Introducción a las
Funciones
Prof. Evelyn Dávila
Temas prerrequisitos












Ecuaciones lineales en una variable
Inecuaciones lineales en una variable
Operaciones con polinomios
Factorización de polinomios
Conjunto de los números reales, valor absoluto, notación de
intervalos
Plano cartesiano
Ecuaciones lineales en dos variables: conjunto solución, gráficas ,
pendiente
Forma pendiente-intercepto - y  mx  b
Tipos de líneas
Hallar la ecuación de una línea
Líneas paralelas y perpendiculares
Fórmula de distancia y punto medio
Números Complejos
Imaginarios
i  1
Reales
Racionales
Enteros
Cardianles
Naturales
Irracionales
No enteros

Números Naturales

Números Cardinales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
("Whole Numbers")

Enteros
Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }

Números Racionales Q = { p/q | p, q son enteros y q  0 }

Números Irracionales Q'= {Todo numero real que no es racional}
{ Números cuya representación decimal no termina y no son decimales
repetitivos }

Números Reales
R = { Todo número racional o irracional }
= { Q  Q'}






Definición de función
Dominio
Recorrido
Notación
Evaluar una función
Cociente diferencial
Una función es una relación entre
dos conjuntos de tal manera que
para cada elemento del primer
conjunto corresponde un solo
elemento del segundo conjunto.

Ejemplos reales de relaciones que envuelven
funciones:



Un individuo y su seguro social
Un vehículo de motor y su tablilla.
Por lo contrario, no es una función la
relación de madre e hijos. Explica por qué.
Al primer conjunto, de donde tomamos los
elementos para la regla, se le llama Dominio y
al segundo conjunto se le llama Recorrido o
Campo de Valores.
a
b
c
DOMINIO
avión
carro
barco
RECORRIDO
Ejemplo 1
a
b
c

avión
casa
barco
¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se
relacionan los dos conjuntos?
Observa que la relación anterior produce un
conjunto cuyos elementos son pares ordenados,
éstos son:
{ ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro )
¿Cuál es el Dominio en esta relación?
¿Cuál es el Recorrido ?
}
RESPUESTAS Ejemplo 1

DOMINO

Recorrido
{ a, b, c }
{avión, barco, carro}
Ejemplos reales (cotidianos)
Seguro social
 Número ID
 Tablilla vehículo

Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4
a.
4
¿Cuál es el Dominio en esta relación?
b. ¿Cuál es el Recorrido ?
Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4
4
a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?
{ 1, 2, 3, 4 }
Dominio
b. ¿Cuál es el Recorrido ?
{ 2, 4, 6, 8 }
Recorrido
Continuamos - Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4

4
Indica cuáles son los elementos de esta relación.
Continuamos - Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4

4
Indica cuáles son los elementos de esta relación.
{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }
RESPUESTAS- Ejemplo 2
c.
{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

Observa que los elementos de este conjunto
son pares ordenados donde el primer elemento
corresponde a un elemento del DOMINIO y el
segundo elemento corresponde a uno del
RECORRIDO.
Continuamos -
Ejemplo 2
6
1
2
2
8
3
4

4
¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué
regla la describe?
RESPUESTAS- Ejemplo 2

Observamos que en esta relación
multiplicamos cada elemento del
Dominio por dos.
2x1=2
2x2 =4
2x3 =6
2x4 =8
Si representamos a los elementos
del DOMINIO con una x , y a los
elementos del RECORRIDO con una
y , entonces podemos representar la
relación dada de la siguiente forma:
y = 2x

Decimos que y = 2x , es la regla
que describe la relación dada en el
Ejemplo 2 .

Observa, que esta ecuación nos indica
que de acuerdo al valor que se le asigne a
la variable x , será el valor que se obtiene
para y.
Práctica
Según la definición de función, cuáles de los
siguientes dibujos representan a una función.
a
b
c
a
b
c
1
2
3
I
II
1
2
3
I
II
RESPUESTAS
SI
a
b
c
SI
1
2
3
a
b
c
1
2
3
I
II
NO
I
II
RESPUESTA

Observa que para el elemento I en el
DOMINIO corresponden dos elementos
distintos en el RECORRIDO, por lo tanto
no responde a la definición de funciones.
1
2
3
I
II
NO
Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su
Dominio y su Recorrido.
a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________
b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________
c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________
d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________
Respuestas a la Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su
Dominio y su Recorrido.
a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI
Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }
b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI
Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}
c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO
Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO
d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI
Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}
Identificar funciones mediante la observación
de tabla de valores

Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores
representa a una función. En las siguientes tablas la
primera columna representa a la variable independiente
y la segunda columna a la variable dependiente.
a
b
c
d
e
f
-5
10
-1
1
4
8
0
0
0
0
2
1
5
-10
1
1
1
2
4
0
2
4
2
4
Notación de Funciones
f
X ------> Y
Dominio
Recorrido
y = f(x)
f es el nombre que se le asignó a la función, se
lee "y es función f de x” , las variables son
x y y.
Ejemplos
y  3x  8
y  x  3x  1
x 1
y
2x
2
f ( x)  3x  8
h( x )  x  3 x  1
x 1
g ( x) 
2x
2
Importante

Observa: El valor de y , depende del valor que
se le asigne a

x,
en la regla correspondiente.
Llamamos a y ,la variable dependiente y a
la variable independiente.
x
Aplicación
Identifica para cada situación la variable
dependiente y la variable independiente.
Se
investiga la relación entre el diametro del
tronco de un árbol y la edad de éste en
términos de años de vida.
CONTINUACION -Aplicación

Se desea conocer cómo se reproducen los
mosquitos durante los doce meses del año.

La relación entre la estatura de las mujeres y
el tamaño de sus pies.

La cantidad de horas que dedican los
estudiantes a estudiar para un examen y la
puntuación que obtienen en éste.
EVALUAR UNA FUNCIÓN
Evaluar una función consiste en seleccionar
un valor del Dominio de esa función y
sustituírlo en la regla de la función.
Ejemplo 1
Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.
Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en
este valor en la regla de la siguiente forma
f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.
x = 3, sustituimos
Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.
Cada vez que evaluamos una función obtenemos
dos valores, uno para la variable independiente y el
valor correspondiente para la variable dependiente.
Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma
( x, y) .
Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el
par ordenado es ( 3, 7).
Continuamos con el Ejemplo 1

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Evalúa la función f , en los valores indicados’

f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11
Práctica

f(1) = ______

f(7) = ______

f(4) = ______
par ordenado
( 5 , 11)
Respuesta

f(1) = 3
( 1, 3 )

f(7) = 15
( 7, 15 )

f(4) = No existe
 El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

¿Cuáles son los elementos de esta relación ?

¿Cuál es el RECORRIDO ?
Sea f(x)
= 2x +1
una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.

¿Cuáles son los elementos que describen a la
función f ?
 { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }

¿Cuál es el RECORRIDO ?
 { 3, 7, 11, 15 }
Ejemplo 2
Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}
a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta
relación?
b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.
c) Indica el Recorrido
Ejemplo 2
Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}
a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación?
NO es elemento de esa función porque h(2) = 6.
b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.
{ (1,3), (2,6) , (3,11) }
c) Indica el Recorrido
{ 3, 6, 11 }
Práctica
Sean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ;
funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo
número real que produzca numeros reales en el Recorrido.
Evalúa en los valores indicados:
a)
b)
c)
d)
f(-3) =
g(15) =
h( 3) =
q(4) =
f(0) =
g(-5)=
h( -2) =
q(-7) =
Respuestas - Práctica
f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x
a. f(-3) = -15
f(0) = 0
b. g(15) = 12
g(-5)=-8
c. h( 3) = 15
h( -2) = 0
d.. q(4) = -4
q(-7) = 7

Cuando no se especifica cuál es el
Dominio de la función entonces es
implícito que consiste en el conjunto de
todo número real para el cual esté
definida la función en los números reales.

Al evaluar una función el resultado para
la variable dependiente y , debe ser un
número real.

Ejemplo en el que se debe tener
cuidado: g ( x)  x
g(1) = 1
g(16) = 4
g(-4) = 2i
El resultado NO es un número real por lo
tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.
Cociente Diferencial

Llamamos a la expresión dada por
f ( x  h)  f ( x)
h
el cociente diferencial de f(x).

El cociente diferencial es equivalente a la fórmula
de la pendiente de la línea que pasa por los puntos
( x, f ( x))
y ( x  h, f ( x  h))
Halla el cociente diferencial de la
función f(x)  2x  5
Primer paso:
Evaluar f(x+h)

Segundo paso:
Sustituir en la fórmula

Tercer paso:
Simplificar

f ( x  h )  2( x  h )  5
 2 x  2h  5
[2 x  2h  5]  [2 x  5]
h
2h

2
h
Halla el cociente diferencial de la
2
función
h(x)  3x
Primer paso:
Evaluar f(x+h)

Repasar
( a  b)2  a 2  2ab  b2
( x  h )2  x 2  2 xh  h 2
Halla el cociente diferencial de la función
2
f(x) 3x
Primer paso:
Evaluar f(x+h)

Segundo paso:
Sustituir en la
fórmula

Tercer paso:
Simplificar

f ( x  h)  3( x  h)2
 3( x 2  2 xh  h 2 )
 3x 2  6 xh  3h 2
[3x 2  6 xh  3h 2 ]  [3x 2 ]
h
2 3h(2 x  h)
6
xh

3
h


h
h
 3(2 x  h)
 6 x  3h
 Prueba de la línea vertical
 Función uno a uno: prueba de la
línea horizontal
 Comportamiento y características de
la función dada su gráfica
 Función con Dominio Restringido
PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL
Dada una gráfica, si para toda línea vertical
que pase por cada uno de los valores del
Dominio de la relación ésta toca (cruza)
sólo un punto de la gráfica, entonces
corresponde a una función.
x
y
Para cada gráfica indica si ésta es una función
FUNCIONES BASICAS
FUNCION
IDENTIDAD
DOMINIO  x 
RECORRIDO y 
x
y =x
y
FUNCION CON VALOR ABSOLUTO
DOMINIO  x 
RECORRIDO y  0
x
y
y x
FUNCION CUADRATICA
DOMINIO x 
RECORRIDO y  0
x
y
y  x2
FUNCION
CUBICA
DOMINIO  x 
RECORRIDO y 
x
y
y  x3
FUNCIONES QUE ENVUELVEN
RADICALES
DOMINIO  x  0
RECORRIDO y  0
y x
FUNCION RACIONAL
1
f ( x) 
x
Do min io  {x  R y x  0}
Re corrido  { y  R y y  0}
FUNCION EXPONENCIAL
DOMINIO  x 
RECORRIDO y  0
x
CASO
b>1
CASO
1
0<b<1
1
x
y  bx
y
dondeb  0 y b  1
y
FUNCION LOGARITMICA
DOMINIO  x  0
RECORRIDO y 
1
y  logb x , dondeb  0 y b  1
 Funciones
restringido
con DOMINIO

Son funciones que por su naturaleza no
pueden tener como su DOMINIO al conjunto
de los números reales.

En estos casos tenemos que determinar cuál
es el conjunto que representa a su DOMINIO
y éste será un subconjunto de los números
reales.
Se requiere conocimiento previo de los
siguientes temas:



Radicales
Expresiones racionales
Inecuaciones lineales

Dos tipos de funciones que como regla
general tendrán DOMINIO restringido
son: las funciones con radicales y las
funciones racionales.
FUNCIONES QUE ENVUELVEN
RAÍCES CUADRADAS
(Índices pares en general)
Procedimiento para determinar el Dominio
de una función con raíz cuadrada.
 A la expresión del radicando se le aplica
la propiedad de radicales correspondiente
y se despeja para la variable.
 El resultado de esta inecuación es el
Dominio de la función.

Una función con DOMINIO restringido es
aquella en la que su regla no permite
operar en el conjunto de los números
reales para algunos valores particulares.
Es decir, existen valores reales que si los
utilizas para evaluar la función el
resultado que obtendrás no está definido
en los números reales.
Ejemplos
1)
x 1
2)
2x  1
3)
x2  4
Práctica
1)
2)
3)
5x  3
4 x
2
x 9
FUNCIONES RACIONALES
DEFINICION
 Un número racional es un número que se
puede representar en la forma
{ p/q | p, q son enteros y q  0 }

Para determinar el DOMINIO de una
función racional debemos identificar los
valores de x que hacen al denominador
cero y excluirlos del Dominio de la
función.
Procedimiento

Halla las raíces del denominador, es decir,
igualas la expresión del denominador a
cero y resuelves.

Los valores encontrados los excluyes del
DOMINIO
Ejemplos
1)
2)
x 1
y
x3
2x  1
y
4x  3
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = 5
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = - 3
Ejemplos
3)
y
x2
x2  4 x  5
y
4)
a) ¿Cuál es el Dominio?
x 1
a) ¿Cuál es el Dominio?
x2  1
b) Evalúa la función en x = -1
4)
y
x4
x 2  16
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = 0
Práctica: Indica el Dominio de cada
función
1)
x 1
x 3
f ( x) 
a) Do min io
b) f (4)
2) g ( x ) 
a ) Do min io
b) f ( 4)
x2
x 2  3x  2
FUNCION UNO A UNO
Definición

Una función uno a uno es una función en la que
para cada elemento de su recorrido ( campo de
valores) existe un sólo elemento correspondiente
en el DOMINIO.
FUNCION
UNO A UNO
1
5
10
15
2
3
DOMINIO
RECORRIDO
RELACIóN {(1,5) , (2,10) , (3,15) }
Indica cuáles de las siguientes relaciones representan una
función UNO a UNO.
a
b
c
Dominio
1
2
Dominio
1
Contesta para cada
relación:
3
Recorrido
10
20
40
Recorrido
¿Esta relación es una
función?
¿Esta relación es una
función uno a uno?
Para determinar si una gráfica dada corresponde
a una función uno a uno utilizamos la prueba
de la línea horizontal.
¿Existe alguna línea
horizontal que toque dos
puntos de esta gráfica a
la misma vez?
x
y
Identifica cuáles de las siguientes funciones son
uno a uno.
Características de la gráfica de una función




Dominio y Recorrido
Interceptos en x
Intercepto en y
Comportamiento





Constante
Creciente
Decreciente
Intervalo donde la función es positiva
Intervalo donde la función es negativa
Repasar Notación de Intervalo

Se incluyen ambos extremos


Intervalo cerrado
No se incluyen ninguno de los extremos (a, b)


[a,b]
Intervalo abierto
Se incluye uno de los dos extremos
[a,b) se incluye a , (a,b] se incluye b
Características de la gráfica de una función

Dominio



Recorrido




Se observa la gráfica horizontalmente de izquierda a
derecha.
Se toman los valores extremos en x de la gráfica.
Se observa la gráfica verticalmente de abajo a arriba.
Se toman los valores extremos en y de la gráfica.
Interceptos en x : puntos donde y=0
Intercepto en y: punto donde x=0
Características de la gráfica de una función

Comportamiento


Constante: el valor de y no cambia
Creciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor
de y aumenta

Decreciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor
de y disminuye
Características de la gráfica de una función


Intervalo donde la función es positiva: y > 0
Intervalo donde la función es negativa: y < 0
Hojas sueltas

Ejemplos

Práctica