INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ATITALAQUIA
Ingeniería Química
Cálculo Diferencial
Aplicaciones de las derivadas
Presenta: Marcos Campos.
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e
intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
m=0
m>0
m<0
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir, la
pendiente es 0)
m<0
m=0
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.
U n a fu n ció n f : D  R  R tie n e u n
m á xim o re la tiv o e n x 0  D si
i)
df
dx
 x0   0
2
ii)
d f
dx
2
 x0   0
ó
df
dx
x
va de  a 
U n a fu n ció n f : D  R  R tie n e u n
m ín im o re la tiv o e n x 0  D si
i)
df
dx
 x0   0
2
ii)
d f
dx
2
 x0   0
ó
df
dx
x
va de  a 
U n a fu n ció n f : D  R  R tie n e u n
p u n to d e in fle xió n e n x 0  D si
i)
df
dx
 x0   0
2
ii)
d f
dx
2
 x0   0
ó
df
dx
x
n o ca m b ia d e sig n o
S e v a a co n stru ir u n re cta n g u lo q u e d e b e te n e r u n
p e rim e tro d e 8 0 cm . ¿C u á le s d e b e n se r su la rg o y
su a n ch o d e m a n e ra q u e e l á re a se a m á xim a ?
A= l*a
l
a
P=2a+ 2l
S e v a a co n stru ir u n re cta n g u lo q u e d e b e te n e r u n
p e rim e tro d e 8 0 cm . ¿ C u á le s d e b e n se r su la rg o y
su a n ch o d e m a n e ra q u e e l á re a se a m á xim a ?
S e a a e l a n ch o d e l re ctá n g u lo
S e a l e l la rg o d e l re ctá n g u lo
S e a A e l á re a d e l re cta n g u lo
T e n e m o s q u e 2 l  2 a  80, a sí q u e a  40  l
E l á re a e s A  l   al   40  l  l
A  l    40  l  l
S e v a a co n stru ir u n re cta n g u lo q u e d e b e te n e r u n
p e rim e tro d e 8 0 cm . ¿ C u á le s d e b e n se r su la rg o y
su a n ch o d e m a n e ra q u e e l á re a se a m á xim a ?
A  l   al   40  l  l
dA  l 
 40  2 l
dl
dA  l 
dl
l  20
0
S e v a a co n stru ir u n re cta n g u lo q u e d e b e te n e r u n
p e rim e tro d e 8 0 cm . ¿ C u á le s d e b e n se r su la rg o y
su a n ch o d e m a n e ra q u e e l á re a se a m á xim a ?
A  l   al   40  l  l
dA  l 
 0  l  20
dl
d A l 
2
dl
2
 2  0
Ejercicio No. 1 – Química – ( Resolución página 43 )
La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a
temperatura constante P*V=K , donde P es la presión, V
el volumen y K una constante.
Si la presión de un gas está dada por la expresión: P(t) = 30 +
2t con P en cm de Hg , t en seg ; y el volumen inicial es de
60 cm3, determina la razón de cambio del volumen V con
respecto al tiempo t a los 10 segundos.
Ejercicio No. 6 – Química - ( Resolución página 48 )
Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante de
Q = 100 litros /minuto. Suponiendo que la presión del gas es
constante , halla la velocidad con que está aumentando el radio
R del globo en el instante en que R=0.3 m.
Ejercicio No.13 – Contaminación – ( Resolución página 58 )
Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C
de monóxido de carbono CO2 en el aire , en partes por millón (ppm) , en
una ciudad , está relacionado con la población p expresada en miles de
habitantes por la siguiente expresión
2
p
C ( p) 
 17
2
El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado
por la relación siguiente: p(t) = 3. 1 + 0.1 t² en miles de habitantes.
¿ Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en
esa ciudad dentro de 3 años?
Ejercicio No.6 - Cálculo – (Resol. Pag. 132)
Una empresa tiene capacidad de producir como máximo
15, 000 unidades al mes de cierto producto.
El costo total de producción Ct en miles de dólares por mes
responde a la expresión
Ct ( q ) 
1
3
q 
3
15
q _ 36 q  81
2
2
donde q es el número de unidades producidas en miles
de unidades por mes.
Determina la producción mensual de la empresa que
minimiza el costo total de producción y calcula ese costo.
Ejercicio No. 8 – Química – (Resol. Pag. 133)
La masa m de agua que a 0°C ocupa un volumen de 1 litro,
ocupará a T °C un volumen V en litros dado por la
expresión:
V (T )  10
5
3
1
(  6 . 8 * 10 T  8 . 5 * 10 T  6 . 4T  10 )
3
2
0  T  10
Recordando que la densidad ρ de una sustancia homogénea es
ρ =m/V
a) Encuentra la temperatura T para la cual la densidad ρ
del agua es máxima
b) Bosqueja V(t) para 0 ≤ T ≤ 10.
5
Ejercicio No.23 -Dimensionado de envase – (Resol. Pag. 154)
Se desean fabricar envases cilíndricos de hojalata para lubricante de volumen V
dado.
No se desperdicia material al cortar la hoja que constituye la pared cilíndrica , pero
las bases se recortan de trozos cuadrados como indica la figura , desperdiciándose
los recortes.
a) Halla la relación entre la altura y el diámetro de la base para que el gasto de
material incluído el desperdicio , sea mínimo .
b) Aplica los resultados para el caso V = 1 lt.
c) ¿Cuál es el porcentaje de material desperdiciado respecto al total usado?
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