Cap. 10
Rotación
Un Adelanto del Cap. 10
• Trata del movimiento de rotación de un cuerpo rígido
también llamado movimiento angular.
• Aunque, en este movimiento, cada punto del cuerpo
se mueve con una velocidad diferente, encontraremos que se puede describir el movimiento de una
manera muy sencilla.
• Encontraremos conceptos análogos a todos los que
definimos para el movimiento de traslación.
• También hay fórmulas análogas. Es fácil saber las
fórmulas nuevas si recordamos las de traslación.
La Diferencia Entre Traslación y Rotación
Traslación
Rotación
La Descripción Matemática
 En un cuerpo rígido, la distancia entre cualquiera dos puntos
siempre se mantiene constante.
 Para especificar la posición de todo el cuerpo sólo necesito
especificar la posición de una linea de referencia.
 Esto le puedo hacer con una sola variable que es un ángulo.
La Descripción Matemática
 Cada punto está en movimiento circular.
 Pero el radio del círculo es diferente para cada punto.
 Todos los puntos se mueven a través del mismo ángulo.
 Sólo necesito un ángulo para especificar la posicíon de todo
el cuerpo.
 Hablaremos entonces de desplazamiento angular, velocidad
angular y aceleración angular. θ se mide en radianes!!
Velocidad angular
Aceleración angular
Las Ecuaciones Para Aceleración Angular Constante
No hay que aprenderse ecuaciones nuevas. Estas se
consiguen de las que conocemos haciendo la “traducción” de:
Θ↔x
ω↔v
α↔a
¿Cómo se mueven los puntos del cuerpo?
 Cada punto está en movimiento circular.
 Podemos hablar del desplazamiento(s), la velocidad(v) y la
aceleración(a) de cada punto del cuerpo. El desplazamiento será en
un arco del círculo.
 Estas variables tendrán diferentes valores para diferentes puntos del
cuerpo.
 Sin embargo, el desplazamiento angular (θ) , la velocidad angular (ω),
y la aceleración angular (α) tienen un sólo valor para todo el cuerpo en
un movimiento dado.
¿Cómo se mueven los puntos del cuerpo?
 Relaciones entre el desplazamiento angular (θ) , la velocidad
angular (ω), la aceleración angular (α) del cuerpo y el
desplazamiento en arco (s), la velocidad lineal (v) y los
componentes de la aceleración lineal (at , ar ) de un punto.
 Es fácil. Es cuestión de multiplicar por r excepto la última.
 Importante. El ángulo se mide en radianes!!!!!!!! La velocidad
angular se mide en rad/s. Como radianes en realidad es un
número puro, cuando multiplico rad/s por m, la contestación
me da en m/s.
Relación entre T y ω
 T es el periodo, i.e., el tiempo para una vuelta completa.
 Así que ω es esencialmente el inverso de T!!
Energía Cinética de Rotación
 Dividir el cuerpo en pedacitos y sumar la energía
cinética de cada uno.
 Definir el momento de inercia:
 Finalmente
 Es muy parecida a la fórmula que ya conocemos.
Sólo tenemos que cambiar v por ω.
El Momento de Inercia
 Es el concepto análogo a la masa en movimiento lineal. Reemplazaremos la
masa en las ecuaciones que conocemos por I. Así obtendremos las
ecuaciones para movimiento angular.
 A diferencia de la masa, I no es una constante para el cuerpo sino que también
depende del eje de rotación alrededor del cuál está rotando el cuerpo.
 Para un cuerpo continuo se convierte en un integral.
 No te preocupes; no haremos ningún integral. Las fórmulas para encontrar I
para diferentes geometrías las buscaremos en una tabla.
El Momento de Inercia
Teorema de Ejes Paralelos
 Considera dos ejes paralelos el uno al otro con uno
de ellos pasando por el centro de masa del cuerpo.
 ICOM es el momento de inercia para el eje que pasa
por el centro de masa, h es la distancia entre los
ejes, M es la masa total del cuerpo.
 Fíjate que I siempre es > que ICOM .
Torque
 ¿Cómo trabaja una puerta?
 ¿Dónde y cómo hay que aplicar la fuerza?
 La dirección de la fuerza y la distancia al eje de rotación son tan importantes
como la magnitud de la fuerza aplicada.
 El concepto de torque recoge estas ideas.
 τ = r F sinφ
La 2da Ley para Rotación
 Torque es el concepto análogo a fuerza!!!
 Las ecuaciones de rotación las conseguimos sustituyendo
torque por fuerza.
I↔m
τ↔F
θ↔x
ω↔v
α↔a
Ejemplos de Torque
 El torque es positivo si tiende a causar
rotación en contra de las manecillas del reloj
y negativo a favor.
 El torque neto (la suma algebráica de todos
los torques) es lo que aparece en la 2da ley.
Un Ejemplo de Torque y la 2da Ley
Queremos tirar a un oponente en judo. Necesitamos una aceleración
angular de -6 rad/s2. ¿Cuánta fuerza hay que hacer? Depende…..
Cuando obligamos al oponente a doblarse de
tal manera que su centro de masa coincide
con el punto de pivote.
Cuando el oponente permanece erecto y hay
una distancia de 12 cm entre el centro de
masa y el punto de pivote.
Otro Ejemplo de Torque y la 2da Ley
Transmisión de Movimiento de un disco a otro por medio de una correa.
Podría ser también por medio de un engranaje.
 La clave es darse cuenta que la velocidad lineal de los puntos en los
bordes de los discos es la misma en A que en C.
 Pero la velocidad angular es diferente porque los radios son diferentes.
 La pequeña da vueltas más rápido que la grande. ωA > ωC .
 Por tanto, αA > αC .
 Tomemos el caso en que se le aplica una fuerza externa a C en contra de
las manecillas del reloj. C también sentirá un torque debido a la tensión en
la parte de la correa B. El torque de B sobre C es a favor de la manecillas
del reloj (una cuerda siempre hala!)
 A solamente siente el torque debido a B. No hay tensión en la parte de
arriba de la correa! Sabemos que no la hay porque, si la hubiere, ese
torque cancelaría el torque de B. La tensión no es la misma en toda la
correa.
Otro Ejemplo de Torque y la 2da Ley
Movimientos de Rotación y Traslación
Relacionados a Través de una Cuerda
 La tensión en ambos extremos de la cuerda es la misma.
 La aceleración lineal de cada punto de la cuerda es la misma e igual a la de
los puntos en el borde de la polea.
a=αR
 La 2da ley se le aplica a la masa igual que antes. El movimiento de la polea
se analiza con torque y α . Las dos ecuaciones resultantes se pueden
escribir en términos de dos incógnitas. Una incógnita es la tensión y la
otra puede ser “a” o puede ser α dependiendo de lo que nos pida el
problema. Cambiar entre α y “a” es muy sencillo.
La Palanca - Un ejemplo Importante de Torque
 En la situación del dibujo habrá un torque neto a favor de las manecillas
del reloj.
 Típicamente una palanca se usa con una masa encima del lado corto y se
hace fuerza en el lado largo para levantarla. En ese caso la fuerza que hay
que hacer es mucho menor que el peso que se está levantando.
 Este es un ejemplo de una “máquina simple”. El hombre aprendió a usar
herramientas como la palanca para poder lograr cosas que no podía hacer
con la fuerza de su cuerpo.
 Fíjate que es la herramienta la que tiene que cumplir con los requisitos de
la tarea. Por ejemplo, la barra de la palanca debe soportar la fuerza sin
doblarse demasiado. También, el punto donde descansa la palanca (el
fulcro) debe soportar el peso completo.
Las Relaciones de Energía
 Hay relaciones análogas a todas las que encontramos para movimiento lineal.
 Sólo tenemos que usar nuestro “diccionario” para saber cuáles son las
relaciones en rotación.
 La ley general de conservación de energía total no cambia excepto que ΔK se
escribe en términos de ω y para ΔU se considera el movimiento del CM del
cuerpo. Esta es la ley que se usa cuando tenemos un sistema compuesto por
dos o mas partes entre las cuales hay una fuerza conservativa, e.g. un cuerpo
rígido rotando bajo la influencia de gravedad con o sin fricción.
 Cuando no hay fuerza externa ni fricción.
Un Ejemplo Usando el Concepto de Energía
El objeto compuesto rotará del reposo hasta estar bocabajo. ¿ω final?
Otro Ejemplo Usando el Concepto de Energía
Dos objetos en rotación y uno en traslación unidos por una cuerda.
Todos los puntos de la cuerda se mueven con rapidez v y los tres
movimientos están relacionados.
K = KE + KP + K m
KE =½ IE ωE2 = ½ (2/5 MR2) (v/R)2 = 0.2 Mv2
KP =½ IP ωP2 = ½ IP (v/r)2 = 0.5 (IP/r2) v2
Km = ½ m v2
K = [0.2 M + 0.5 (IP/r2) + 0.5m] v2
ΔU = Uf - Ui = 0 – mgh
Si no hay fricción, ΔK + ΔU = 0.
Si hay fricción, ΔEth = - (ΔK + ΔU) > 0
Descargar

Slide 1