Buscando a ...
LA CICLOIDE
Trabajo en equipo de
Investigación matemática
Problema inicial
Esta investigación tiene su origen en un problema que nuestro profesor de
Matemáticas nos propuso a un grupo de clase. Decía así:
Vamos a hacer un poco de cienciaficción. Imagínate una rueda
cuadrada y fíjate en uno de los
vértices. ¿Qué trayectoria sigue al
dar la rueda una vuelta?
Si suponemos que el lado del cuadrado
mide 1 metro, ¿qué longitud recorre
un vértice en una vuelta completa?
Puestos a imaginar, podemos pensar lo
que pasaría si las ruedas son
triángulos equiláteros. Y lo mismo
con cualquier otro polígono regular.
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Durante el proceso de resolución:
Llegamos a estudiar las trayectorias determinadas por diversos polígonos
regulares, como los siguientes:
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¿Y si la rueda fuese redonda?
La CICLOIDE: la trayectoria que recorre un punto
cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un giro
completo
Fue al final de aquel problema como llegamos a conocer a la protagonista
de esta investigación
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Algunas propiedades
que hacen famosa a la Cicloide

Es la curva braquistócrona (la de descenso más rápido entre dos puntos)
Diferentes caminos de A a B

Camino más rápido de A a B (sobre la cicloide)
La tautocronía (si un punto se desplaza a lo largo
de la curva invertida, en caída libre, llegará al
punto mínimo de la curva en un tiempo que no
depende de la altura de donde partió )
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Medidas de la cicloide
La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y
el área que deja debajo es el triple de la del
círculo que la determina


Longitud = 8.R
Area = 3..R²
Y aquí comenzaría nuestra investigación: éstas son la medidas de la cicloide.
En Internet comprobamos que no entendíamos cómo se habían calculado (siempre
aparecían integrales y otras fórmulas complicadas). ¿Seríamos capaces de demostrarlas
solo con nuestros conocimientos … y los ordenadores?
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Nuestra idea para calcular esas
medidas:
Aproximarnos desde los polígonos regulares:
La circunferencia viene a ser como un polígono
regular de 5000 lados:
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Proceso … para determinar la LONGITUD de la
trayectoria descrita por el vértice de un polígono
regular de 5000 lados girando
Nuestro plan pasaba por
tres fases:

1ª Fase: Estudio
con polígonos
regulares de 3, 4,
6 y hasta 12
lados
Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba
calcular una diagonal del dodecaedro regular
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Proceso … (LONGITUDES)
2ª Fase: Generalización del problema
(polígono de n lados):

•
•
•
La trayectoria se compone de n-1 arcos de circunferencia
Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n grados)
Los radios de los arcos son las sucesivas diagonales
del
.
polígono (además del lado)
Los resultados finales se resumían
en las siguientes fórmulas:
radio
Longitud
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total 
k
 2 .sen
180  k
n
2
n
n 1
 2 sen
180  k
k 1
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n
Proceso … (LONGITUDES)

3ª Fase: Cálculos con Excel
La Hoja de cálculo (junto con las
fórmulas a las que llegamos
anteriormente) nos permitió
calcular rápidamente la longitud
de la trayectoria correspondiente
a un polígono regular de tantos
lados como quisiéramos
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Proceso para determinar el AREA de la
trayectoria descrita por el vértice de un polígono
regular de 5000 lados girando
Para el cálculo del área repetimos
las mismas tres fases para un
problema distinto:

1ª Fase: Estudio con
polígonos regulares
de 3, 4, 6 y hasta 12
lados
Extracto del trabajo en un momento en el
que interesaba calcular el área barrida por el
giro de un hexágono regular
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Proceso … (AREAS)

2ª Fase: Generalización del problema
(polígono de n lados):
El área determinada se descompone en n-1 sectores y n-2 triángulos
•
n 1
ATOTAL 
S
n2
k
k 1
  Tk
.
k 1
  rk
2
Sk 
Tk 
n
El área determinada por el rodamiento de de un polígono regular de 12 lados descompuesta
en 11 sectores y 10 triángulos
s  ( s  r1 )  ( s  rk )  ( s  rk 1 )
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s 
(aplicando la Fórmula de Herón)
r1  rk  rk  1
2
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Proceso … (AREAS)

3ª Fase: Cálculos con Excel
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Metodología de trabajo durante la
Investigación

Trabajo en equipo:
–
–
–

Reparto de tareas
Reuniones semanales
Revisiones de lo redactado
Con el ordenador:
–
–
–
–
–
Textos con Word
Fórmulas con su Editor de ecuaciones
Gráficos con Cabri
Excel
Página web con Cabriweb
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Autores
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Iranzu Ardaiz
Marta Martínez
Beatriz Navarro
Nuria Ortega
Pablo Roldán
Coordinador: Manuel Sada
I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)
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