FUNCIONES PARES Y
FUNCIONES IMPARES
FUNCION PAR
Una función f ( x ) es par si satisface la ecuación:
f ( x)  f ( x)
2
Ejemplos: f ( x )  3 x  1 es par porque:
f (  x )  3(  x )  1  3 x  1  f ( x )
2
2
g ( x )  x  3 x  3 es par porque:
4
2
g (  x )  (  x )  3(  x )  3  x  3 x  3  g ( x )
4
t( x)  4 x  2 x
3
2
2
4
2
No es par porque:
t ( x)  4( x)  2( x)  4 x  2 x  t ( x)
3
2
3
2
OTROS EJEMPLOS
x 2
2
p( x) 
x
es una función par porque:
2
( x)  2
x 2
2
p ( x) 
( x)
2
2

x
2
 p( x)
Ejercicio: Determine si las funciones dadas son o no pares
2 x  3x
3
1. r ( x ) 
2. q ( x ) 
x 1
 4  2x
x 1
2
2
2
k ( x ) | x |
es par ó no lo es ?
Comience reemplazando x por –x, aplique una propiedad
de la función valor absoluto y concluya.
Determine si las funciones son o no pares
n ( x ) | x |  1
m ( x ) | x  1 |
SIMETRÍA DE FUNCIONES PARES
Si una función es par entonces es simétrica con respecto al eje y
x 2
2
Observe la gráfica de la función :
p( x) 
x
2
Use argumentos geométricos para determinar la paridad o no de
las funciones n(x) y m(x) de la diapositiva anterior.
PARIDAD DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Función coseno
Sea f ( x )  cos( x )
es una función par ya que para cualquier x
cos(  x )  cos( x )
Ejercicio: Cuál otra función trigonométrica es par ?. Justifique
su respuesta.
FUNCIONES IMPARES
Una función
f (x)
es impar si satisface la ecuación: f (  x )   f ( x )
Ejemplos:
g ( x)  x  x
3
es impar porque:
g ( x)  ( x)  ( x)   x  x  ( x  x)   g ( x)
3
h( x)  x  x
4
3
3
no es impar porque:
h( x)   x  ( x)   x  x  ( x  x )   h( x)
4
4
4
v( x) 
4
x
v( x) 
s( x) 
es impar porque:
3
4
( x)
3
x 1

4
x
3

4
x
3
 v( x)
no es impar porque:
x
s( x) 
x 1
x

 ( x  1)
x

x 1
x
  s( x)
Ejercicio: Determine si las funciones dadas son o no impares:
1.
k ( x)  4 x  x
2.
p( x)  x  3x  1
3.
r ( x) 
3
3
3
xx
4.
t ( x ) | x |  1
5.
t ( x ) | x  1 |
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IMPARES
La función
f ( x )  sen ( x )
es impar porque:
sen (  x )   sen ( x )
Sabiendo que sen(x) es impar y cos(x) es par, determine cuáles funciones
trigonométricas son pares y cuáles son impares.
Ejercicio, investigue si las funciones dadas a continuación son pares,
impares o ninguna de las dos:
p ( x )  sec( x ) tan( x ) ; t ( x )  sen ( x ) cos( x ) ; m ( x ) 
2
csc( x )
tan( x )
SIMETRÍA DE FUNCIONES IMPARES
Si una función es impar entonces es simétrica con respecto al origen
Esto significa geométricamente que dado un punto sobre la gráfica,
existe otro punto en la gráfica equidistante con respecto al origen sobre
una recta que pasa por el origen.
EJEMPLO
v ( x )  sen ( x )
OPERACIONES CON FUNCIONES PARES E IMPARES
La suma de funciones pares es par, comprobemos:
Sea f(x) y g(x) funciones pares. Entonces:
Suponga que:
H ( x)  ( f  g )(x)  f ( x)  g ( x)
Entonces:
H ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  H ( x)
OPERACIONES CON FUNCIONES PARES E IMPARES
La suma de funciones impares es impar, comprobemos:
Sea f(x) y g(x) funciones impares. Entonces:
Suponga que:
H ( x)  ( f  g )(x)  f ( x)  g ( x)
Entonces:
H (  x )  f (  x )  g (  x )   f ( x )  g ( x )   [ f ( x )  g ( x )]   H ( x )
OPERACIONES CON FUNCIONES PARES E IMPARES
El producto de funciones pares es par, comprobemos:
Sea f(x) y g(x) funciones pares. Entonces:
Suponga que:
H ( x )  ( fg ) ( x )  f ( x ) g ( x )
Entonces:
H ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  H ( x)
OPERACIONES CON FUNCIONES PARES E IMPARES
El producto de funciones impares es par, comprobemos:
Sea f(x) y g(x) funciones impares. Entonces:
Suponga que:
H ( x )  ( fg ) ( x )  f ( x ) g ( x )
Entonces:
H (  x )  f (  x ) g (  x )  [  f ( x )][  g ( x )]  f ( x ) g ( x )  H ( x )
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