OBJETIVOS: Reconocer y utilizar los
productos notables
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Sabemos que se llama producto al resultado
de una multiplicación. También sabemos que
los
valores
que
se
multiplican
se
llaman factores.
Se
llama
productos
notables
a
ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso
saber factorizarlas a simple vista; es decir,
sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos
notables (también productos especiales)
precisamente porque son muy utilizados en
los ejercicios
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


Los productos notables son:
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. (a + b) ( a – b ) = a2 – b2
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
6. (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
7. (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
9. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

El primer producto que se analiza no es
precisamente un producto notable como tal,
sino que es la propiedad distributiva vista
anteriormente, pero que se presenta
frecuentemente en operaciones algebraicas;
por lo que se menciona de nueva cuenta.
Sea a, b, c ε ℜ entonces
◦ a(b + c) = ab + ac
propiedad distributiva
EJEMPLO
 Multiplicar: 3x(2x2y – 7) =
Aplicando la propiedad distributiva:

3x(2x2y – 7) = 3x(2x2y) + 3x(– 7)
= 3·2xx2y – 3·7x
= 6x3y – 21x
ley de los exponentes y regla de los signos
Expresado en palabras:
“Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado
del primer término, más el doble producto del
primer término por el segundo término, más el
cuadrado del segundo término” .
Análogamente, se tiene que :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
EJEMPLOS
Obtener las siguientes multiplicaciones,
aplicando el producto notable.
 1. (2x + 5)2 =


2. (2m2n – 5p3)2 =

3. ( 1 – 5x5 )2 =
Expresado en palabras: “El producto de dos
binomios conjugados es igual a una diferencia
de cuadrados”.
El signo negativo de la diferencia de cuadrados
corresponde al término que esté restando de
los binomios conjugados.
 +   −  = 2 − 2
 + 
NO se puede factorizar en el conjunto de los
números reales.
 +   −  = 2 − 2
 + 
NO se puede factorizar en el conjunto de los
números reales.
EJEMPLOS
Obtener los siguientes productos aplicando el
producto notable.


1. (7x2 + 4y3) (7x2 – 4y3) =

2. (3p + 6q2) (6q2 – 3p) =

3. (a – b) (– a – b) =

El producto notable es:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

EJEMPLOS

1. (x + 2) (x – 3) =

2. ( x – 5 ) ( x – 2 ) =

El producto notable es:
(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
EJEMPLO
 ( 2x + 5) ( 3x – 4) =
El primer y último término del trinomio resultante, se
obtiene multiplicando:
(2x) (3x) = 6x2
y
(5) ( –4) = –20 .
Para encontrar el término central hagamos la operación
por visualización:
15x y –8x
y la suma algebraica es: 7x

Resultando:( 2x + 5 ) ( 3x – 4 ) = 6x2 + 7x – 20
+++
2
= 2 + 2 +  2 +  2 + 2  +  +  +  +  + 
Expresado en palabras:
“Un binomio al cubo es igual al cubo del primer
término, más el triple producto del cuadrado
del primer término por el segundo, más el
triple producto del primer término por el
cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo término”.
Análogamente:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


1. Desarrollar (2a2 + 5bc)3 =

2. Desarrollar (5x3y – z2)3 =

3. Desarrollar ( – a + b)3 =
Producto de un binomio por un
trinomio que da una suma o diferencia
de cubos
 Los productos notables son:

3 +  3 =  +  2 −  +  2
3 −  3 =  −  2 +  +  2

EJEMPLOS

1. (x – 3) (x2 + 3x + 9) =

2. (x2 + 7) (x4 – 7x2 + 49) =
Se trata de desarrollar ( a + b )n
Donde n es un entero positivo.


Pero para obtener el valor de los coeficientes
binomiales surgió el TRIÁNGULO DE PASCAL
en honor de Blais Pascal, el cual nos permite
conocer el valor de los coeficientes que
aparecen en el desarrollo de los binomios
elevados a una potencia n cualquiera.
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

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Recordemos lo siguiente:
( a + b)0 = 1
( a + b )1 = a + b
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
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


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El TRIÁNGULO DE PASCAL es el siguiente:
n
n
n
n
n
n
n
n
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1 5
10 10
5
1
1
6 15 20 15
6
1
1 7
21 35 35 21
7 1
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
El TRIÁNGULO DE PASCAL es el siguiente:






Se trata de desarrollar ( a + b )n
Donde n es un entero positivo.
Tiene las siguientes características:
1. El número de términos es n + 1, o sea, el número de
sumandos son uno más que el exponente del binomio.
2. El primer término siempre es a y se encuentra
elevado al mismo exponente del binomio, a partir de
ahí empieza a decrecer una unidad en cada uno de los
sumandos siguientes.
3. La b aparece por primera vez a partir del segundo
término, con exponente uno, y empieza a aumentar de
unidad en unidad hasta llegar al mismo valor que el
exponente del binomio.
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


4. La suma de los exponentes de a y b en cualquier
término es igual al exponente que se encuentra el
binomio (n).
5. Los coeficientes de a y b presentan cierta simetría.
Esta simetría consiste en que se repiten los valores
para términos equidistantes de los extremos.
6. Los coeficientes del primero y último términos son
siempre uno. El coeficiente del segundo y del
penúltimo términos es n ( que es el valor del
exponente al que se encuentra elevado el binomio).
7. Si en cualquiera de los términos el coeficiente
(conocido) se multiplica por el exponente dea y este
producto se divide entre el exponente de b aumentado
en 1, el resultado es el coeficiente del siguiente
término.
EJEMPLOS
Desarrollar los binomios usando el Binomio de
Newton y el Triángulo de Pascal.


1. ( x2 + 3y2 )4 =

2. ( x3 + 2y2 )5 =
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