Investigación de Operaciones
Modelo Monoservidor
Teoría de Colas
Notación de Kendall – Lee
Ejercicios
Sesión Teórico/Práctica No. 2
Nelson José Pérez Díaz
Colas
• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS,
son realidades cotidianas:
•Personas esperando para realizar sus transacciones
ante una caja en un banco,
•Estudiantes esperando por obtener copias en la
fotocopiadora,
•Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje
o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,
•Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la
demanda del servicio y la capacidad del sistema para
suministrarlo.
Colas
• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad
tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan:
– la longitud de la línea de espera,
– el promedio de tiempo de espera
y otros factores como:
– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,
Los Análisis de Colas ayudan a entender el
comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención
de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento
y reparación de maquinaria, el control de las operaciones
en planta, etc.).
Colas
• Desde la perspectiva de la Investigación
de Operaciones, los pacientes que
esperan ser atendidos por el odontólogo o
las
prensas
dañadas
esperando
reparación, tienen mucho en común.
• Ambos (gente y máquinas) requieren de
recursos
humanos
y
recursos
materiales como equipos para que se
los cure o se los haga funcionar
nuevamente.
Colas
COLAS MAS COMUNES
SITIO
ARRIBOS EN COLA
SERVICIO
Supermercado
Compradores
Pago en cajas
Peaje
Vehículos
Pago de peaje
Consultorio
Pacientes
Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser
corridos
Proceso de datos
Compañía de
teléfonos
Llamadas
Efectuar
comunicación
Banco
Clientes
Depósitos y Cobros
Mantenimiento
Máquinas dañadas
Reparación
Muelle
Barcos
Carga y descarga
Colas
Características de una LINEA DE ESPERA
CARACTERISTICAS DE ARRIBOº
• DISTRIBUCION DE POISSON:
P x  
e


x
para _ x  0 ,1, 2 , 3 , 4 ,...
x!
• P(x) = Probabilidad de x arribos
• .x=
número de arribos por unidad de tiempo
• =
rata promedio de arribo
.e = 2.71828
Colas
TEORIA DE COLAS
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO
=2
0,3000
PROBABILIDAD
0,2500
0,2000
0,1500
DISTRIBUCION
0,1000
0,0500
0,0000
0
DISTRIBUCION 0,1353
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
Colas
TEORIA DE COLAS
DISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO   4
0,2500
PROBABILIDAD
0,2000
0,1500
DISTRIBUCION
0,1000
0,0500
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132
ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO
Colas
Proceso de nacimiento y muerte
• Los llamados procesos de nacimiento y
muerte describen una gran diversidad de
situaciones prácticas cuya característica
principal consiste en la aparición y/o
desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.
• Si N(t) expresa el número total de entes que
componen la población al tiempo t, entonces
N(t) puede sufrir cambios crecientes o
decrecientes de magnitud 1 en un instante
infinitesimal de tiempo
Colas
Diagrama Tasas de Transición
• Dado que hay n clientes en el sistema en un
instante t, el número de clientes luego de un t
suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una
salida o (n+1) si fue una entrada
n1
...
n-1
n
n+1
n
n
...
n+1
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:
n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn
Colas
Teoría de Colas
• Para calcular la probabilidad de estado es
preciso tener en cuenta:
– El proceso de llegada de los paquetes
– La distribución de duración de los paquetes
– La política de servicio
• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)
• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)
Colas
Representación general de la Formación de colas
Notación de Kendall
A/B/C
Distribución
de llegada
Distribución
de servicio
Número de
servidores
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
TAMAÑO
POBLACION
: Infinita
P : Finita
DG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
8
PATRON de LLEGADAS
M: Markoviano
G : General
E : Erlang
DISCIPLINA
DE SERVICIO
X X , x , X , X, X
NUMERO
SERVIDORES
1: un servidor
s: s servidores
en paralelo
TAMAÑO COLA
: Infinita
K : Finita
8
PATRON del SERVICIO
M: Markoviano
G : General
E: Erlang
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a
Distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas de las transacciones
b
Distribuciones de probabilidad del tiempo de
servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
D:
constante
Ek:
distribución Erlang con parámetro k
G:
cualquier tipo de distribución
GI:
distribución general independiente
H:
distribución hiperexponencial
M:
distribución exponencial
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
c
número de servidores
d
orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
e
f
FIFO : primeras entradas, primeros servicios
LIFO : últimas entradas, primeros servicios
SIRO : orden aleatorio
PR : con base en prioridades
GD : en forma general
número máximo de clientes que soporta el
sistema en un mismo instante de tiempo
número de clientes potenciales del sistema de
líneas de espera
Colas
Ejemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible
agrupar los diferentes modelos de una manera donde los
procesos Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita
y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con
cualquier tipo de distribución.
Colas
M / M / 1 / DG / /  :
markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
t
0

1
t

2


3


.......
4




n

....

Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Mediante fórmulas generales
Mediante cadenas de
Markov de estado
finito
(M/M/S)
(d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/)
Mediante el factor de
corrección K
(G/G/1) (FCFS/ / )
Mediante la fórmula de
Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/  / )
Mediante cadenas de Markov
y series geométricas
(M/M/S) (FCFS/N/N)
(M/M/S)
(d/  / )
(M/M/1) (FCFS/  / )
Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS //)
(M/M/S) (FCFS/  / )
Colas
Objetivos de los modelos de colas
• Se pueden obtener los valores siguientes:
– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema
– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC
– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema
LES
– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la
cola TEC
– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el
sistema antes de ser atendido TES
– Número promedio de canales en servicio inactivos en el
sistema NCI
– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar
– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o
en el sistema más de un tiempo t
– Número promedio de paquetes atendidos
Colas
TEORIA DE COLAS
Medición del Rendimiento de las Colas
•
•
Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar
decisiones para balancear los costos de servicio deseables
con los costos de espera en la línea.
Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la
cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de
clientes en el sistema.
Colas
Medidas de desempeño
Medidas de desempeño:
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
Colas
Modelo Monoservidor
Área de
almacenamiento
temporal

Llegada de
paquetes
Servidor

Salida de
paquetes
Modelo de cola en un servidor único
• Los paquetes son “clientes” formando
cola en espera del servicio
Colas
Modelo Monoservidor
• Ejemplos de modelos de un solo
servidor:
– Taquilla de Pago CANTV
– Caja de UNITEC
– Cafetin
– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)
Colas
Modelo Monoservidor
• Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad
promedio de:
 paquetes
/ unidad  de  tiempo
Forman una cola en espera de servicio en el área de
almacenamiento temporal y luego, con alguna política
de servicio especificada, son atendidos a razón de un
promedio de
 paquetes
/ unidad  de  tiempo
Colas
Modelo Monoservidor
• La cola empieza a formarse cuando:
  

Llegada de paquetes

Capacidad de transmisión del paquete
Para un área de almacenamiento temporal
finita, la cola llegaría a saturación cuando 
exceda  . Cuando el área de almacenamiento
temporal se satura, se bloquean las llegadas de
todos los paquetes.
Colas
Modelo Monoservidor
• Si se supone un área de almacenamiento
temporal infinita, la cola se vuelve inestable a
medida que:
  
Para la cola con un solo servidor:
 
Asegura estabilidad
Colas
Modelo Monoservidor
• Un parámetro crítico en el análisis de la
teoría de formación de colas es: Utilización o
intensidad de tráfico en el enlace 

 

 Es la razón entre la carga y la capacidad
del sistema
Para el caso de un solo servidor se presenta
congestión cuando:
 1
 1
Investigación de Operaciones
TEORIA DE COLAS
Modelo M/M/1
•
Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo
espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el
promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad
de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución
de probabilidad exponencial negativa.
6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.
Investigación de Operaciones
FÓRMULAS PARA COLAS
MODELO M/M/1
  Número promedio
de arribos por período de tiempo
  Número promedio
de gente o cosas servidos
n  número
de unidades
en el sistema
L S  Número promedio
de unidades
(clientes)
  Factor de utilizació
n del sistema

W S  Tiempo
que una unidad
(tiempo
WS 
1
 
promedio
por período de tiempo
de espera  tiempo
en el sistema
LS 

 


permanece
de servicio)
en el sistema

Investigación de Operaciones
FÓRMULAS PARA COLAS
MODELO M/M/1
L q  Número promedio de unidades
en la cola 

2
    
W q  Tiempo promedio que una unidad espera en la cola 
   LS

    
  WS
Pn  Probabilid ad de que " n " clientes estén en el sistema 
n

   
n
     1     
Pn   1 
 

Po  Probabilid ad de cero unidades
Po  1 


en el sistema (la unidad de servicio está vacía) 
 1   
Pn  k  Probabilid ad de que más de " k" unidades
Pn  k
 
  
 
k 1
estén en el sistema 
Colas
Nomenclatura
pii
Pn
L
Lq
W
Wq

Ct
Ce
Cq
Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempo
Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistema
Número promedio de clientes en el sistema
Número promedio de clientes en la fila
Tiempo promedio de permanencia en el sistema
Tiempo promedio de permanencia en la fila
Factor de utilización promedio del servicio
Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
Elementos a estudiar en las COLAS
 Medida del performance en períodos estacionarios.
P0
Pn
L
Lq
W
= Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
= Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
= número de clientes promedio en el sistema.
= número de clientes promedio en la cola.
= Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.
 = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).
Elementos a estudiar en las COLAS
 Medidas del Desempeño
para la cola
P0 = 1- ( / )
Pn = [1 - ( / )] (/ )n
L =  / ( - )
Lq =  2 / [( - )]
W = 1 / ( - )
Wq =  / [( - )]
Pw =  / 
 =/
M / M /1
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-( - )t
Elementos a estudiar en las COLAS
Zapatería Mary’s
 Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en
promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución
Poisson.
 El tiempo de atención se distribuye
exponencialmente con un promedio de 8 minutos por
cliente.
 La gerencia esta interesada en determinar las
medidas de performance para este servicio.
Elementos a estudiar en las COLAS
SOLUCION
– Datos de entrada
 = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por
hora.
 = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por
hora.
P0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
– Calculo del performance
Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n
L =  / ( - ) = 2
Pw =  /   0.6667
Lq = 2/ [( - )] = 1.3333
 =  /   0.6667
W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutos
Wq =  / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos
Colas
Ejemplo
• Un peluquero atiende sus clientes sin cita
previa, el primero en llegar es el primero en
ser atendido. La llegada de los clientes se
distribuye de acuerdo con un proceso de
Poisson con un promedio de 5/hora. Los
clientes prefieren esperar el tiempo necesario
antes de ser atendidos. El tiempo de corte
del cabello está exponencialmente distribuido
con un tiempo de corte promedio de 10
minutos.
• ¿Cual es el número promedio de clientes en
el negocio y el número promedio de personas
esperando a ser atendidas?
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
5
 
 
hora
1
X
10 min
 


LES 
60 min
1hora


6
hora
5
6

1 
LES  5
5
LES 
6
1
5
6
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
LEC 
LEC 

2
    
5
6
• La probabilidad de que los clientes no deban
esperar antes de ser atendidos es P0
P0  1 


Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
• Esta probabilidad es:
P0  1 
5
 0 . 1666
6
Esto indica que el 16.7% de los clientes
son atendidos sin hacer cola y el 83.3%
deben esperar algún tiempo en la cola
antes de pasar a la silla del peluquero.
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
• Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y
el dueño desea conocer qué porcentaje de
clientes que esperan deben hacerlo
parados. La probabilidad de no encontrar
silla es:

P5  P6  P7  ...  
P
n
n5
 0 . 405
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
• El 40% del tiempo los clientes no
encuentran silla disponible.
• Cuánto debe el cliente esperar en
promedio en la cola y en el sistema,
está dado por la formulas y LEC y LES
LEC 

2
    
LES 

1 
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T310-2-1