EMPRÉSTITOS. DEFINICIÓN
•
Definición:
Es una modalidad de préstamo que consiste en dividir el importe total en partes
iguales, cada una de ellas representadas mediante un título-valor denominado
obligación.
•
Funcionamiento:
Una persona jurídica (el emisor o prestatario), que necesita una importante
cantidad de dinero para financiar sus proyectos de inversión, pone en circulación
un empréstito que suscriben los obligacionistas (los prestamistas). Al adquirir
esos títulos tienen el derecho a recibir los intereses previstos en el contrato de
emisión y el reembolso del capital prestado.
•
Variables más significativas:

Número de obligaciones emitidas (N) y número de obligaciones vivas (Ns) que quedan vivas al final del
período s.
Número de obligaciones amortizadas (Ms) en el período s.
Valor nominal de cada obligación (C).
Valor nominal del empréstito (CN) = Es el resultado de multiplicar el valor nominal de una obligación (C)
por el número de obligaciones (N).
Capital vivo del empréstito (CsNs) = Es el resultado de multiplicar el capital vivo de una obligación por el
número de obligaciones vivas en el período s.
Término amortizativo del año s (as) que amortiza el empréstito.





CN
0
N1
N2
Ns
Nn-1
M1
M2
a1
a2
.................
Ms
as
Mn-1
an-1
Mn
an
1
2
.................
s
n-1
n
.................
.................
1
EMPRÉSTITOS. CLASIFICACIÓN
Criterio
Tipo de empréstito
Cupón periódico
Pago de intereses
Cupón cero
Amortización por sorteo
Amortización
Valoración financiera
Los intereses se pagan de forma acumulada cuando se amortiza
el título.
Los títulos se amortizan a lo largo de la vida del empréstito a
través de un sorteo.
Los títulos se amortizan reembolsando cada año una parte del
valor nominal.
Amortización única
Todas las obligaciones se amortizan de una vez.
Amortización por nominal
Características ofertadas
Los intereses se pagan al final de cada período
Amortización por
reducción nominal
Deuda perpetua
Valor de reembolso
Descripción
No hay compromiso de amortización
A cada obligación se le reembolsa su valor nominal
Amortización con prima
A cada obligación se le reembolsa su valor nominal más una
cantidad adicional
Amortización con lote
A las obligaciones premiadas en un sorteo se les entrega una
cantidad adicional
Normales
Los términos amortizativos se destinan al pago de los intereses
y devolución del valor nominal.
Características
Comerciales
Además de lo anterior, engloba una serie de contraprestaciones
adicionales
Tipo I
Los términos amortizativos y los tipos de interés son constantes
Tipo II
Los términos amortizativos son variables y los tipos de interés
constantes
Tipo III
2
Los términos amortizativos y los tipos de interés son variables.
EMPRÉSTITOS. AMORTIZACIÓN POR REDUCCIÓN DEL NOMINAL
En esta modalidad de empréstitos se va amortizando una parte del valor nominal en cada
período, permaneciendo vivos todos los títulos hasta el final de la operación. Lógicamente los
intereses que el emisor abona a los obligacionistas en cada período se calculan sobre el
empréstito vivo.
C1
C2
Cs
C
A1
A2
.................
As
0
1
2
.................
s
Cn-1
.................
.................
An-1
An
n-1
n
En el esquema anterior se ilustra la evolución de un obligación que se amortiza por reducción
del nominal, en el que C es el valor nominal, As es lo que se amortiza en el año s y Cs es el
nominal vivo de cada obligación después de haber efectuado la amortización de ese año. Para
el conjunto del empréstito, las distintas variables serán la siguientes:
T
 Empréstito vivo: C s = C s  N
T
 Cuota de interés del empréstito: Is = C s -1  i  N
 Cuota de amortización del empréstito: A Ts = A s  N
 Término amortizativo del empréstito: a s = C s -1  i  N + A s  N
3
EMPRÉSTITOS. AMORTIZACIÓN POR SORTEO
En la amortización por sorteo cada año se amortiza un número de títulos de acuerdo con el plan
de amortización previamente diseñado. Las obligaciones concretas que van a resultar
amortizadas en cada año dependerán del resultado arrojado por el sorteo. De esta forma, todos
los títulos tienen, a priori, la misma duración probable.
N1
N2
Ns
N
M1
M2
.................
Ms
0
1
2
.................
s
Nn-1
.................
Mn-1
Mn
n-1
n
.................
Las siguientes relaciones se pueden deducir fácilmente:
n

N=
M
r
r =1
s

Ns = N   Mr 
r =1

n

M r  N s -1  M s
r = s +1
M s  N s -1  N s
Dentro de los empréstitos que se amortizan por sorteo podemos distinguir dos casos:
 Empréstitos con pago de intereses periódicos o cupones vencidos.
 Empréstitos con pago acumulado de intereses o cupón cero.
4
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES PERIÓDICOS (I)
En esta modalidad de empréstitos que se amortizan por sorteo, el emisor abona en cada
período a los poseedores de los títulos que permanecen vivos los intereses correspondientes a
ese período y amortiza por su valor nominal los títulos que correspondan según el plan de
amortización. En el supuesto de una obligación que se amortice en el año s, el esquema de la
prestación y la contraprestación será el siguiente:
C
0
C·i
C·i
....................... C·i
C·i+C
1
2
....................... s-1
s
El poseedor de una obligación que se
amortiza en el período s recibe el valor
nominal más los intereses correspondientes
a cada período hasta ese momento. A
cambio ha pagado el valor nominal en el
momento 0.
Si extrapolamos este esquema a todo el empréstito, nos quedará que el emisor a cambio de
recibir el valor nominal del empréstito en el momento 0, tiene que pagar en cada período los
intereses que correspondan a las obligaciones que estén vivas en ese momento y amortizar por
su valor nominal a aquellas que correspondan de acuerdo con el plan de amortización.
CN
..........
La ecuación de equivalencia financiera que
relaciona la prestación y la contraprestación
en un empréstito de estas características
será el siguiente:
..........
n
0
1
2
..........
s
..........
n
C N 
a
r =1
r
(1+ i)
-r
5
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES PERIÓDICOS (II)
El estudio del empréstito con pago de intereses periódicos y amortización por sorteo se realiza
a partir de una serie de hipótesis que se hacen sobre los términos amortizativos y los tipos de
interés. De esa forma, podemos clasificar los empréstitos en tres clases:
CN
0
a
a
.......................
a
a
1
2
.......................
n-1
n
TIPO I
C  N  a  ani
i
CN
a1
0
a2
1
2
.......................
.......................
an-1
an
n-1
TIPO II
n
a
C N 
r
(1+ i)
-r
r =1
n
i
CN
a1
0
a2
1
2
.......................
.......................
an-1
an
n-1
n
TIPO III
r
n
C N 
 a   (1+ i
r
r =1
h
)
-1
h =1
.
i1
i2
in
6
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES PERIÓDICOS Y TIPO I
Las variables más importantes en un empréstito de estas características se calculan de la
siguiente forma:

Ecuación de equivalencia financiera: C  N = a  a n  i

Empréstito vivo:

a=
C N
a ni
C s = a  a n-s  i
T
C N

Títulos vivos: C Ts = C  N s = a  a n - s  i

Ns 
a  a n-s  i

C
a ni
 a n-s  i
 N
C
a n-s  i
a ni
a - C N i

Títulos amortizados: M s +1 = M s  (1+ i) = M 1  (1+ i) s
sie n d o
M1 
C
N
S ni
7
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES PERIÓDICOS Y TIPO II
Las variables más importantes en un empréstito de estas características se calculan de la
siguiente forma:
n

Ecuación de equivalencia financiera:
CN =
a
r
 (1+ i)
-r
r =1
n

T
Cs =
Empréstito vivo:

a r  (1+ i)
-(r - s)
n
r = s +1
n

Títulos vivos:
T
Cs = CNs =

a r  (1+ i)
-(r - s)

Ns 

Títulos amortizados: M s +1 = M s  (1+ i) +
-(r - s)
r = s +1
r = s +1

a r  (1+ i)
C
a s +1  a s
C
El caso más habitual de este tipo de empréstitos es cuando se amortiza el mismo número
de títulos: M1 = M2 = .... = Mn = M = N/n. En tal caso las variables más importantes son las
siguientes:
s

Títulos vivos:
N s = N - M s  N -  M r  N - s  M = (n - s)  M
r =1

Término amortizativo: a s = C  i  N s -1 + C  M

Recurrencia términos amortizativos: a s+1 = a s - C  i  M = a 1 - s  C  i  M
con
a1 = C  i  N + C M
8
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES ACUMULADOS (I)
En esta modalidad de empréstitos que se amortizan por sorteo, el emisor abona en cada
período a los poseedores de los títulos que resulten amortizados en cada período, el valor
nominal más los intereses acumulados hasta ese momento. En el supuesto de una obligación
que se amortice en el año s, el esquema de la prestación y la contraprestación será el siguiente:
C
C·(1+i)s
0
1
2
....................... s-1
s
El poseedor de una obligación que se
amortiza en el período s recibe el montante
generado por el valor nominal hasta ese
momento. A cambio ha pagado el valor
nominal en el momento 0.
Si extrapolamos este esquema a todo el empréstito, nos quedará que el emisor, a cambio de
recibir el valor nominal del empréstito en el momento 0, tiene que pagar en cada período el
montante correspondiente a las obligaciones que resulten amortizadas de acuerdo con el plan
de amortización.
CN
..........
La ecuación de equivalencia financiera que
relaciona la prestación y la contraprestación
en un empréstito de estas características
será el siguiente:
..........
n
0
1
2
..........
s
..........
n
C N 
a
r =1
r
(1+ i)
-r
9
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES ACUMULADOS (II)
Al igual que ocurría con los empréstitos en los que los intereses se pagaban periódicamente,
en la amortización de los empréstitos cupón cero se pueden plantear tres hipótesis sobre la
forma de los términos amortizativos y los tipos de interés
CN
0
a
a
.......................
a
a
1
2
.......................
n-1
n
TIPO I
C  N  a  ani
i
CN
a1
0
a2
1
2
.......................
.......................
an-1
an
n-1
TIPO II
n
a
C N 
r
(1+ i)
-r
r =1
n
i
CN
a1
0
a2
1
i1
2
i2
.......................
.......................
an-1
an
n-1
n
in
TIPO III
r
n
C N 
 a   (1+ i
r
r =1
h
)
-1
h =1
10
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES ACUMULADOS Y TIPO I
Las variables más importantes en un empréstito de estas características se calculan de la
siguiente forma:

Ecuación de equivalencia financiera: C  N = a  a n  i

Empréstito vivo:

a=
C N
a ni
C s = a  a n-s  i
T
C N

Títulos vivos: C  N s  (1+ i) s = a  a n - s  i

Ns 
a  a n-s  i
C  (1+ i)
s

a ni
 a n-s  i
 N  (1+ i) 
-s
C  (1+ i)
s
a n-s  i
a ni
a

Títulos amortizados: M s +1 = M s  (1+ i) -1 = M 1  (1+ i) -s
sie n d o
M1 
C  (1+ i)
N
ani
11
EMPRÉSTITOS. PAGO DE INTERESES ACUMULADOS Y TIPO II
Las variables más importantes en un empréstito de estas características se calculan de la
siguiente forma:
n

CN =
Ecuación de equivalencia financiera:
a
r
 (1+ i)
-r
r =1
n

T
Cs =
Empréstito vivo:

a r  (1+ i)
r = s +1

n
n
Títulos vivos: C = C  N s  (1+ i) =
T
s
-(r - s)
s

a r  (1+ i)
-(r - s)

Ns 

r = s +1
r = s +1

Títulos amortizados:
M s +1 = M s  (1+ i) 
-1
a r  (1+ i)
C  (1+ i)
s
-(r - s)
n


r = s +1
ar
 (1+ i)
-r
C
a s +1
as
El caso más habitual de este tipo de empréstitos es cuando se amortiza el mismo número
de títulos: M1 = M2 = .... = Mn = M = N/n. En tal caso las variables más importantes son las
siguientes:
s

Títulos vivos:
N s = N - M s  N -  M r  N - s  M = (n - s)  M
r =1

Término amortizativo:

s
Recurrencia términos amortizativos: a s+1 = a s  (1+ i) = a 1  (1+ i)
a s = C  (1+ i)  M
s
co n
a 1 = C  M  (1+ i)
12
CARACTERÍSTICAS COMERCIALES EN LOS EMPRÉSTITOS (I)
•
Definición:
Son condiciones complementarias a la operación financiera normal que
modifican la prestación y/o la contraprestación. Pueden producirse en el
momento inicial, en el momento final o a medida que se entregan los
términos amortizativos periódicos.
•
Clases:
Se pueden dividir en dos grandes grupos:










Unilaterales: Las entregan una de las partes y las reciben terceras
personas. Las más importantes son las siguientes:
Gastos iniciales (G0)
Gastos finales (Gn)
Gastos de administración (g)
Impuestos (T)
Bilaterales. Las entregan una de las partes y las reciben la otra
parte. Las más importantes son:
Prima de emisión (P0)
Prima de amortización (Pa)
Lote (L)
Amortización seca o ex-cupón
13
CARACTERÍSTICAS COMERCIALES EN LOS EMPRÉSTITOS (II)
Las características comerciales, unilaterales o bilaterales, pueden afectar a la estructura
del término amortizativo o al tanto efectivo de coste/rentabilidad para el emisor u
obligacionista. En la siguiente tabla se observan las distintas posibilidades que se pueden
dar.
¿ A qué afectan?
Características comerciales
Unilaterales
Bilaterales
Estructura del
término
Tanto efectivo
emisor
Tanto efectivo
obligacionista
Gastos iniciales
NO
SÍ
NO
Gastos finales
NO
SÍ
NO
Gastos de administración
SÍ
SÍ
NO
Impuestos
NO
SÍ
SÍ
Prima de emisión
NO
SÍ
SÍ
Prima de amortización
SÍ
SÍ
SÍ
Lote
SÍ
SÍ
SÍ
Amortización seca
SÍ
SÍ
SÍ
14
NORMALIZACIÓN DE UN EMPRÉSTITO CON
CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
En los casos en los que las características comerciales afectan a la estructura del término
amortizativo es necesario proceder a la normalización del empréstito, realizando las
transformaciones necesarias para que su estructura sea similar a la de un empréstito
normal.
El proceso de normalización de un empréstito suele seguir los siguientes pasos:
1.
Se establece la estructura del término amortizativo o anualidad comercial incorporando las
características comerciales que la modifiquen.
2.
Se realizan las operaciones necesarias para conseguir una estructura similar a la de un
empréstito normal.
3.
Se resuelve el empréstito normalizado para obtener la anualidad normalizada.
4.
Se deshacen las operaciones realizadas en el segundo punto para calcular la anualidad
comercial que es la que realmente amortiza el empréstito.
15
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO PERIÓDICO DE INTERESES (I)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
A) Empréstitos con anualidad constante y prima de amortización constante

a = C  i  N s -1 + (C + P )  M s
c
Estructura de la anualidad:
a C
c
a C
c

Normalización:
C + Pa
=
C i
C + Pa
 
 N s -1 + C  M s

  C  i´N s -1 + C  M s
co n :
i´ 
C + Pa
C i
C + Pa

C  N =   a n  i´
Resolución del empréstito normalizado:
a C
 

c

Obtención de la anualidad comercial:

Empréstito vivo:

Obligaciones amortizadas:
C  N s =   a n - s  i´
 

a 
c
s -1
a n  i´
  (C + Pa )
C + Pa
Ns 
M s  M 1  (1+ i´)

C N
C
  a n - s  i´
C
co n :
M1 
N
S n  i´
16
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO PERIÓDICO DE INTERESES (II)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
B) Empréstitos con anualidad constante y amortización seca o ex-cupón



Estructura de la anualidad: a c = C  i  N s -1 + C  M s - C  i  M s  C  i  N s -1 + C  (1 - i)  M s
Normalización:
a
c
=C
1- i
i
1- i
 
 N s -1 + C  M s
  C  i´N s -1 + C  M s

co n :
i´ 
Resolución del empréstito normalizado:

Obtención de la anualidad comercial:

Empréstito vivo:

Obligaciones amortizadas:
C  N s =   a n - s  i´

C  N =   a n  i´
 
a
M s  M 1  (1+ i´)
s -1
c
1- i
i
1- i
a n  i´
c

1- i
Ns 
 

C N
a
a    (1- i)
c
  a n - s  i´
C
co n :
M1 
N
S n  i´
17
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO PERIÓDICO DE INTERESES (III)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
C) Empréstitos con anualidad constante, gastos de administración y lote


c
Estructura de la anualidad: a =  C  i  N s -1 + C  M s  L   (1 + g )
Normalización:
a
c
1+ g

- L = C  i  N s -1 + C  M s
  C  i´N s -1 + C  M s

co n :
 
a
c
-L
1+ g
i´  i
C  N =   a n  i´
Resolución del empréstito normalizado:

Obtención de la anualidad comercial:

Empréstito vivo:

Obligaciones amortizadas:
C  N s =   a n - s  i´
 

a

-L
1+ g
s -1
C N
a n  i´
c
Ns 
M s  M 1  (1+ i´)
 

a  ( + L )  (1+ g )
c
  a n - s  i´
C
co n :
M1 
N
S n  i´
18
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO ACUMULADO DE INTERESES (I)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
A) Empréstitos con anualidad constante y gastos de administración




c
s
a =  C  (1+ i)  M s   (1+ g )
Estructura de la anualidad:
a
Normalización:
c
(1 + g )
= C  (1 + i)  M s
s
Obtención de la anualidad comercial:
C  N =   a n  i´
 
C  N s  (1+ i) =   a n -s  i´
Empréstito vivo:

Obligaciones amortizadas:
s
co n :
 
c
(1 + g )
i´  i
Resolución del empréstito normalizado:

  C  (1 + i´)  M s

a
s
a
C N
a n  i´
c

(1+ g )

M s  M 1  (1+ i´)
 

-(s -1 )
Ns 
a    (1+ g )
c
  a n -s  i´
C  (1+ i)
co n :
s
M1 
N
a n  i´
19
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO ACUMULADO DE INTERESES (II)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
B) Empréstitos con
administración



anualidad
Estructura de la anualidad:
Normalización:
a
constante,
constante
c
(1+ g )
- L = C  (1+ i)  M s
s

  C  (1+ i´)  M s
s
gastos
de
co n :
 
a
c
-L
(1+ g )
i´  i
Resolución del empréstito normalizado: C  N =   a n  i´
Obtención de la anualidad comercial:

Empréstito vivo:
 
C  N s  (1+ i) =   a n -s  i´
Obligaciones amortizadas:
y
c
s
a =  C  (1+ i)  M s  L   (1+ g )


lote
s
M s  M 1  (1+ i´)
a
-(s -1 )
C N
a n  i´
c
L

(1+ g )

 

Ns 
co n :
a  ( + L )  (1+ g )
c
  a n -s  i´
C  (1+ i)
M1 
s
N
a n  i´
20
NORMALIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS CON
PAGO ACUMULADO DE INTERESES (II)
NORMALIZACIÓN A TIPO I
C) Empréstitos con anualidad constante, lote constante, gastos de administración y
amortización seca.
c
s -1
a =  C  (1+ i)  M s  L   (1+ g )

Estructura de la anualidad:

 a

s
- L  (1+ i) = C  (1+ i)  M s

Normalización:  (1+ g ) 

Resolución del empréstito normalizado: C  N =   a n  i´

 ac

 L  (1+ i)
Obtención de la anualidad comercial:   
 (1+ g )


Empréstito vivo:

c

C  N s  (1+ i) =   a n -s  i´
Obligaciones amortizadas:
s
M s  M 1  (1+ i´)

  C  (1+ i´)  M s
s
co n :

- L  (1+ i)
 (1+ g )

 
a
c
i´  i

-(s -1 )
Ns 
co n :
 


C N
a n  i´
 

c
a 
+ L   (1+ g )
 (1+ i)

  a n -s  i´
C  (1+ i)
M1 
s
N
a n  i´
21
TANTOS EFECTIVOS EN LOS EMPRÉSTITOS
El tanto efectivo de coste (emisor), rentabilidad (obligacionistas) y de una
obligación (que se amortiza en un año cualquiera) se obtienen a partir de la
ecuación de equivalencia financiera en el origen entre lo que realmente entrega
y recibe cada parte.
Coste real del emisor
n
(C - Pe )  N = G 0 
a
r
c
 (1+ i e )  G n  (1+ i)
-r
-n

ie
r =1
Rentabilidad conjunto de obligacionistas
n
(C - Pe )  N =
a
r
c
 (1+ i o )
-r

io
r =1
Rentabilidad obligación amortizada en el año s (sin prima de amortización o lote)

Pago de cupones periódicos:
(C - Pe ) = C  i  a s  ir  C  (1 + i r )

Pago de cupón cero:
(C - Pe ) = C  (1+ i)  (1+ ir )
s
-s
-s


ir
ir
22
DURACIÓN O VIDA DE LOS TÍTULOS DE UN EMPRÉSTITO
Cuando se emite un empréstito con amortización única o por reducción del
nominal, todos los títulos tienen la misma duración. Ahora bien, cuando la
amortización es por sorteo no se conoce en el momento de la emisión la
duración que tiene cada título. Tan sólo se conoce, a través del plan de
amortización, cuántos títulos se van a amortizar en cada sorteo pero no cuáles
de ellos van a ser los amortizados.
La duración de una obligación se puede medir a través de tres medidas: vida media,
vida mediana y vida financiera o matemática
n

Vida media:
m=
r
r =1
Mr
N


Vida mediana:
M
r =1
N

Vida financiera
r

1

2

N  (1+ i´´) = M 1  (1+ i´´) + M 2  (1+ i´´) + ... + M n  (1+ i´´)
-t
-1
-2
-n

t
23
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