ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES
• Capítulo 1. Introducción
• Capítulo 2. Análisis de tensiones
• Capítulo 3. ANÁLISIS DE DEFORMACIONES
 Concepto de deformación
 Matriz de deformaciones: Significado de sus componentes
 Ecuaciones de compatibilidad
 Analogías entre tensiones y deformaciones
1
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
Deformaciones producidas por el esfuerzo normal
2
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
Deformaciones producidas por el esfuerzo cortante
3
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Concepto de deformación: Se denomina deformación a la variación de la distancia relativa
entre los puntos de un sólido elástico como consecuencia de una solicitación externa.
 Sea P un punto del sólido elástico inicialmente indeformado y
Q un punto del entorno infinitesimal de P, tal que:
dr  P Q  dx. i  dy. j  dz. k
Analicemos la deformación en el entorno del punto P a través de
la transformación que sufre dr bajo la acción de una solicitación
externa.
 Cuando el sólido se somete a una solicitación externa los
puntos P y Q pasan a una nueva posición, P’ y Q’.
• Una vez producida la deformación el entorno del punto P’
estará representado por un nuevo vector dr’
dr  P Q dr
 Analizando dicho vector en función de dr podremos
estudiar la deformación producida.
4
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Antes de proceder al estudio de la deformación veamos algunas definiciones:
Cuando se produce la deformación los puntos del sólido elástico
pasan a ocupar otra posición
•Se denominan vectores desplazamiento, a los vectores que
unen las posiciones inicial y final de dichos puntos:
P  PP  u . i  v. j  w. k
Q  Q Q  u . i  v . j  w .k
 Las funciones u, v y w:
 Dependen de la posición del punto en el espacio
u = u (x,y,z)
v = v (x,y,z)
w = w (x,y,z)
 Se supone que son continuas y derivables en el espacio en el que están definidas
 Se supone que tanto ellas como sus derivadas son infinitesimos de primer orden (Teoría
de los pequeños desplazamientos y deformaciones)
5
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
Teniendo en cuenta que el entorno del punto P’ es infinitesimal, podemos expresar los desplazamientos
del punto Q, dQ (u’,v’,w’), en función de los del punto P, dP (u,v,w), y de sus derivadas primeras
mediante un desarrollo en serie de Taylor:
u  u 
u
u
u
dx 
dy 
dz
x
y
z
v  v 
v
v
v
dx 
dy 
dz
x
y
z
w  w 
[M ] 
1
2
[M  M T ] 
1
2
1
2
1
2
v
x

u
y
1
2
w
x

u
z
1
2
1
2
v
x

u
y
1
2
w
x

u
z
u
y

v
x
w
y
u
y


w
y

1
2
u
z

w
x
1
2
v
z

w
y
v
z
v
x
0
1
2
u
y
v
y
w
y
v
z
u
z
v
z
w
z
dr  P  [ M ] dr
Q  P  [M ] dr
[M  M T ]  [D ]  [H ]
v
y
1
2
0
[H ] 
 P 
w
w
w
dx 
dy 
dz
x
y
z
u
x
[D ] 
Q
u
x
v
x
w
x
Matriz deformación
w
z
1
2
u
z

w
x
1
2
v
z

w
y
Q  
p  [ D  H ] dr
Matriz giro
0
6
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Deformaciones en el entorno de un punto
El vector dr’ que representa la transformación en el entorno del punto P, se puede expresar en
función de la posición inicial (dr) y de los vectores desplazamiento:
dr  dr  Q  p  dr  [ M ].dr
dr  [I  M ].dr  [I  H ].dr  [ D ].dr
Movimiento de sólido rígido
Translación + Giro =
[I  H ].dr
Deformación
Cambio de dirección
Cambio de módulo
= [D ].dr
7
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Matriz de Deformación. Significado de sus componentes
u
x
[D ] 
1
2
v
x
1
2
w
x
1
2

u
y

u
z
u
y

v
x
v
y
1
2
w
y

1
2
u
z

w
x
1
2
v
z

w
y
v
z

x
1

2 xy
1
2 xz

w
z

1
2
x y

y
1
2
yz
1
2
1
2
x z
y z

z
Deformaciones lineales o longitudinales
L x


x 
Lx

y 

z 
L y
Ly

L z

Lz
u
x
dx
dx
v
y
dy
dy
w
z
dz
dz

u
x
En la dirección del eje x

v
y
En la dirección del eje y

w
z
En la dirección del eje z
8
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Matriz de Deformación. Significado de sus componentes
u
x
[D ] 
1
2
v
x
1
2
w
x
1
2

u
y

u
z
u
y

v
x
v
y
1
2
w
y

1
2
u
z

w
x
1
2
v
z

w
y
v
z

x
1

2 xy
1
2 xz

w
z

tan  
tan  
v
x
dx
dx
u
y
dy
dy

v
x

u
y
1
2
x y

y
1
2
yz
1
2
1
2
x z
y z

z
Deformaciones angulares
xy   
v
x

u
y
xz   
w
x

u
z
yz   
w
y

v
z
9
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
 Matriz de Deformación. Criterio de Signos


Deformaciones lineales
Deformaciones angulares
10
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES
• Conocido el vector desplazamiento d se pueden obtener las componentes de la
matriz de deformación fácilmente:

x 
u
x
xy 
;
u
y

y 

v
x
v
;
y

x 
; xz 
w
z
u
z

w
x
; yz 
v
z

w
y
• Sin embargo, para que a partir de las componentes de la matriz de deformación
obtengamos unos desplazamientos físicamente posibles, se deben cumplir ciertas
condiciones de integrabilidad o compatibilidad, que serán necesarias y suficientes:
yz
x y
x z
2 
x

2




y z
x
x
y
z
2 
xy
x z
x z
y

2




xz
y
y
z
y
2
xy
y z
xz
 z

2




x y
z
z
x
y
;
;
;
2 y z
2 
2 
y
z


y z
y 2
z 2
2 x z
2 
2 z
x


x z
z 2
x 2
2 x y
2 
y
2 x


x y
x 2
y 2
11
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES
• Al igual que las tensiones, las deformaciones son magnitudes de carácter tensorial, es decir, para
un mismo punto P del continuo, la deformación depende de la dirección que se considere, se
denomina:
Vector deformación unitaria, e, en una
dirección definida por el vector unitario u (a, b, g),
normal a un plano p, a la transformación:


  [ D ] u
Las proyecciones de dicho vector sobre las
direcciones normal y tangencial al plano, darán
lugar a las componentes intrínsecas:
 Componente intrínseca normal o deformación longitudinal unitaria
 



.
u

u
n
T
[D ] 
u
2
2
2
 
 yz  xz 

x  
y  
z  
xy 
 Componente intrínseca tangencial o deformación transversal unitaria
1
2
n 
2
2


n
12
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES
Direcciones principales de deformación: Son aquellas en las que la deformación sólo
produce cambio de módulo y no de dirección (la componente tangencial del vector
deformación es nula):
1
1
 [ D ] u


 u

 [D  
I] u

En la referencia principal, la matriz
de deformaciones es diagonal:
0
(
)
x  
1

2 xy
1

2 xz
2
x y

2 xz
1

2 yz
(
)
y  
1

2 yz
(
)
z  

1 0
[ D ] I,I I,II I 
 0
e1
e2
e3
0
0 
2 0
0 0 
3
Existen tres invariantes, el primero de ellos representa la variación unitaria de
volumen:
V
e V 
1  
2 
3 
x  
y  
z
13
uI
uII
uIII
ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones
ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES
 El estado de deformaciones en el entorno de un punto puede representarse gráficamente por
medio de los Círculos de Mohr en deformaciones:
( C 1 )   0
( C 2 )   0
( C 3 )   0
1 2

n (
2  
3)  
2
3  0
4 n
1 2
2
 


n (
1  
3)  
1
3  0
n
4 n
1 2
2
 

n (
1  
2) 
1
2  0
n 
4 n
2
 
n 
Ce ntr o
Ce ntr o
C entro

2  
3
,0
2

1  
3
,0
2

1  
2
,0
2
14
Descargar

DEFORMACION EN EL ENTORNO DE UN PUNTO