio
en el tiem po en el que la m olécula cruza el recipiente y regresa.
Y a q u e só lo u n a co lisió n o cu rre p ara cad a
u n o d e esto s in tervalo s, este resu ltad o es
tam b ién el p ro m ed io d e la fu erza so b re la
m o lécu la en u n tiem p o larg o q u e co n ten g a
cu alq u ier n ú m ero d e m u ltip lo s d e  t .
E l intervalo entre dos colisiones con la pared es  t 
2d
.
v xi
Fi  t   2 m 0 v xi w here Fi is the average force com ponent over the
tim e interval for the m olecule to m ove a cross the cube and back.
Fi  
2 m 0 v xi
t

2m0v
2d
2
xi

m0v
d
2
xi
Fi  
2 m 0 v xi
t

2m0v
2
xi
2d

m0v
2
xi
d
U sando ahora la tercera ley de N ew ton,
tenem os
Fi ,on w all
 m0v  m0v
  Fi    

d 
d

2
xi
2
xi
Fi ,on w all 
m0v
2
xi
d
La fuerza prom edio total F ejercida por e l gas
en la pared se encuentra sum ando las fu erzas
prom ediadas ejercidas por las m oléculas individuales.
S um ando todos esos térm inos
F 
m0
d
N
v
i 1
2
xi
F 
m0
d
N
v
2
xi
i 1
C om o el núm ero de m oléculas es m uy grand e,
las variaciones de la fuerza en el tiem p o se
com pensan ("se suavizan"); por lo tanto,
la fuerza constante F sobre la pared debi do
qa las colisiones de las m olécu las es
F 
m0
d
N
v
i 1
2
xi
F 
m0
d
N
v
2
xi
i 1
E l valor m edio del cuadrado de la velocidad
se calcula de la m anera tradicional:
N
v 
2
x
v
i 1
N
2
xi
N
F 
m0
d
N

v
v 
2
xi
2
x
A sí que:
F 
d
Nv
i 1
N
i 1
m0

2
x
2
v xi
F 
m0
d
Nv
2
x
Fijém onos ahora en una m olécula
con com ponentes de la velocidad
v xi , v yi , y v zi .
D el teorem a de P itágoras, tenem os:
v v v v
2
i
2
xi
2
yi
2
zi
P or lo tanto, el valor prom edio de v
2
para todas las m oléculas en el recipiente
está relacionado con los valores prom edi os
2
x
2
y
de v , v , y v
2
z
según la expresión
v v v v
2
2
x
2
y
2
z
D ado que el m ovim iento es com pletam ente
aleatorio (suposición 2), los valores m e dios
de
2
x
2
y
v , v , y v
2
z
son iguales entre si, y por lo tanto
v  3v
2
2
x
F 
m0
d
v  3v x
2
2
N vx
2
P or lo tanto, la fuerza total
ejercida en la pared es
F 
1
3
N
m0 v
d
2
F 
1
N
3
m0 v
2
d
A hora bien:
P 
F
A

F
d
2

1
3
N
m0 v
d
3
2
1 N 
2
 
 m0 v
3V 
2  N  m0 v
P  

3V  2
2
2  N  m0 v
P  

3V  2
2
La presión en el gas es proporcional a:
(1) el núm ero de m oléculas por unidad
de volum en
y
(2) el prom edio de la energía cinética
de traslación de las m oléculas.
•E l h ab er su p u esto q u e la m o lécu la reb o ta en tre
las d o s p ared es sin ch o car co n n in g u n a o tra
m o lécu la es u n a sim p lificació n q u e n o tien e
co n secu en cias.
S i se realizan cálcu lo s m ás p reciso s sale lo m ism o .
•C o m o lo s ch o q u es so n elástico s, las velo cid ad es
so n al azar y h ay m u ch as m o lécu las siem p re
h ab rá u n a q u e rem p lace a la q u e ch o co in icialm en te.
•E l tiem p o d e las co lisio n es es m u y p eq u eñ o ,
d esp reciab le
•L a fo rm a d el recip ien te n o im p o rta.
N u evam en te el cu b o só lo es p ara
sim p lificar lo s cálcu lo s.
•E n g en eral, se p u ed en d esp reciar
lo s efecto s g ravitacio n ales. S i la m asa y vo lu m en
d el g as so n m u y g ran d es, s í h ay q u e to m arlo s
en cu en ta; el ejem p lo m ás evid en te es la
atm ó sfera terrestre.
2  N  m0 v
P  

3V  2
2
C onsiderem os ahora la tem peratura.
T enem os que
1
2 
PV  N  m0 v 
3 2

2
1
2 
PV  N  m0 v 
3 2

2
y
P V  N kT
U sando la ecuación de estado,
2 1
2 
T 
m
v
0


3k  2

2 1
2 
T 
 m0 v 
3k  2

La tem peratura es una m edida directa
de la energía cinética prom edio de las
m oléculas.
P odem os escribir:
1
2
m0 v 
2
3
2
kT
1
2
m0 v 
2
3
kT
2
La energía cinética traslacional prom edi o
por m olécula es
3
2
kT
1
2
v 
2
x
D ad o q u e
m0 v 
2
1
v
3
kT
2
2
3
ten em o s
1
2
m0 v 
2
x
1
2
k BT
E s claro q u e lo m ism o se p u ed e h acer co n
las o tras d ireccio n es, así q u e
1
2
m0 v 
2
y
1
2
k BT
y
1
2
m0 v 
2
z
1
2
k BT
1
2
m0 v 
2
x
1
2
k BT ,
1
2
m0 v 
2
y
1
2
k BT ,
y
1
2
m0 v 
C ada grado de libertad traslacional
contribuye con una m ism a cantidad
de energía
1
2
k BT
a la energía del gas.
2
z
1
2
k BT
La generalización de este resultado se c onoce com o
el teorem a de la equipartición de la ene rgía:
C ada grado de libertad contribuye
1
2
k BT
a la energía del sistem a.
Los grados de libertad posibles son aque llos
asociados con la traslación, la rotación y la
vibración de las m oléculas.
1
2
m0 v 
2
3
kT
2
La energía cinética traslacional total d e las N
m oléculas del gas es sim plem ente N veces
la energía prom edio por m olécula,
K tot trans
3
3
1
2 
 N  m 0 v   N k BT  n R T
2
2
2

R ecordem os que k B 
R
NA
y qu e n 
N
NA
K tot trans  N
3
2
N k BT 
3
nR T
2
S i las m oléculas del gas poseen únicam en te
energía cinética de traslación, entonces se
trata de la energía interna del gas.
E sto im plica que la energía interna de u n
gas ideal depende únicam ente de la
tem peratura.
2
L a raíz cu ad rad a d e v es llam ad a
raíz cu ad rad a m ed ia d e la velo cid ad
d e las m o lécu las (rm s).
A sí q u e
v rm s 
v 
2
3 k BT
m0

3RT
M
d o n d e M es la m asa m o lar en k ilo g ram o s
p o r m o l y es ig u al a m 0 N A .
v rm s 
v 
2
3 k BT
m0

3 RT
M
A una tem peratura dada, las m oléculas
ligeras se m ueven m ás rápido, en prom edi o,
que las pesadas.
v rm s 
v 
2
3 k BT
m0

3 RT
M
T o d a variab le m ecán ica q u e ex p rese la en erg ía
en fo rm a d el cu ad rad o d e u n a variab le, c o n trib u ye
a la en erg ía in tern a co n la m itad d e la co n stan te
d e B o ltzm an n p o r la tem p eratu ra ab so lu ta .
E s d ecir, si la en erg ía m ecán ica es E  x
2
la en erg ía in tern a vin cu lad a co n esa variab le val e :
E x , in terna
1

 N  kT 
2

E x , interna
1

 N  kT 
2

La energía de un sistem a en
equilibrio térm ico se divide
por igual entre todos los
grados de libertad.
P or las hipótesis estructurales hechas,
(son pelotas rígidas) un gas ideal sólo
acum ula energía cinética.
La energía interna de un gas ideal sólo
es cinética.
E int  K tot trans 
3
2
N k BT 
3
2
nR T
La energía interna de un gas ideal sólo es cinética.
A sí que
 E int  E int, 2  E int,1
2
 m  v 22 
m  v1  
 N 


2
2


P ero según la interpretación cinética de la tem peratura,
3
2
kT 
1
m  v  y tenem os
2
2
 U  E int, 2  E int,1
2
 m  v 22 
m  v1   3
 N 

  N k  T 2  T1 
2
2

 2
 E int 
3
2
Nk T
a. Modelo molecular de un gas ideal
b. Calor específico molar de un gas
ideal
c. Procesos adiabáticos de un gas ideal
d. La equipartición de la energía
e. La distribución molecular de las
velocidades
C onsiderem os un gas ideal en el que
se llevan a cabo varios procesos
tales que el cam bio en la tem peratura
es
 T  T f  Ti
para todos ellos.
E l cam bio en la tem peratura se
puede lograr tom ando diversas
trayector ias entre las dos isoterm as.
D ad o q u e  T es el m ism o p ara cad a
u n a d e las trayecto rias, el cam b io en
la en erg ia in tern a  E in t is tam b ién el
m ism o p ara to d as las trayecto rias.
E l trab ajo W h ech o en el g as (el
n eg ativo d el área b ajo la cu rva) es
d iferen te p ara cad a cam in o .
P o r lo tan to , d e l ap rim era ley, el
calo r aso ciad o co n u n cam b io d ad o
d e tem p eratu ra n o tien e u n valo r ú n ico .
P o r eso se d efin e:
Q  n C V  T (vo lu m en co n stan te)
Q  n C P  T (p resió n co n stan te)
d o n d e C V es el calo r esp ecífico
m o lar a vo lu m en co n stan te
y C P es el calo r esp ecífico m o lar
a p resió n co n stan te.
C onsiderem os un gas ideal en el que
se llevan a cabo varios procesos
tales que el cam bio en la tem peratura
es
 T  T f  Ti
para todos ellos.
E l cam bio en la tem peratura se
puede lograr tom ando diversas
trayector ias entre las dos isoterm as.
C uando se añade energía a un gas calenta ndolo
a presión constante, no sólo aum enta la energía
interna, sino que el gas hace trabajo so bre el
m edio am biente (trabajo negativo, según nuestra
convención) ya que su volum en aum enta para
m antener la presión constante.
C uando se añade energía a un gas calenta ndolo a presión constante, no sólo aum en ta la energía
interna, sino que el gas hace trabajo so bre el m edio am biente (trabajo negativo, según nuestra
convención) ya que su volum en aum enta para m antener la presión constante.
P or lo tanto, el calor Q en la ecuación
Q  nC p  T
debe dar cuenta del increm ento en la
energía interna y de la transferencia
de energía hacía fuera del gas por el
trabajo realizado.
P or lo tanto, el calor Q en la ecuación Q  nC p  T debe dar cuenta del increm ento en la
energía interna y de la transferencia de energía hacía fuera del gas por el trab ajo realizado.
P or esa razón, Q es m ayor en
Q  nC p  T
que en
Q  nC V  T
para valores dados de n y  T .
P or tanto, C P es m ayor que C V .
E n este caso
E int  K tot trans 
3
2
N k BT 
3
nR T
2
 P ara un gas ideal m onoatóm ico la energía
interna es función únicam ente de la tem p eratura.
 E n general, la energía interna de un gas ideal
is una función sólo de T y la relación depende
del tipo de gas.
 E int  nC V  T
E n el caso en que los cam bios son
infinitesim ales, tenem os
CV 
1 dE int
n dT
E int 
3
CV 
nR T
2
1 dE int
n dT
E s claro q u e,
CV 
3
2
R
CV 
3
2
R  12.5
J
m ol×K
 E int  Q  W
 E int  nC V  T
Q  nC P  T
P V  nR T  P  V  nR  T
si la presión es constante
 E in t  Q  W :  E in t  n C V  T , Q  n C P  T
P V  nR T
nC V  T  nC P  T  nR  T

C P  CV  R
E sta ecuación es válida
para todo gas ideal.
P
 co n stan te 
C P  CV  R
C om o sabem os que para un gas ideal
m onoatóm ico
CV 
3
R
2
entonces
CP 
5
2
R  20.8
J
m ol× K
CP 
5
2
R  20.8
J
m ol×K
A la razon de los calores específicos se le llam a
asi, razón de los calores especificos o índice
adiabático. S e denota por  .
E s decir,
=
CP
CV

5R / 2
3R / 2

5
3
 1.67
=
CP
CV

5R / 2
3R / 2

5
3
 1.67
E n el caso de los sólidos y de los líquidos
calentados a presión constante, poco
trabajo se hace debido a que la expansió n
térm ica es pequeña.
E n consecuencia, C P y C V son aproxim adam ente
iguales.
S ea u n a m o lécu la q u e p o see
f
variab les m ecán icas,
o g rad o s d e lib ertad ,
q u e ex p resan la en erg ía
en fo rm a d e cu ad rad o .
S ea una m olécula que posee f variables m ecánicas,
o grados de libertad, que expresan la en ergía en form a de
cuadrado.
E n ese caso:
 E int
f
 f

 N  k T  
nR  T
2
2

S ea una m olécula que posee f variables m ecánicas,
o grados de libertad, que expresan la en ergía en form a de
cuadrado:  E int
f
 f

 N  k T  
nR  T
2
2

P or lo tanto, el calor m olar del gas que
form a valdrá:
CV 
1  E int
n T
 f
R
2
E nergía cinética de traslación:
1
2
mv 
2
x
1
2
mv 
2
y
1
2
mv
2
z
E n erg ía cin ética d e ro tació n
1
2
I x 
2
x
1
2
I y 
2
y
1
2
I z
2
z
E nergía cinética de vibración
1
2
mv 
2
x
1
2
mv 
2
y
1
2
mv
2
z
E n erg ía p o ten cial d e vib ració n
1
2
kx 
2
1
2
ky 
2
1
2
kz
2
S ea una m olécula que posee f variables m ecánicas,
o grados de libertad, que expresan la en ergía en form a de
cuadrado:  E int
f
 f

 N  k T  
nR  T
2
2

P or lo tanto, el calor m olar del gas que
form a valdrá:
CV 
1  E int
n T
 f
R
2
CV  f
G as m o n o ató m ico :
CV 
3
R
2
C p  Cv  R 
5
2
R
R
2
CV  f
G as diatóm ico:
CV 
7
R
2
C p  Cv  R 
9
2
R
R
2
CV  f
G as poliatóm ico
G rados de libertad, f
 6 ó m ás,
siendo traslaciones y rotaciones:
CV 
6
R  3R
2
C p  Cv  R  3R  R  4 R
R
2
G as d iató m ico :
CV 
7
Cp 
9
 
R  2 9 .1
2
R  3 7 .4
2
9/2
7/2
 1 .2 8
G as d iató m ico :
CV 
5
Cp 
7
 
R  2 0 .8
2
R  2 9 .1
2
7/2
 1 .4 0
5/2
¿f 5 ?
¿Q ué esta sucediendo?
C ristal form ado por átom os o m oléculas m onoatóm icas
ordenados en el espacio.
C ada partícula vibra sobre su posición d e equilibrio y
tiene tres grados de libertad cinéticos y tres potenciales:
1   E in t 
6
CV  C p  
  R  3R
n   T V
2
E l calo r esp ecífico m o lar d e u n cristal es
C  3R
In d ep en d ien tem en te d e la n atu raleza
d el cristal
La sección eficaz de choque
es el área dentro de la que se
debe situar el centro de otra
partícula para que choquen.
La sección eficaz de choque es el área d entro de la que se
debe situar el centro de otra partícula para que choquen.
P ensam os en  partículas por unidad
de volum en con una velocidad m edia, v .
T odas las partículas se sustituyen por s us
centros, y sólo una por su sección efica z,  .
La sección eficaz de choque será entonces:   4 r
2
r
r
2r
 
vt
4  r  v rel t  
2

1
v
4 r  v rel
2
v´
v
v rel  v  v ´
v rel  v  v ´
v rel
2
  v  v ´   v  v ´  v
T o m an d o lo s p ro m ed io s
v rel
2
 v
2
2
 v´  2v  v´
2
2
 v´  2v  v´
v rel
2
 v
2
2
 v´  2v  v´
v  v ´  v v ´ co s 

p ero
co
s

sin

d


0

0
y
v rel
2
 v
2
 v´
2

v  v´  0
v rel
2
 v
2
 v´
2
H aciendo la aproxim ación
v rel
2
 v rel
2
e igual para las otras velocidades, tene m os
2
v rel
 v
2
 v´
2
2
v rel
 v
2
 v´
2
P o r ú ltim o , b asad o s en n u estras
su p o sicio n es es claro q u e
2
v
 v´
2
así q u e
v rel 
2v
 
1
v
v rel 
4  r  v rel
 
2
1
4 2  r
2
2v
 
1
4 2  r
2
T enem os que  
N
,
V
así que  
V
4 2 r N
2
 
1
4 2  r
2

V
4 2 r N
2
y
P V  N kT
T enem os
 
V
4 2 r N
2

kT
4 2 r P
2
 
V
4 2 r N
2

kT
4 2 r P
2
1.La temperatura
2.El calor y la primera ley de la
termodinámica
3.La teoría cinética de los gases
4.Entropía y la segunda ley de la
termodinámica
5.El Cuerpo negro
a. Modelo molecular de un gas ideal
b. Calor específico molar de un gas ideal
c. Procesos adiabáticos de un gas ideal
d. La equipartición de la energía
e. La distribución molecular de las
velocidades
La función de distribución
nV  E 
es tal que
nV  E  dE
es el núm ero de m oléculas por unidad
de volum en con energía entre
E y E  dE .
E n general,
nV  E   n 0 e

E
kT
donde
n0
es el núm ero de m oléculas por unidad
de volum en con energía entre
0 y dE .
 m 
N  v   4 N 

2

kT


3/2
v exp   m v / 2 kT
2
2

 m 
N  v   4 N 

2

kT


3/2
v exp   m v / 2 kT
2
2

 m 
N  v   4 N 

 2 kT 
3/2
v exp   m v / 2 kT
2
2

E l n ú m ero to tal d e p artícu las es:

N 

0
N  v  dv
 m 
N  v   4 N 

 2 kT 

 m 
 N  v  dv  4 N  2 kT 
0
3/2
v exp   m v / 2 kT 
2
2
3/2 
 v exp   m v / 2 kT  dv
2
0

  2 kT 
 v exp   m v / 2 kT  dv  4  m 
0
2
3/2
2



 N  v  dv  4 N  2 kT 
0

 N  v  dv  N
0
2
m
3/2
  2 kT 


4  m 
3/2
 N
 m 
N  v   4 N 

 2 kT 
dN  v 
dv
dN  v 
 m 
  8 N 

 2  kT 
0
dv
m v / 2 kT  1  0
2
vp 
2 kT
m
3/2
3/2
v exp   m v / 2 kT 
2
2
v exp   m v / 2 kT
2
 m v / 2 kT  1 
2
 m 
N  v   4 N 

2

kT


v 
1
N
v
3
v exp   m v / 2 kT 
2
2

 vN  v  dv
0
4 N  m 
v 


N  2  kT 

3/2
3/2 
v
3
exp   m v / 2 kT  dv
2
0
exp   m v / 2 kT  dv 
2
2
2k T
m
0
 m 
v  8 

 2  kT 
3/2
2
k T
m
2
2

2
2
8 kT
m
 m 
N  v   4 N 

2

kT


v
2

1
N
v
2
3/2
v exp   m v / 2 kT 
2
2

v
2
N  v  dv
0
4 N  m 



N  2  kT 
3/2 
v
4
ex p   m v / 2 kT  d v
2
0

3   2 kT 
 v ex p   m v / 2 kT  d v  8  m 
0
4
v
2
5/2
2
 m 
 4 

 2  kT 
3/2
3   2 kT 


8  m 
5/2

3 kT
m
 m 
N  v   4 N 

 2  kT 
v
2
3/2

v exp   m v / 2 kT
2
2
3 kT
m
v rm s 
v
2

3kT
m

 m 
N  v   4 N 

2

kT


v 
vp 
v rm s 
8 kT
m
2 kT
m
3 kT
m
3/2
v exp   m v / 2 kT
2
2

N
K 
1
2
N
m v 
2
i
i 1
1
2
v
Nm
i 1
N
3
 3 kT 
K 
Nm 
  kT
2
2
 m 
1
K 
3
2
kT
2
i

1
2
Nmv
2
rm s
 
M
; v
V
2
rm s

3P
;

v
2
rm s
P o r tan to ,
3P


3PV

M
m
y
PV 
M
3 kT
kT
m
A sí q u e
P V  N kT

3 kT
m
 m 
N  v  dv  4 N 

 2 kT 
3/2
v exp   m v / 2 kT  dv
2
2
1) N  E  dE  N  v  dv  N  E   N  v 
2) E 
1
mv
2

2
m
así que
dv
dE

2 1
m 2
v
2E
E
dv
dE
 m 
N  v  d v  4 N 

2

kT


N  E   N v
N  E   4 N
N E  
2N

v ex p   m v / 2 kT  d v
2
2
dv
dv
dE
dE
m  1 


2   kT 
1
 kT 
3/2
3/2
2 1

m 2
3/2
E ex p   E / kT
E ex p   E / kT

1

E
2 1
1
m 2
E
N E 
2N

1
 kT 
3/2
E exp   E / kT

N E 
dN  E 
 
dE
dN  E 
 0
dE
2E
1 0
kT
EP 
kT
2
2N

2N

1
 kT 
3/2
1
 kT 
1
3/2
2
E exp   E / kT

 2E

ex p   E / kT  
 1
E
 kT

N E 
E 
1

2

3
2

0
1 2N
E 
 kT 
E exp   E / kT
3/2
 E N  E  dE
N
E 

1

N
E 
2N
kT

1
 kT 

3/2
3/2
ex p   E / kT d E
0
3 
1
 kT 
3/2
E
4
 kT 
5/2

3 kT
2
a. Modelo molecular de un gas ideal
b. Calor específico molar de un gas ideal
c. Procesos adiabáticos de un gas
ideal
d. La equipartición de la energía
e. La distribución molecular de las
velocidades
dE int  Q  dW
S i el p ro ceso es ad iab ático , en to n ces
d E in t  d W   P d V
P ero ad em ás, d E in t  n C V d T
n CV d T   P d V  n d T  
PdV
CV
PV  nRT
PdV  VdP  nRdt
P dV
ndT  
P dV  V dP  nR dt
CV
PdV  VdP  
R
PdV
CV
dV

dP
V

P
R dV
 0
CV V
 CV  R  d V
dP

 0


P
 CV
 V
 C P  dV
dP

 0


P
 CV  V

dV
V

dP
P
 0
dV


dP
V


dV
0
P

V

dP
 0
P
 ln V  ln P  cte
ln  P V
PV


  cte
 cte
dV


dP
V


dV
0
P

V

dP
 0
P
 ln V  ln P  cte
ln  P V
PV


  cte
 cte
PV

 cte
PV
TV

 cte
1
 cte
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Teoría cinética de los gases