Bach. Juan Parraguez Capitán
Bach. Oscar Parraguez Capitán
ÁNGULOS VERTICALES
* ÁNGULOS DE ELEVACIÓN
*ÁNGULOS DE DEPRESIÓN
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
)
)
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
P1 .Desde un punto en el suelo un estudiante observa
la parte mas alta de la Iglesia de Ferreñafe con un
ángulo de elevación de 53º cuando se encuentra
separado 12m de su base ¿Cuál es la altura de la
Iglesia?
Tg C = AB/BC
Tg 53º = H /12
H = 12.Tg 53º
H = 12 ( 4/3)
H = 16m
Rp. 16 m.
A
H
(53º
B
12m
C
P2. Desde la parte más alta de una vieja casona un
niño observa un perro que se encuentra en la calle con
un ángulo de depresión de 37º ,si la altura de la casa
es de 9m. ¿a qué distancia de la base de la casa se
encuentra el perro?
Ctg 37º = BC / AB
Ctg 37º = BC / H
A 37º)
BC = H .Ctg 37º
BC = 9 (4 / 3)
BC = 12
Rp. Distancia es de 12m
H =9
(37º
B
C
P3. El ángulo de elevación de la parte superior del Museo
Brunning es de 30º ,acercándose 100m, se encuentra que el
ángulo de elevación es de 60º ¿Cuál es la altura del Museo?
Ctg 60º = BD / H
BD = H √3/3
Tg 30º = BC / AB
Tg 30º = H / (100+H√3/3)
1/√3 = H / (100+H√3/3)
A
H = 150 /√3
H = 50 √3
Rp. La altura es de 50 √3 m
C
H
30º
100m D
60º
B
P4. Desde un teodolito de 1,5 m de altura se observa la
parte superior de un faro con un ángulo de elevación de
74º, si la distancia del observador a la base del faro es de
35m. ¿cuál es la altura del faro?
A
B
Tg 74º =AB / BC
Tg 74º = AB / 35
AB = 35 Tg 74º
AB = 35 (24/ 7)
AB = 120
C
1,5
N
35m
Altura del faro
H = AB + BN
H = 120 + 1,5
H = 121,5 m.
P5. Una persona observa en un mismo plano vertical dos
ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación
de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A
qué altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
12k =H
12k
53
O
9k
37
o
+
16k
9k +70 = 16k
k = 10
H = 120
P6. Un ingeniero observa con un teodolito la cima de un
cerro con un ángulo de elevación de 37º , luego se acerca
24m y el nuevo ángulo de elevación es de 53º.¿Cual es la
altura del cerro , si el teodolito mide 1,75m?
1,75
24 m
P7. El piloto de un avión observa la pista de aterrizaje del aeropuerto
de Chiclayo con un ángulo de depresión de 16º ,avanza 600m y el
nuevo ángulo con que observa a la torre es de 60º.¿A que altura se
encuentra volando el avión?
(60º
600m
(16º
P8. Un campesino que tiene 1,67m de estatura observa
un panal de abejas que se encuentra en la copa de un
árbol, si la distancia del campesino a la base del árbol
es de 9m ,y el ángulo con que observa el panal es de
45º. Hallar la altura del árbol
45º)
1,67m
9m
P9. Un ingeniero agrónomo observa la parte más alta de
un árbol gigante con un ángulo de elevación de 60º, ,
valiéndose de un teodolito si la altura de este es de
1,55m, y el ingeniero se encuentra separado 13m de la
base del árbol .¿Cuál es la altura del árbol?
= 60º
= 13m
1,55m
P 10.
Un Ingeniero Ecologista sorprendido por el
tamaño de un árbol ,intenta medirlo si su talla es de 1,5m y
se encuentra separado 5m del árbol, hallar la altura de este
si el ángulo con que observa la parte mas alta es de 82º?
(82º
P 11.
Un niño observa la cabeza de un gigante
basquetbolista con un ángulo de elevación de 37º y
los pies de este con un ángulo de depresión de 16º,si
el niño se encuentra alejado 2,40m del deportista
.¿Cuál es la altura del gigante?
37º)
2,40m
16º)
P12. Una persona observa la parte mas alta de un
edificio con un ángulo de elevación de 45º, y el techo
del sexto piso con un ángulo de elevación de 37º
.Hallar el número de pisos que tiene el edificio
C
D
45º
37º )
A
B
PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
1.
2.
3.
El ángulo de elevación con que se observa la parte
superior de un edificio es de 15º , acercándose
30m.se encuentra que el ángulo de elevación es el
doble del anterior.¿cuál es la altura del edificio?
Desde un punto ubicado a 3m del suelo se observa la
parte más alta de un árbol con un ángulo de
elevación de 60º alejado de él 8√3m.¿Cuál es el
tamaño del árbol?
Un asta de bandera colocada en el techo de la
Municipalidad de Ferreñafe ,es observada desde el
suelo con un ángulo de 60º su punta, y la parte
superior del local con 30º .Hallar la longitud del asta
si el punto desde el cual se observa está separado
6m de la base del local.
PROBLEMAS PROPUESTOS (2)
4. Una persona observa un poste con un ángulo de
elevación β, cuando la distancia que los separa
se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de
elevación se ha duplicado. ¿Cuál es el valor del
ángulo β?
5. Desde un punto del suelo se observa el techo del
noveno piso de un edificio con ángulo de
elevación de 37º y la parte superior del mismo con
un ángulo de elevación de 53º.¿Cuántos pisos
tiene el edificio?
6.
Desde la parte más alta de un edificio de 30m de
altura se observan con ángulos de depresión de
30º y 60º la parte superior e inferior de otro edificio
.Encontrar la altura de dicho edificio.
PROBLEMAS PROPUESTOS (3)
7. Una antena de teléfono se encuentra plantada en lo
alto de un edificio de 18 m de altura .Si un estudiante
ve con un ángulo de 53º el extremo de la antena y
con un ángulo de 45º el techo del edificio ¿Cuál es la
altura de la antena?
8. El ángulo de elevación con la cual se observa la
parte superior de un edificio es de 18º 30´ ,
acercándose 50m. Al edificio el nuevo ángulo de
elevación es de 37º. Calcular la altura del edificio.
9. Desde lo alto del cerro de Tres Tomas se observa en
la misma dirección a dos personas con ángulos de
depresión de 37º y 45º .Hallar la distancia que
separa a las personas si la altura del cerro es de
60m
PROBLEMAS PROPUESTOS (2)
10. Desde la parte superior de un edificio de 28m de
altura , se observa la parte superior de otro edificio
con un ángulo de elevación de 37º y la parte
inferior con un ángulo de depresión de 45º .Hallar
la altura de dicho edificio.
11. Desde la cima de un cerro se observa un objeto con
un ángulo de depresión de 60º . Si dicho objeto
dista 20 √3 m del pie del cerro. ¿Cuál es la altura
del cerro?
12.
Desde el puesto del vigía de un barco que tiene
48m de altura , se observa que el ángulo de
depresión de un bote es de 30º .Calcular la
distancia a la que esta el barco.
Joven estudiante dame tiempo y te demostraré que
no hay problema
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