Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Matemática Básica
(C.C.)
Sesión 13.1
Ciclo 2007.1
MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
INTRODUCCIÓN
• Los salarios de las superestrellas de los
deportes profesionales reciben mucha
atención de los medios de comunicación.
Cada año que pasa un contrato millonario se
está convirtiendo en un hecho común y
corriente para este grupo de élite. Aun así,
son pocos los años que una de las
asociaciones deportivas no negocien con los
dueños de equipos nuevas condiciones
salariales y beneficios marginales para
todos los jugadores de un deporte en
particular.
• Según los dueños de equipos de básquet, el salario
promedio
de
un
jugador
es
de
$ 275 000. Los representantes de los jugadores
alegan que el salario promedio está cerca de $310
000. Ambos grupos cuentan con los mismos datos.
¿Cómo pueden llegar a conclusiones tan dispares?
¿Quién dice la verdad?
• Una manera de representar características de un
conjunto de datos en estadística es a través de
tres medidas numéricas: media, mediana y moda.
Cada una de ellas representa un tipo de promedio,
el cual indica la tendencia central del conjunto de
datos. En esta parte del curso veremos como
calcularlos y que información nos brindan.
MODA
• La moda es el dato que más se repite (el de más alta
frecuencia). Por ejemplo: ¿cuántas veces se repite la
letra “e” en la palabra “representatividad”? se repite 3
veces y te fijarás que es la que más se repite, por lo
tanto se dice que la letra “e” es la moda de este conjunto
de letras.
• Podremos determinar la moda en muestras de variables
tanto cualitativas como cuantativas (datos agrupados o
no).
• La moda es muy fácil de calcularla y útil, pro tiene sus
limitaciones, a veces no encontraremos moda (cuando
todos o más de dos tienen la misma frecuencia) o
muestras bimodales (con dos modas). Por lo tanto
veremos otras opciones.
Para datos no agrupados
• La moda se define como el valor o clase que tiene
la mayor frecuencia, en un conjunto de
observaciones.
• Cuando los datos obtenidos solamente pueden
clasificarse en categorías, se emplea la moda para
describirlo. Sin embargo el empleo de la moda no
está limitado al tipo de datos cualitativos o
descriptivos.
• La moda resulta sumamente útil para expresar la
tendencia
central
de
observaciones
correspondientes a características cualitativas
tales como color, estado civil, ocupación, lugar de
nacimiento, etc.
Para datos agrupados
• Para calcular la moda de n datos tabulados
por intervalos, primero se determina el
intervalo que contiene a la moda, esto es, el
intervalo que tiene la mayor frecuencia
(intervalo modal). Luego se utiliza la
fórmula:
•
•
•
•
•
Mo
 d1
 L i  
 d1  d 2

A


donde:
Li es el límite inferior del intervalo modal.
d1= fi - fi-1
d2= fi - fi+1
A= amplitud del intervalo modal
Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 40 empresas.
Intervalo
 4, 10
10, 16
16, 22
22, 28
28, 34
34, 40
40, 46
Marca de
clase
mi
7
13
19
25
31
37
43
Frecuencias
fi
hi
1
3
6
12
11
5
2
0,025
0,075
0,150
0,300
0,275
0,125
0,050
40
1,000
Título: “Inversión anual de empresas”
Unidades: miles de dólares.
Frecuencias
acumuladas
Fi
Hi
1
4
10
22
33
38
40
0.025
0.100
0.250
0.550
0.825
0.950
1.000
• El intervalo donde se encuentra la mayor
frecuencia es el cuarto intervalo
• Entonces:
Li = 22
• d1= fi - fi-1 = 12 – 6 = 6
• d2= fi - fi+1 = 12 – 11= 1
• A=6
• de donde: Mo= 22 + = 27,85
• Esto significa la mayoría de las empresas
invierten 27 850 dólares
MEDIA
• La media es el promedio aritmético
de los valores de la variable.
Obviamente, al ser promedio, tiene
sentido
en
variables
de
tipo
cuantitativo
Para datos no agrupados
• –En ocasiones puede conducirnos a
interpretaciones incorrectas.
Simbólicamente la media en el caso
de una muestra se representa por x ,
y en el caso de población por  .
• Se calcula sumando todos los datos y
dividiendo dicha suma por el número
de datos.
Sea x1, x2, .... ,xn los valores que toma una variable
cuantitativa X, entonces la media aritmética se
determina mediante:
media

x 1  x 2  .......  x n
n
• Ejemplo: Si las notas en el curso de
introducción a la computación de 10
alumnos son : 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16,
18, 10, 12
x
14  18  12  16  14  15  16  18  10  12
x  14 , 5
10
• Respuesta: La nota promedio es 14,5
Media aritmética ponderada
• La media aritmética de los valores x1,
x2, x3, .........., xk ponderada por los
pesos
w1, w2, w3, ........ wk es el número.
x 
w 1 x 1  w 2 x 2  .........  w k x k
w 1  w 2  ..........  w k
Ejemplo: Si un alumno el semestre pasado
obtuvo 11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en
el curso Lengua de peso cuatro y 16 en
cálculo 2 de peso 3, ¿ cuál fue su promedio ?
x 
11 ( 5 )  13 ( 4 )  16 ( 3 )
x  12 , 92
5 43
Media aritmética para datos
tabulados de variables discretas
• Si los n valores de una variable
estadística discreta X se clasifican en
k valores distintos x1, x2, x3, .........., xk
con frecuencias absolutas respectivas
f1, f2, f3, ......, fk, entonces su media
aritmética es el número:
x 
f 1 x 1  f 2 x 2  .........  f k x k
f 1  f 2  ..........  f k
• Ejemplo: En un estudio de edades de
estudiantes de Derecho se obtuvo la
siguiente tabla de distribución:
• Edades Frecuencia
• 16
5
• 17
10
• 18
6
• 19
4
• 20
2
• Total
26
• Determina la edad promedio.
Solución
_
x 
5 (16 )  10 (17 )  6 (18 )  4 (19 )  2 ( 20 )
5  10  6  4  2
_
x = 18,23 años
Media aritmética para datos
tabulados de variables continuas
• Si los n valores de una variable
estadística continua X se clasifican
en k intervalos con marcas de clases
m1, m2, m3, .........., mk con frecuencias
absolutas respectivas f1, f2, f3, ......,
fk, entonces su media aritmética es el
número:
x 
f 1 m 1  f 2 m 2  .........  f k m k
f 1  f 2  ..........  f k
Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas.
Intervalo
 4, 10
10, 16
16, 22
22, 28
28, 34
34, 40
40, 46
Marca de
clase
mi
7
13
19
25
31
37
43
Frecuencias
fi
hi
1
3
6
12
11
5
2
0,025
0,075
0,150
0,300
0,275
0,125
0,050
40
1,000
Título: “Inversión anual de empresas”
Unidades: miles de dólares.
Frecuencias
acumuladas
Fi
Hi
1
4
10
22
33
38
40
0.025
0.100
0.250
0.550
0.825
0.950
1.000
Solución
• La media aritmética es:
x 
x 
7 (1)  13 ( 3 )  19 ( 6 )  25 (12 )  31 (11 )  37 ( 5 )  43 ( 2 )
1  3  6  12  11  5  2
1072
40
x  26 ,8
La inversión promedio es de 26 800 dólares
MEDIANA
• La mediana de un conjunto de
observaciones se define como el
valor que queda en la parte
central de un grupo de
observaciones arreglados en
orden de magnitud.
Para datos no agrupados
• La mediana de un conjunto de datos
es el valor que se encuentra al medio
de la distribución ordenada (en forma
ascendente o descendente). Cuando
se tiene mediana uno sabe que es la
misma cantidad de datos que se
encuentra por encima de dicha
mediana que por debajo.
Para datos agrupados
• Para calcular la mediana para datos
agrupados
considerando
las
frecuencias absolutas, en primer
lugar se encuentra el intervalo donde
se encuentra la mediana, este se
encontrará en el primer intervalo
cuya frecuencia absoluta acumulada
contiene a la mitad de la muestra.
• Luego se utiliza la fórmula:
n
M e  Li  2
 Fi  1
fi
A
Li =Es el límite inferior del intervalo de la mediana
n = Número de datos observados
Fi-1= Frecuencia acumulada absoluta del intervalo
inmediatamente anterior al intervalo de la mediana
fi = Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana
A = Amplitud del intervalo de la mediana
Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas.
Intervalo
 4, 10
10, 16
16, 22
22, 28
28, 34
34, 40
40, 46
Marca de
clase
mi
7
13
19
25
31
37
43
Frecuencias
fi
hi
1
3
6
12
11
5
2
0,025
0,075
0,150
0,300
0,275
0,125
0,050
40
1,000
Título: “Inversión anual de empresas”
Unidades: miles de dólares.
Frecuencias
acumuladas
Fi
Hi
1
4
10
22
33
38
40
0.025
0.100
0.250
0.550
0.825
0.950
1.000
• El intervalo donde se encuentra n/2
es el número cuatro, luego:
• Li= 22; n = 40; Fi-1 =10; fi =12; A= 6
• Por tanto
40
Me  22 
 10
2
6
12
Me  27
El 50% de las empresas invierten menos de 27 000 dólares
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MEDIDAS DE CENTRALIZACION