8. EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Función exponencial
Sea a un número real positivo fijo, a ≠ 1, y sea x cualquier
número real. La función exponencial se define por
La gráfica depende de que sea a > 0, o sea 0 < a < 1:
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Propiedades de la función exponencial
Son las de las potencias:
1.
2.
3.
,
4.
Se supone conocido el número e que está definido como el
límite de la sucesión
es decir
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Los logaritmos
Se usaron para hacer operaciones de forma sencilla con una tabla
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La función logarítmica
La función logarítmica de base a, siendo a > 0 y a ≠ 1, dada por
es la función que a cada número real positivo x le hace corresponder
su logaritmo en base a.
El logaritmo de un número positivo x es el exponente necesario, z,
para que
sea igual al número x; es decir, logaritmo y exponente
son términos equivalentes.
Es necesario que la base de los logaritmos sea un número positivo,
a > 0, para que exista la función exponencial, y así las funciones
exponencial y logarítmica son funciones inversas una de la otra y
presentan gráficas simétricas respecto de la bisectriz del primero y
tercer cuadrantes.
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Gráfica de la función logarítmica
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Propiedades de la función logarítmica
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Cambio de base
Cuando no se escribe la base se entiende que son logaritmos
en base 10 y cuando la base sea el número e, llamados
logaritmos neperianos, escribiremos ln.
En realidad no es necesario disponer de tablas o calculadoras
que nos den los logaritmos en todas las bases, basta con tener
los logaritmos de los números en una base para poder tenerlos
fácilmente en cualquier otra.
Veamos cómo cambiar las bases a y b. Si tenemos un número
x y queremos conocer la relación entre sus logaritmos en dos
bases distintas a y b, sean
se tiene entonces que
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Cambio de base
Tomando logaritmos en base a en la segunda igualdad
tenemos
de donde,
es decir, "para calcular el logaritmo en base b de un número
basta dividir su logaritmo en base a entre el logaritmo en base
a de b", por lo que podemos calcular logaritmos en base b
con una tabla de logaritmos en base a.
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Cambio de base
También al contrario, tomando logaritmos en base b en la
misma igualdad se tiene
de donde
es decir, podemos calcular logaritmos en base a con una tabla
de logaritmos en base b.
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Cambio de base
Caso particular notable es que podemos hallar logaritmos
neperianos con una tabla de logaritmos decimales
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Chain Sequences and location of Continuous Spectrum in