UNIDAD II
SEMANA II
TORQUE O MOMENTO DE
TORSION
Se ha preguntado ¿Qué hace o como hace para aflojar
un tornillo muy apretado ? La respuesta a esta
inquietud viene a continuación.
Si no puede aflojar un tornillo muy apretado con una
llave de cruz , lo que usted hace por intuición es utilizar
una llave con mango mas largo o poner un tubo sobre la
llave existente para hacerla mas larga , con la finalidad
de que sea mucho mas fácil de aflojar, Lo que esta
haciendo es aplicar un tema esencial de este Capitulo
“TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA”
La fuerza F tiene mayor
tendencia a la rotación
alrededor de O cuando
aumenta F y cuando aumenta
el brazo de momento la
componente
tiende
hacer girar la llave alrededor
de O
Considere la llave de tuercas que
hace pívot en el eje que pasa por
O (ver figura). La fuerza aplicada
F actúa a un ángulo Φ con
respecto a la horizontal. Definimos
la magnitud del momento de
torsión asociado con la fuerza F
por la expresión:
Donde r es la distancia entre el
punto del pívot y el punto de
aplicación de F y d es la distancia
perpendicular desde el punto de
pívot a la línea de acción de F
Entonces podemos decir que:
El momento de fuerzas, , es la tendencia de una fuerza a
hacer rotar un objeto alrededor de algún eje
•
El momento de fuerzas es un vector
Algebraicamente,
Donde:
•
F es la Fuerza
•
r es el brazo de aplicación
…………( 1 )
La forma sencilla de calcular esta expresión algebraica es como
sigue:

  iˆ ( yF z  zF y )  ˆj ( xF z  zF x )  kˆ ( xF y  yF x )
1.- Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4î - 5ĵ)
N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2î + ĵ) m.
Solución: Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:
2.- Calcular el torque de una fuerza aplicada al cuerpo de la Figura, cuando F
es 6 N y hace un ángulo de 30° con el eje X y r mide 45 cm haciendo un ángulo
de 50 ° con el eje positivo de las X.
Primer Método :
Aplicando la ecuación
De la figura el ángulo entre r y F es 20°
Este Método solo nos da la magnitud del torque. Para saber el sentido de la
Rotación debemos aplicar la REGLA DE LA MANO DERECHA.
En ese caso el torque es
Segundo Método :
Aplicando la ecuación

  iˆ ( yF z  zF y )  ˆj ( xF z  zF x )  kˆ ( xF y  yF x )
Donde los valores de x e y son
Similarmente descomponiendo la fuerza F en sus componentes rectangulares
Por lo tanto
El signo negativo indica rotación del cuerpo en el sentido horario
Es necesario tener en cuenta los signos para el cálculo del
momento de una fuerza, tal como se muestra:
OBSERVACIÓN:
“F” no producirá rotación en la
barra respecto al punto “0” ya que
su línea de acción pasa por el
punto (0).
F
M
0
Entonces d = 0 y .
0
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a
un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es
cero.
El caso más común de Equilibrio de Rotación es cuando un
cuerpo no experimenta giros.
Como la barra no gira; se puede
aplicar la 2da. condición de equilibrio,
tomando como centro de momento el
punto 0
O sea que:
M
0
 0
R
Fg
 M0  M0  M0
Como

T
Entonces:
Fg
M0  M0   M0
T
Fg
0  M0  M0

T
 M0
M 0R  0
Fg
M0
T
 M0
MOMENTO DE FUERZAS NETO
Si dos o mas fuerzas actúan sobre un cuerpo
rígido (ver figura) cada una tiende a producir
rotación alrededor del eje en O. En este ejemplo
F2 tiende a hacer rotar el cuerpo en el sentido de
giro de las manecillas de un reloj, y F1 tiene a
hacerlo rotar en sentido contrario
Aquí observamos que F1 tiene un brazo de
momento d1 , entonces el torque es positivo
+ F1.d1 ya que F1 hace que tienda a girar en el
sentido contrario alas manecillas del reloj, de
manera análoga - F2.d2.
Por lo tanto el momento de torsión
neto
alrededor del eje O es:
TEOREMA DE VARIGNON
El momento respecto de un punto dado O de la
resultante de varias fuerzas concurrentes es
igual a la suma de los momentos de cada una
de las fuerzas respecto al mismo punto O.
 Esto es, si las fuerzas, F1, F2, F3 Y F4 ; se aplican
en un punto P, como se indica en la figura
siguiente, podemos concluir inmediatamente por
la propiedad distributiva del producto vectorial
respecto a la suma, que:


r x (F1+F2+F3 + F4 + …) = r x F1 + r x F2
Y
+…..
F1
F3
A
r
F4
O
Z
F2
X

Es decir, el momento respecto a un punto dado O, de la
resultante de varias fuerzas concurrentes, es igual a la
suma de los momentos de las distintas fuerzas con
respecto al mismo punto O.

Esta propiedad la descubrió el matemático francés
Varignon (1654-1722), mucho antes de inventarse el
álgebra vectorial, por lo que se le conoce como en
Teorema de Varignon.
rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)
rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn)
entonces
M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

El resultado anterior permite sustituir la determinación
directa del momento de una fuerza, por la determinación
de los momentos de dos o más fuerzas componentes.
Esto es particularmente útil en la descomposición de una
fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo,
puede resultar más útil en algunos casos descomponer
en componentes que no sean paralelas a los ejes
coordenados.
3.- Considerar 3 fuerzas aplicadas al punto A de la figura,
con r = 1,5m y
F1  6 iˆ  0 ˆj  0 kˆ
F 2  6 iˆ  7 ˆj  14 kˆ
F3  5 iˆ  0 ˆj  3 kˆ
Usando O como punto de referencia, encontrar el torque
resultante debido a estas fuerzas.
Sabemos que el torque es
donde


ˆ
R  ( 6  6  5 ) iˆ  ( 0  7  0 ) ˆj  ( 0  14  3 ) k  R  17 iˆ  7 ˆj  11 kˆ
El valor de r es

r  1, 06 iˆ  1, 06 ˆj
Realizando el producto vectorial
 
  r  R  11 , 66 iˆ  11 , 66 ˆj  29 , 44 kˆ

Si calculamos los torques producidos por cada una de las
fuerzas

ˆ
 1  r  F 1  0 iˆ  0 ˆj  6 ,36 k N  m

 2  r  F 2  14 ,84 iˆ  14 ,84 ˆj  13 , 78 kˆN  m

 3  r  F 3   3 ,18 iˆ  3 ,18 ˆj  5 , 3 kˆN  m
entonces
 R   1   2   3  11 , 66 iˆ  11 , 66 ˆj  29 , 44 kˆN  m
IMPORTANTE: Un sistema de fuerzas
concurrentes puede reemplazarse por una sola
fuerza (Resultante) que es equivalente en lo que
respecta a efectos de traslación y rotación.
En primer lugar encontramos la resultante
En seguida encontramos el torque de cada fuerza con respecto a O
Luego
El equilibrio es estable si el cuerpo,
siendo apartado de su posición de
equilibrio, vuelve al puesto que antes
tenía, por efecto de la gravedad.
En este caso el centro de gravedad está
debajo del punto de suspensión.
Ejemplo: El péndulo, la plomada,
una campana colgada.
El equilibrio es inestable si el
cuerpo, siendo apartado de su
posición de equilibrio, se aleja por
efecto de la gravedad. En este
caso el centro de gravedad está
más arriba del punto o eje de
suspensión.
Ejemplo: Un bastón sobre su punta.
El equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio en
cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide
con el punto de suspensión.
Ejemplo: Una rueda en su eje.
COMPOSICION DE FUERZA APLICADAS
A UN CUERPO RIGIDO
En general, un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no
puede reducirse a una sola fuerza o resultante igual a la suma vectorial de las
fuerzas.
CUPLA O PAR DE FUERZAS
Se define como un sistema de dos fuerzas de igual magnitud pero de
direcciones opuestas que actúan a lo largo de líneas paralelas.
La resultante o vector suma de las dos fuerzas es
indicando que la cupla no produce efecto de traslación
Por otro lado la suma vectorial de los torque, teniendo en cuenta
es dada por
donde b es el brazo de palanca de la cupla
la cupla produce efecto de rotación
4.- Encontrar la fuerza resultante y el torque resultante del sistema mostrado
en la figura donde
y
ux, uy y uz son los vectores unitarios en
X, Y, y Z respectivamente
y los puntos de aplicación son
A (0,4m; 0,5m; 0) y
B (0,4m; -0,5m; 0,8m)
COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS
Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u.
Luego
donde Fi es positivo o negativo dependiendo de si la
dirección de Fi es la misma de u u opuesta a la de u.
La suma vectorial es
Y por tanto también paralelo a u. La magnitud de la resultante es
entonces
La suma vectorial es
La cual es perpendicular a u y por lo tanto también es perpendicular a R.
Por este motivo, colocando R en la posición apropiada rc, es posible
igualar su torque a ; esto es,
. Introduciendo las
expresiones de R y  podemos escribir
Esta ecuación se satisface si
O sea,
rc se denomina centro de fuerzas paralelas.
La ecuación vectorial se puede separar en sus tres componentes
donde hemos designado por xc, yc, zc las coordenadas del punto definido
por rc.
5.- Hallar la resultante de las fuerzas que actúan en la barra de la Figura.
Considerando la dirección hacia arriba como positiva la resultante es
Para determinar su punto de aplicación utilizamos la ecuación xc . Se
requiere solamente de la primera ya que todas las fuerzas son paralelas
al eje Y. Tomando A como el origen, obtenemos
El punto considerado como origen puede ser cualquiera. Para mostrar
esto tomemos el punto D como origen. Entonces
Este punto es exactamente el mismo, ya que AD = 20 pulgadas.
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Diapositiva 1 - Matemáticas para la Vida