D efinim os la función
x
F x 

f   d 
a
donde a es una constante
y
x es la variable independiente
x
f x
F x 
 f   d 
a
x
a
x
F x 

f   d 
a
S e tiene
d
dx
F x  f x
b

a
f  x  dx  F  b   F  a 
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Una ecuación diferencial es una ecuación
que involucra una función desconocida y sus
derivadas
df
x
x 
  kf
dx
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2
 
 
2
2 m x
2
x
Una ecuación diferencial es ordinaria si la
función desconocida depende de solo una
variable
df  x 
dx
  kf  x   x
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2


2
2 m x
2
Una ecuación diferencial es ordinaria si la
función desconocida depende de solo una
variable
df  x 
  sin  x   xf  x  co s  x 
dx
dv
dt
  a v  x0
3
x
d y
dx
3
 xy
2
dy
dx
 y  x y
2
Una ecuación diferencial es parcial si la función
desconocida depende de varias variables
i

t
2
 
q  x, y 
 
2
2 m x
2
 q  x, y 
2

x
y
2
 q  x, y   0
1   2  
1
 
 
1
 
r

sin


  4   r ,  ,  




2
2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
  
rˆ
r
2
El orden de una ecuación diferencial es el orden de
la mayor derivada que aparezca en ella
x
2
d f
dx
b
2

 
S e g u n d o o rd e n
3
 a
t
d
 df 
  kf  x   x 

d
x


2
z
x
3
 a  b
T e rc e r o rd e n
P rim e r o rd e n
dz
i
5

i0
d g
i
 p
dp
i
 
O rd e n 5
Una solución de una ecuación diferencial
en la función desconocida f(x) y en la
variable independiente x en el intervalo I,
es una función f(x) que satisface la
ecuación diferencial idénticamente para
toda x en I
Ya veremos más adelante ejemplos
Una ecuación diferencial con condiciones
subsidiarias en la función desconocida y sus
derivadas, todas ellas dadas para el mismo
valor de la variable independiente, constituye
un problema de condiciones iniciales (initialvalue problem).
Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
U n a e c u a c ió n d ife re n c ia l c o n c o n d ic io n e s s u b s id ia ria s e n la fu n c ió n
d e s c o n o c id a y s u s d e riv a d a s , to d a s e lla s d a d a s p a ra e l m is m o v a lo r
d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te , c o n s titu ye u n p ro b le m a d e c o n d ic io n e s
in ic ia le s (in itia l-v a lu e p ro b le m ). L a s c o n d ic io n e s s u b s id ia ria s s o n la s
c o n d ic io n e s in ic ia le s .
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
y 
dy
dx
 f  x, y 
y 
dy
dx
 f  x, y 
S e d ice q u e e s d e
v a ria b le s se p a ra b le s si
y 
dy
dx

Ax
B y
y 
dy

dx
E n e s te c a s o
B y
Ax
B y
dy
dx
 Ax  0
In te g ra m o s re s p e c to a x ,
dy
 B  y  dx dx   A  x  dx  0
y p o r la re g la d e la c a d e n a
 B  y  dy   A  x  dx  0
dy
 x
2
dx
dy
 dx
dx 
yx 
1
3

2
x dx
x c
3
dy
 x
2
dx
y 
1
x c
3
e s la so lu ció n g e n e ra l
3
y 
y 
y 
1
3
1
3
1
3
x
3
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
x 5
3
x 
3
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
2
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
dy
 x
2
yx 
;
dx
1
x c
3
3
C o n d ic ió n in ic ia l: y  x  0   4
A h o ra
y  x  0 
1
0
3
 c  4,
3
p o r lo ta n to , c  4 .
L a s o lu c ió n q u e s a tis fa c e la c o n d ic ió n
in ic ia l e s
1 3
yx  x  4
3
y 
1
3
x c
3
dv
a
dt
co n la co n d ició n in icia l
v  t  0   vi
dv
a
dt
dv
co n la co n d ició n in icia l v  t  0   v i
a
dt

v  at  c

dv
 dt
dt 
adt


dv
dt
a
co n la co n d ició n in icia l v  t  0   v i
v  at  c
v  t  0    c  vi
v  t   vi  a t

c  vi
dv
dt
a
co n la co n d ició n in icia l v  t  0   v i
v  at  c

v  t   v i  at
5
2
5
10
15
4
6
8
10
y 
dy
 x, y  
 f
dx
N  x, y 
dy
 M
dx
dy
 
dx
 x, y 
N  x, y 
M
 x, y   0
dy
 N  x, y  dx dx   M  x, y  dx  0

N  x, y  dy 
M

 x, y  dx
0
dy
dx
dy
x 
lim
x  x
y  x  y  x 
x  x
e s u n s im b o lo , n o u n a fra c c ió n
dx
d x y d y "n o e xis te n " in d e p e n d ie n te m e n te
y 
dy
dx
 f
 x, y  
N  x, y  dy  M

N  x, y  dy 
dy
dx
 x, y  dx
M

 
 x, y 
N  x, y 
M
0
 x, y  dx
0
N  x , y  dy  M  x , y  dx  0
N  x , y  dy  M  x , y  dx  0
S i M  x, y   A  x  y
N  x, y   B  y 
B  y  dy  A  x  dx  0
B  y  dy  A  x  dx  0
S o lu ció n g e n e ra l:
 B  y  dy   A  x  dx  c
d o n d e c e s u n a co n sta n te a rb itra ria
dy
 si n x
dx
d y  sin x d x  0
d
y


sin
x
d
x

0

y  cos x  c  0
y  x   c  co s x
dy
 sin x

dx
y  x   c  cos x ;
c  1, 2,3, 4,5
6
5
4
3
2
1
2
4
6
8
10
df
ex p   x

dx
f
dx

2 
1
2
 ex p   x
df
dx 
dx
1
f

f
df
f
2
d

f
2

dx
2


2
2
0
 ex p   x
dx 
2
 dx  0
 ex p   x
2
 dx  0
e rf  x   c   0
f  x     e rf  x  
1/ 2
c
df
dx

ex p   x
f
2


f  x     e rf  x  
1/ 2
c
6
5
4
3
2
1
2
c  1, 2, 3, 4, 5
3
4
dN t 
dt
dN
  kN  t 
 kd t  0 
N
N 0  N0

dN
N
ln N  kt  c
 k  dt  c
ln N  c  kt
N  t   ex p  c  kt   ex p  c  ex p   kt 
N  0   ex p  c   N 0
N  t   N 0 exp   kt 
N  t   N 0 exp   kt 
N 0  100
k  1/ 4
dT  t 
dt
dT
T  Tm
    T  Tm  ;   0
   dt
ln  T  T m    t  c
T
dT
 Tm
   dt  c
T  T m  exp  c  ex p    t 
T  t   T m  exp  c  exp    t 
dT  t 
dt
    T  Tm  ;   0
T  t   T m  e xp  c  e x p    t 
C o n d icio n e s "fin a le s":
T     lim  T m  exp  c  exp    t    T m
t 
in d e p e n d ie n te m e n te d e c .
C o n d icio n e s in icia le s: T  0   Ti
T  0   T m  exp  c  exp  0   T m  exp  c   Ti
e x p  c   Ti  T m
T  t   T m   Ti  T m  e x p    t 
T  t   T m   Ti  T m  exp    t 
T m  40
Ti  60
  1/ 4
B  y  dy  A  x  dx  0
S o lu ció n g e n e ra l:
 B  y  dy   A  x  dx  c
d o n d e c e s u n a co n sta n te a rb itra ria
 y
y 
 f  
dx
 x 
dy
 y
 f  
dx
 x 
dy
y 
z 
y
dy
y  zx
x
 z x
dx
dz
dx

z x
dz
 f
dx
dz
z
f
z 

z
dx
x

dz
 f z  z


x  c ex p  
 f


dx
x
 ln x  ln c  ln  x / c 


z  z 
dz
 y

 sin  
dx
x
 x
dy
z 
y
y
y  zx
x
z x
dy
dx
dz
 z  sin z
dx

dz  dx
x
sin z
 z x
dz
dx
 y
  sin  
dx
x
 x
dy
y
dz
 sin z
dz
 sin z
m ás
z
y
dz

x
sin z
 ln  csc  z   co t  z  
dx



dx
x
dx
x

 ln x
x
ln  csc  z   co t  z    ln x  ln c  ln  cx 
cx  csc  z   co t  z 



cx  csc y / x  co t y / x

dx
 sin x  
dx
2 sin
x
co s
2
sin

2
x
co s
2 sin
x
2
co s
x
2


2
dx
2

x

2

2 x
2
sin

co
s

2

x
2 sin co s
2
x
dx
2

2 sin
x
2
x
x


  ln  co s   ln  sin 
2
2


co s
x
2

1
2
sin

x
 dx
2
x
2
x
dx
2
co s
x
2

1
2
co s

x
dx
2
sin
x
2
y 
dy
dx
 f
 ax  by 
y 
dy
dx
z  ax  by

a
b


1 dz
b dx
y 
 f z
 f
 ax  by 
z  ax
dy
b
dx

dz
f z  a / b
dz
  dx  x  c
f z a / b
a

b
 bdx
1 dz
b dx
y 
dy
 f
dx
y 
dy
dx
 ax  by 
 2x  y
y 
dy
 2x  y
dx
z  2x  y
y  z  2x
dy
dx
2 
dz
dz
 z
z  2
dx

dz
z  2

 dx 
 2 
dz
dx
 dx
x  ln c
 z  2
ln  z  2   ln c  ln 
 x
 c 
2 x  y  2  c ex p  x 
y  x   c ex p  x   2 x  2
z  2  c ex p  x 
dy
 2x  y
dx
dy
dx
y  x   c exp  x   2 x  2
 c ex p  x   2 
 c exp  x   2  2 x  2 x 
 y  2x
y 
dy
 f
dx
y 
dy
dx

 ax  by 
1
x y
1
y 
dy

dx
z  x y
1
x y
1
dy
y  x z
1
dx
1
dz

dx

1
 zd z  d x
z
  zd z 
1
1
 dx 
xc
z  xc
2
2
x  y

1
2
2
 c  2x
x  y
2
 xc
dz
dx
y 
dy
dx
 f
 x, y 
e s h o m o g e n e a si
f  x ,  y   f
 x, y 
y 
dy
 f
dx
S u s titu ir
 x, y  es
y  vx
h o m o g e n e a si f  x ,  y   f
con
dy
dx
v x
 x, y 
dv
dx
L a e c u a c ió n re s u lta n te , e n v y x , e s s e p a ra b le
v x
dv
 f
dx
d
f  1,
 
 x , x  

dx
x
f  1,

dy
dx

y x
yx
Es hom ogenea:
f  x, y  
f
y x
yx
 y    x 
 x ,  y  
 y    x 

  y  x
  y  x

yx
yx
 f  x, y 
dy

dx
y  vx
v  x
dv
dx
y  x
y  x
dy

 v  x
dx

x  x
x  x

x   1 
x   1 
d
v


1
v x

dx  1
dv
dx

 1
 1
dy

dx
x
dv
dx
dx
x

yx
yx

 1
 1
y  vx
con

vx
dv
dx
  1  
2
 
 1
1  2  
2
d
 1


 1
 1
1  2  
 1
2
dx

x

dx
x

 1
 1  2
ln x  ln c  

1
2
x/c  
2
 1
1  2  
d
ln  1  2  
1
1  2  
d
2

2
x2  2x y  y2  c2
x
2
c
2
2

1  2  
2

2
2
x 
y
y 
 1  2 1  2  2   1
c 
x
x 
dy
dx
x
2

y  x
y  x
 2 xy  y
2
 c
dy
dx
x  y
3
x  y
3
3

3
Es hom ogenea:
f  x, y  
x  y
3
x  y
3
3
3
 x    y 
3
 x 
3
3
f  x ,  y  
3
  y 
x  y
3
x  y
3
3

3
 f  x, y 
x  y
3
x  y
3
3
dy

dx
3
f  x ,  y  
dy
y  vx
v x
dx
v x
dv

x v x
3
x v x
3
3
3
3
1 v


 v
3
x
1 v

3
dx
1 v
3
1
3
v  v  v 1
4
3
x  y
3
x  y
3
3

3
 f  x, y 
dv
dx
3
dx

 x    y 
3
3

x


y
   
3
dv

1 v
3
1 v
3
 v  v  v 1
dv  

3
1 v


4
3
1
dv
dx

x

dx
1 v
3
v  v  v 1
4
3
dv
 ln x
x
v
1 v
4
 v  v 1
3
ln  v  v  v  1 
4
3
dv  
3
4
2
 2 7v3
2 7v
2v 7
7

arctan 




14
7
7
7 
 7
3 7
  2 v  1

arctan 
14
7

3 7
7


•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
L a e c u a c ió n
N
 x, y  dy
 M
 x, y  dx
e s e xa c ta s i y s ó lo s i
M
 x, y 
y

N
 x, y 
x
 0
R e so lv e r
g  x, y 
x
 M  x, y 
y
g  x , y 
L a so lu ció n a
N  x , y  dy  M  x , y  dx  0
e stá d a d a im p licita m e n te p o r
g  x, y   c
d o n d e c e s u n a co n sta n te a rb itra ria
y
 N  x, y 
g  x, y  : R
dg 
g
x
2
 R
dx 
g
y
dy
  g 
  g 

 


y  x 
x  y 
Ejemplo
R esolver la ecuación diferencial
ordinaria de prim er orden
ydx  xdy  0
L a e c u a c ió n
N
 x, y  dy
 M
 x, y  dx
 0
e s e xa c ta s i y s ó lo s i
M
 x, y 
y

N
 x, y 
x
yd x  xd y  0
L a e c u a c ió n
N
 x, y  dy
 M
 x, y  dx
 0
yd x  xd y  0
e s e xa c ta s i y s ó lo s i
M
 x, y 
y

N
 x, y 
x
y
y
1
x
x
¡S í e s e xa c ta !
L a e c u a c ió n
N
 x, y  dy
 M
 x, y  dx
e s e xa c ta s i y s ó lo s i
M
 x, y 
y
g
x
g
y

N
 y
 x
 x, y 
x
 0
yd x  xd y  0
L a e c u a c ió n
N
 x, y  dy
 M
 x, y  dx
yd x  xd y  0
 0
e s e xa c ta s i y s ó lo s i
M
 x, y 
y

N
g
x
g
y
 x, y 
x
 y
 x


g  x , y   yx  c1  y 
x
dc1
dy
g  x , y   yx  c  c 

yx  cte
 x

c1  c
L a e c u a c ió n
N  x, y  dy  M
 x, y  dx
 0
N O e s e xa c ta , p e ro
I  x , y   N  x , y  d y  M
Sí
 x , y  d x 
 0
I  x , y   N  x , y  dy  M  x , y  dx   0
L a fu n ció n I  x , y  e s e l lla m a d o "fa cto r in te g r a n te "
1 . H a y té cn ica s p a ra sa b e r si e xiste
2 . E n o ca sio n e s e s p o sib le "v e rlo "
N  x, y  dy  M
 x, y  dx
 0
1  M
N 


   x
N  y
x 
I  x , y   exp
    x  dx 
Ejemplo
N  x, y  dy  M
 x, y  dx
 0
1  N
M 


    y
M  y
x 
I  x , y   exp
    y  dy 
Ejemplo
N  x, y  dy  M
M
 x , y   y  xy 
I  x, y  
 x, y  dx
 0
N  x , y   x   xy 
1
xM  yN
Ejemplo
N  x, y  dy  M
aM 
M
y

 x, y  dx
N
x
N
I  x, y   e
ay
 0
ex p

x
    x  dx 
Ejemplo
P roblem a 1. 2:30 m inutos.
R esuelve el sistem a de ecuaciones
2x  y  3
6 x - 2 y  -1
P ro b lem a 2 . 6 :0 0 m in u to s.
L o s p ro p ietario s d e u n cen tro co m ercial en el q u e
el 7 0 % d el área se em p leab a p ara estacio n am ien to
d e co ch es co m p raro n u n terren o ad yacen te ,
d ed ican d o 8 5 % d el m ism o a estacio n am ien to y
el resto a ed ificio s. E l área así au m en t ad a alcan zo
3 0 ,0 0 0 m etro s cu ad rad o s, 7 5 % d e la cu al se d estin ó
a estacio n am ien to . D eterm ín ese el área o rig in al
d el cen tro co m ercial y el área co m p rad a.
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
dy
dx
 px y  0
U n a e cu a ció n e s lin e a l cu a n d o
la co m b in a ció n lin e a l d e so lu cio n e s
e s so lu ció n .
S i y1 y y 2 so n so lu cio n e s, ay1  by 2 ,
ta m b ié n e s so lu ció n .
L a e cu a ció n
dy
dx
 px y  0
e s lin e a l
Si y1 y y 2 son soluciones, ay1  by 2 , tam bién es solu ción.
d
dx
 ay1  by 2   p  x   ay1  by 2  
a
dy1
dx
b
dy 2
dx
 ap  x  y1  bp  x  y 2 
 dy1

 dy 2

 a
 p  x  y1   b 
 p  x  y2  
 dx

 dx

 a0b0  0
Si y1 y y 2 son soluciones, ay1  by 2 , tam bién es solu ción.
dy
 y 0
2
dx
d
dx
 a y1  b y 2    a y1  b y 2 
 a
d y1
dx
b
dy2
dx
2

 a y  b y  2 a b y1 y 2
2
2
1
2
2
2
O b v ia m e n te N O e s lin e a l
y ´ p  x  y  0
dy
dx
dy
y
  px y
  p  x  dx
y ´ p  x  y  0

dy
y
   p  x  dx
ln y    p  x  dx

y  x   c exp   p  x  dx

Ejemplo
40000
n  t   1000 e
ln 6
t
100
30000
20000
10000
50
100
150
200
dy
dx
 px y  qx
dy
 px y  qx
dx
d
dx
 ay1  by 2   p  x   ay1  by 2  
a
dy1
dx
b
dy 2
dx
 ap  x  y1  bp  x  y 2 
 dy1

 dy 2

 a
 p  x  y1   b 
 p  x  y2  
 dx

 dx

 a  qx  b  qx
dy
dx
 px y  qx
S e re su e lv e p rim e ro la h o m o g e n e a a so cia d a
dy h
dx
 p  x  yh  0


y h  x   c exp   p  x  dx

dy
dx
 px y  qx
S e p ro p o n e co m o so lu ció n p a ra la in h o m o g e n e a

y  x   c  x  exp   p  x  dx

e s d e cir, la h o m o g e n e a , p e ro h a cie n d o q u e
c p a se d e u n a co n sta n te a u n a fu n ció n d e x
dy
dx
 px y  qx
D e b e m o s a h o ra su stitu ir la p ro p u e sta e n la
e cu a ció n o rig in a l.
P rim e ro v e m o s q u e
dy
dx

dc  x 
dx



exp   p  x  dx  p  x  c  x  exp   p  x  dx

dy
dx
 px y  qx
S u s titu ye n d o
dc  x 
dx



ex p   p  x  d x  p  x  c  x  ex p   p  x  d x


 p  x  c  x  ex p   p  x  d x  q  x 

dy
dx
dc  x 
dx

exp   p  x  dx
 px y  qx





 p  x  c  x  exp   p  x  dx  p  x  c  x  exp   p  x  dx  q  x 
queda
dc  x 
dx


exp   p  x  dx  q  x 
dy
dx
dc  x 
dx

 px y  qx

ex p   p  x  d x  q  x 
E s ta e c u a c ió n s e in te g ra fa c ilm e n te

dc  x 
dx
cx 
dx 
 q  x  ex p   p  x   d x   d x
 q  x  ex p   p  x   d x   d x  c
dy
dx
cx 
 px y  qx
 q  x  exp   p  x   dx   dx  c
R e g re sa n d o a la so lu ció n p ro p u e sta
yx 



q
x
exp



  p  x   dx   dx

 c  exp

   p  x  dx 
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2
•Ejemplo 3
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
dy
dx
 px y  0
y ´ p  x  y  0

dy
y
   p  x  dx
ln y    p  x  dx

y  x   c exp   p  x  dx

dy
dx
 px y  qx
dy
dx
 px y  qx
S e re su e lv e p rim e ro la h o m o g e n e a a so cia d a
dy h
dx
 p  x  yh  0


y h  x   c exp   p  x  dx

dy
dx
 px y  qx
S e p ro p o n e co m o so lu ció n p a ra la in h o m o g e n e a

y  x   c  x  exp   p  x  dx

e s d e cir, la h o m o g e n e a , p e ro h a cie n d o q u e
c p a se d e u n a co n sta n te a u n a fu n ció n d e x
dy
dx
 px y  qx
D e b e m o s a h o ra su stitu ir la p ro p u e sta e n la
e cu a ció n o rig in a l.
P rim e ro v e m o s q u e
dy
dx

dc  x 
dx



exp   p  x  dx  p  x  c  x  exp   p  x  dx

dy
dx
 px y  qx
S u s titu ye n d o
dc  x 
dx



ex p   p  x  d x  p  x  c  x  ex p   p  x  d x


 p  x  c  x  ex p   p  x  d x  q  x 

dy
dx
dc  x 
dx

exp   p  x  dx
 px y  qx





 p  x  c  x  exp   p  x  dx  p  x  c  x  exp   p  x  dx  q  x 
queda
dc  x 
dx


exp   p  x  dx  q  x 
dy
dx
dc  x 
dx

 px y  qx

ex p   p  x  d x  q  x 
E s ta e c u a c ió n s e in te g ra fa c ilm e n te

dc  x 
dx
cx 
dx 
 q  x  ex p   p  x   d x   d x
 q  x  ex p   p  x   d x   d x  c
dy
dx
cx 
 px y  qx
 q  x  exp   p  x   dx   dx  c
R e g re sa n d o a la so lu ció n p ro p u e sta
yx 



q
x
exp



  p  x   dx   dx

 c  exp

   p  x  dx 
y  p  x  y  q  x  y
C u a n d o n  0 ó 1 e s lin e a l
n
y  p  x  y  q  x  y
1
z 
y
 y
n 1
n
1 n

dz
dy

1  n 
y
n
ó
dy
dz

y
n
1 n
y  p  x  y  q  x  y
dy

dx
y
dy dz
dz dx
n
dz
1  n dx
n
1
z 
y

y
n
n 1
dy

dz
dz
1  n dx
 px y  qx y
n
y
n
1 n
y  p  x  y  q  x  y
n
n
D iv id ie n d o e n tre y :
y

n
1  n dx
1
dz
1  n dx
C a m b ia n d o a la v a ria b le z :
dz
dx
dz
 1  n  p  x  z  1  n  q  x 
 px y  qx y
 px y
1
dz
1  n dx
1 n
n
 qx
 px z  qx
y  p  x  y  q  x  y
n

C a m b io d e v a ria b le :
1
z 
y
n 1
da
d z  1  n  p x z  1  n  q x



  





dx 
q u e e s lin e a l d e p rim e r o rd e n
Ejemplo
6
6  3 x  6 x  4 x  x
2
3
4
0.2
0.1
10
5
5
0.1
10
U n a g o ta d e ag u a esférica p ierd e su
vo lu m en p o r evap o ració n a u n a
razo n p ro p o rcio n al a el área d e su
su p erficie. E n cu en tra el rad io d e la
g o ta co m o fu n ció n d el tiem p o en
térm in o s d e la co n stan te d e
p ro p o rcio n alid ad y d el rad io in icial.
S o lu ció n :
S i d en o tam o s co m o
r (t )
a el rad io d e la g o ta d e ag u a,
su vo lu m en está d ad o co m o
4
3
V (t )   r (t )
3
y el área d e su su p erficie co m o
A (t )  4 r (t )
2
S i llam am o s
k
a la co n stan te d e p ro p o rcio n alid ad ,
ten em o s la ecu ació n d iferen cial
d 4
3
2
(  r )   k (4  r )
dt 3
q u e al efectu ar las d erivad as q u ed a co m o
dr
2
4 r
  4  kr
dt
2
y can celan d o térm in o s
dr
 k
dt
S e trata d e u n a ecu ació n d iferen cial d e
p rim er o rd en lin eal d e variab les
sep arab les q u e se in teg ra co m o
r ( t )   k t  r0
donde
r0
es el rad io in icial d e la g o ta d e ag u a.
n
d y
dx
n
n 1
n2
d y d

y
dy
 f 
,
,...,
, y, x 
n 1
n2
dx
dx
 dx

n 1
n2
d y d y d

y
dy
F
,
,
,...,
, y, x   0
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e la fu n c ió n b u s c a d a y , y s u s
d e riv a d a s h a s ta e l o rd e n k  1 in c lu s iv e :
k
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,x  0
n
n 1
n2
k
dx
dx
dx
 dx

S e h a c e e l c a m b io d e v a ria b le
k
p 
d y
dx
k
y e n to n c e s q u e d a
 d n  k p d n  k 1 p d n  k  2 p

dp
F
,
,
, ...,
, p, x   0
nk
n  k 1
nk 2
dx
dx
dx
 dx

q u e e s d e o rd e n n  k
•Ejemplo
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e a la v a ria b le in d e p e n d ie n te x
1
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,y  0
n
n 1
n2
1
dx
dx
dx
 dx

S e h a c e e l c a m b io d e v a ria b le
p y 
dy
dx
E n to n c e s q u e d a
2
d y
dx
2

d
dx
p 
dp dy
dy dx
 p
dp
dy
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e a la v a ria b le in d e p e n d ie n te x
1
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,y  0
n
n 1
n2
1
dx
dx
dx
 dx

dy
2
d y
 p
dx
3
d y
dx
3
 p
 p
dy
d  dp 
d  dp  dy
d  dp 


 p

 p

 p
p
dx  dy 
dy  dy  dx
dy  dy 
2
2
dx
2
dp
d p
dy
2
 dp 
 p

d
y


2
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e a la v a ria b le in d e p e n d ie n te x
1
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,y  0
n
n 1
n2
1
dx
dx
dx
 dx

dy
2
 p
dx
3
d y
dx
3
dx
2
 p
2
d y
d p
dy
2
 dp 
 p

 dy 
2
 p
dp
dy
2
E l o rd e n d e la e cu a ció n se re d u ce e n 1
•Ejemplo1
•Ejemplo 2
•Ejemplo1
•Ejemplo 2
n
d y
dx
n
n 1
n2
d y d

y
dy
 f 
,
,...,
, y, x 
n 1
n2
dx
dx
 dx

n 1
n2
d y d y d

y
dy
F
,
,
,...,
, y, x   0
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e la fu n c ió n b u s c a d a y , y s u s
d e riv a d a s h a s ta e l o rd e n k  1 in c lu s iv e :
k
 d n y d n 1 y d n  2 y

d y
F
,
,
, ...,
,x  0
n
n 1
n2
k
dx
dx
dx
 dx

S e h a c e e l c a m b io d e v a ria b le
k
p 
d y
dx
k
y e n to n c e s q u e d a
 d n  k p d n  k 1 p d n  k  2 p

dp
F
,
,
, ...,
, p, x   0
nk
n  k 1
nk 2
dx
dx
dx
 dx

q u e e s d e o rd e n n  k
L a e cu a ció n n o co n tie n e a la
v a ria b le in d e p e n d ie n te x
n 1
n2
d y d y d

y
d y
F
,
,
,
...,
,
y

0

n
n 1
n2
1
dx
dx
dx
 dx

n
1
S e h a ce e l ca m b io d e v a ria b le p  y  
dy
dx
E l p rim e r m ie m b ro d e la e cu a ció n
n 1
n2
d y d

y d
y
dy
F
,
,
, ...,
, y, x   0
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
e s la d e riv a d a d e u n a e xp re sió n d ife re n c ia l
n 1
n2
d

y d
y
dy

,
, ...,
, y, x 
n 1
n2
dx
dx
 dx

d e o rd e n n  1.
E n e s te c a s o e s c rib im o s
n 1
n2
d

y d
y
dy

,
, ...,
, y, x   0
n 1
n2
dx  dx
dx
dx

d
y
n 1
n2
d

y d
y
dy

,
, ...,
, y, x   c
n 1
n2
dx
dx
 dx

Ejemplo
R esolver
yy '' ( y ')  0
2
reduciendo el orden.
yy '' ( y ')  0
2
F e s h o m o g e n e a e n y y s u s d e riv a d a s
n 1
n2
d y d

y d
y
dy
F
,
,
, ...,
, y, x   0
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
e s d e c ir,
n 1
n2
 d y

d
y
d
y
dy
F k
,k
,k
, ..., k
, ky , x  
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

n
n
n 1
n2


d y d
y d
y
dy

 k F
,
,
, ...,
, y, x 
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

F
e s h o m o g e n e a e n y y su s d e riv a d a s
H a c ie n d o
dy
 z ex p
dx
2
d y
dx
2
3
d y
dx
3
y  ex p
  zd x 
  zd x 
 2 dz 
z 
 ex p
dx 

  zd x 
2
 3
dz
d z
  z  3z

2
d
x
d
x


 ex p

  zd x 
..........
k
d y
dx
k

 z , z´, z´´, ..., z
( k  1)
 ex p   zd x 
F
e s h o m o g e n e a e n y y su s d e riv a d a s
 d n y d n 1 y d n  2 y

dy
F
,
,
, ...,
, y, x   0
n
n 1
n2
dx
dx
dx
 dx

  zd x  F  x , z , z´, ..., z
ex p 

F x , z , z ´, ..., z
 n  1
0
 n  1
0


Ejemplo
yy '' ( y ')  6 xy
2
2
yy '' ( y ')  6 xy
2
2
yy '' ( y ')  6 xy
2
2
yy '' ( y ')  6 xy
2
2
U n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o r d e n n e s lin e a l
si e s d e la fo rm a
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
d yx
( n  1)
n
bn  x 
dx
 bn  1  x 
d yx
i
n
 b x
i
i0
n
dx
i
 g x
d
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
n 1
dx
yx
n 1
d yx
1
 ...  b1  x 
dx
1
 b0  x  y  x   g  x 
S i g  x  y b j  x  , j  0,1, 2,..., n , so n co n tin u a s e n u n
in te rv a lo I q u e co n tie n e a x 0 y si b n  x   0 e n I ,
e n to n ce s e l p ro b le m a d e v a lo re s in icia le s
y  x 0   c 0 , y   x 0   c1 , y   x 0   c 2 ...., y
 n  1
 x 0   c n 1
d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
tie n e u n a ú n ica so lu ció n e n I .
E c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
1 ) S i g  x   0 e n to n ce s la e cu a ció n e s h o m o g e n e a ,
si n o e s in h o m o g e n e a
2 ) S i T O D O S lo s b j  x  so n co n sta n te s se d ice q u e
tie n e co e ficie n te s co n sta n te s, sin o se d ice q u e lo s
co e ficie n te s so n v a ria b le s
S i b n  x   0 e n u n in te rv a lo I , p o d e m o s e scrib ir
y ( n )  a n 1  x  y ( n 1)  ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
donde
aj x 
bj x
bn  x 
 j  0,1, 2,..., n  1 
y
 x 
g x
bn  x 
D e fin im o s a h o ra e l o p e ra d o r
n
n 1
1
d
d
d
ˆ
L 
 a n 1  x 
 ...  a1  x  1  a 0  x 
n
n 1
dx
dx
dx
d e ta l m a n e ra q u e
(n)
( n  1)
Lˆ  y   y  a n  1  x  y
 ...  a1  x  y   a 0  x  y
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l la e scrib im o s e n to n ce s co m o
Lˆ  y     x 
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
hom ogenea
Lˆ  y   0
sie m p re tie n e n so lu cio n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s.
S i y1  x  , y 2  x  ,..., y n  x  re p re se n ta n d ich a s so lu cio n e s,
e n to n ce s la so lu ció n g e n e ra l d e Lˆ  y   0 e s
y  x   c1 y1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x 
d o n d e c1 , c 2 ,..., c n re p re se n ta n co n sta n te s a rb itra ria s
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
h
donde
y h  x  e s la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , y
y p  x  e s cu a lq u ie r so lu ció n p a r ticu la r d e la e cu a ció n .
L a s o lu c ió n g e n e ra l d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x  e s y  x   y h  x   y p  x 
Lˆ  y   Lˆ  y h  x   y p  x   
 Lˆ  y h  x    Lˆ  y p  x    0    x  
  x
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
S i se p ro p o n e u n a so lu cio n
y  x   exp   x 
se tie n e
 exp   x   a n  1
n
n 1
exp   x   ...  a1 exp   x   a 0 exp   x   0
E lim in a n d o la e xp o n e n cia l
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S i   e s ra iz d e e sta e cu a ció n , exp    x  e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
A la e cu a ció n
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
se l e lla m a E cu a ció n ca ra cte r í stica .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 ,...,  n la s n ra ice s d e la e cu a ció n
ca ra cte rística
S i to d a s so n d istin ta s , la so lu ció n g e n e ra l e s
y  x   c1 exp  1 x   c 2 exp   2 x   ...  c n exp   n x 
sie n d o c1 , c 2 ,..., c n co n sta n te s a rb itra ria s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n
c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e lla
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
Ejemplos:
1
2
3
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
donde
h
yh  x  es
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a c ió n
h o m o g e n e a a so cia d a , y y p  x  e s cu a lq u ie r so lu ció n
p a rticu la r d e la e cu a ció n .
Ejemplos:
1
2
3
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
y '' 2 y ' y   2
y '' 2 y ' y   2
y '' 2 y ' y   2
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  Pm  x 
s ie n d o Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m
1 . E l 0 n o e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c t e rís tic a .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
Pm  x 
2 . E l 0 e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a d e
m u ltip lic id a d s .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
x Pm  x 
s
Ejemplo
7 y '' y '  1 4 x
7 y '' y '  1 4 x
7 y '' y '  1 4 x
7 y '' y '  1 4 x
7 y '' y '  1 4 x
7 y '' y '  1 4 x
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  e
x
Pm  x 
c o n  re a l y Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m .
1 . E l n ú m e ro  n o e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
e
x
Pm  x 
2 . E l n ú m e ro  e s r a íz d e la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a d e
m u ltip lic id a d s .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
s
x e
x
Pm  x 
Ejemplo
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(3)
 3y
(2)
 3y
(1)
 y   x  5  exp   x 
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x
sie n d o Pn  x  y Q m  x  p o lin o m io s d e g ra d o n y m re sp e ctiv a m e n te .
S e a k  m ax  n , m 
1 . L o s n ú m e ro s  i  n o so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x
2 . L o s n ú m e ro s  i  so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística
d e m u ltip licid a d s .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
s
x  Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
Ejemplo
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(2)
 y  x sin x
2
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  e
x
 Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x 
sie n d o Pn  x  y Q m  x  p o lin o m io s d e g ra d o n y m re sp e ctiv a m e n te .
S e a k  m ax  n , m 
1 . L o s n ú m e ro s   i  n o so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
e
x
 Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
2 . L o s n ú m e ro s   i  so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística
d e m u ltip licid a d s.
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
s
x e
x
 Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
Ejemplo 1
Ejemplo 2
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y
 a n 1 y
(n)
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
Si
 x 
l
  f x
i
i
i 1
d o n d e ca d a f i  x  e s d e la fo rm a
e
x
 Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x 
L a so lu ció n p a rticu la r se d e b e b u sca r d e la fo rm a
l

i
yi, p
i 1
d o n d e ca d a y i , p e s d e la fo rm a
e
x
x  Pk  x  c os  x  Q k  x  sin  x 
s
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
y
(n)
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a e s
yx  y x y p x
h
donde
y h  x  e s la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , y
y p  x  e s cu a lq u ie r so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
S i co n o ce m o s
yh  x 
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , d e b e m o s a h o ra e stu d ia r m é to d o s
p a ra e n co n tra r,
y p  x ,
cu a lq u ie r so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
P ro p o n e m o s
y p  x   v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
d o n d e yi  yi  x 
 i  1, 2 , 3 , ... 
s o n la s
s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s
d e la e c u a c ió n h o m o g e n e a a s o c ia d a y
vi  vi  x 
 i  1, 2, 3,.. . 
s o n fu n c io n e s d e x p o r d e te rm in a r.
A h o ra
dy p
dx
 v1 y1  v1 y1  v 2 y 2  v 2 y 2  ...  v n y n  v n y n
 v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0,
dy p
dx
 v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n

A h o ra
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
A h o ra
3
d yp
dx
3
 v1 y1 v 2 y 2 ...  v n y n v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
3
d yp
dx
3
 v1 y1 v 2 y 2 ...  v n y n
A h o ra
d
n 1
dx
yp
n 1
 v1
d
n 1
dx
y1
n 1
 v2
d
n 1
dx
y2
n 1
 ...  v n
d
n 1
dx
co n la co n d ició n
v1
d
n2
dx
y1
n2
 v 2
d
n2
dx
y2
n2
 ...  v n 
d
n2
dx
yn
n2
0
yn
n 1
A h o ra
n
d yp
dx
n
n
 v1
d y1
dx
n
n
 v2
d y2
dx
n
n
 ...  v n
d yn
dx
n

co n la co n d ició n
v1
d
n 1
dx
y1
n 1
 v 2
d
n 1
dx
y2
n 1
 ...  v n 
d
n 1
dx
yn
n 1

E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
y
(n)
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
D e m a n e ra m á s co n cisa y p rá ctica , la p o d e m o s
e scrib ir co m o
y
(n)
n 1
  ajy
j0
 j

E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
y
(n)
n 1
  ajy
 j

j0
C o n d icio n e s im p u e sta s a la s v i n o s d a n
y
(n)
n

v y
i
n
i
i 1
y
 j
n

v y
i
i 1
 j
i

S u s titu ye n d o e n
y
(n)
n 1
  ajy
 j

j0
nos da
n
vy
i
n
i
n 1
 
i 1
n


i 1
 n
vi  y i 

n
a vy
i
j
 j 
n 1
j0
i
i 1
j0
a

j
j
yi   

n
n
  vi y i
i 1
n
n 1
 j
  vi  a j y i
i 1
j0

  j
 vi  y i 
i 1

n
 j 
n 1
a
j0
j
yi   

p e ro
n
yi
n 1

a
 j
j
yi
0
p a ra to d o i
j0
ya q u e la s y i so n so lu cio n e s d e la
e cu a ció n h o m o g e n e a
A sí q u e
 
S i s e s a tis fa c e q u e
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y 
 0
n
.
.
.
n  2
v1 y1
 n  1
v1 y1
n  2
 v 2 y 2
 n  1
 v 2 y 2
n  2
 ...  v n y n
 n  1
 ...  v n y n
 0

e n to n ce s
y p  v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n
e s u n a so lu ció n p a rticu la r d e la
e cu a ció n n o h o m o g e n e a
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
v1 y1  v 2 y 2  ...  v n y n  0
.
.
.
n  2
v1 y1
 n  1
v1 y1
n  2
 v 2 y 2
 n  1
 v 2 y 2
n  2
 ...  v n y n
 n  1
 ...  v n y n
0

e s u n siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s
p a ra la s v i 
 i  1, 2, 3,..., n 
In tro d u cim o s la m a triz
W  v1 , v 2 ,..., v n 
 y1

 y1

.

 .

 .
 y  n  1
 1
...
...
...
yn 

y n 

.

. 

. 
 n  1 
yn

y e l siste m a d e e cu a cio n e s se e scrib e
 y1

 y1

.

 .

.

 y  n  1
 1
...
...
...
y n   v1   0 
   
y n    v 2   0 
   . 
.
.





.  .   . 
   
.
.  . 


  
 n  1  


yn

v
 n   
H a y q u e re so lv e r e l siste m a d e
e cu a cio n e s sim u lta n e a s lin e a le s,
y d e sp u é s in te g ra r ca d a u n a d e
la s v i  i  1, 2, 3,..., n  d e sp re cia n d o
la s co n sta n te s d e in te g ra ció n , ya
q u e só lo n o s in te re sa u n a so lu ció n
p a rticu la r.
D e b e m o s, p o r ta n to , p re g u n ta rn o s:
1 . ¿ T ie n e so lu ció n e l siste m a d e
e cu a cio n e s lin e a le s im p u e sto co m o
co n d ició n ?
2 . U n a v e z e n co n tra d a la so lu ció n ,
¿ e s p o sib le h a ce r la in te g ra ció n d e
ca d a u n a d e la s v i  i  1, 2 ,..., n  ?
E l siste m a d e e cu a cio n e s
 y1

 y1

.

 .

.

 y  n  1
 1
...
...
...
y n   v1   0 


 



0
y n  v 2
 



.
.
.



 
.  .   . 


.  .   . 





 n  1  




yn

  vn 
tie n e so lu ció n ú n ica , si y só lo si,
e l d e te rm in a n te
W  v1 , v 2 ,..., v n 
 y1

 y1

.
 det 
 .

.

 y  n  1
 1
e s d ife re n te d e ce ro .
...
...
...
yn 

y n 

.

. 

. 
 n  1 
yn

E l d e te rm in a n te
y1
...
yn
y1
...
y n
.
.
.
.
.
.
 n  1
y1
...
 n  1
yn
s e lla m a e l W R O N S K IA N O d e la s n
fu n c io n e s y i  i  1, 2, ..., n 
S e a n y1 , y 2 , ..., y n , n s o lu c io n e s d e la
e c u a c ió n lin e a l h o m o g e n e a L  y   0,
e n u n in te rv a lo I .
E s ta s s o n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s ,
s i y s ó lo s i,
W
 y1 , y 2 , ..., y n  
p a ra to d a x  I
0
P o r ta n to , la re sp u e sta a la p re g u n ta 1
e s a firm a tiv a : E xiste u n a so lu ció n ú n ica
a l siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s
L a p re g u n ta 2 n o p u e d e se r re sp o n d id a
d e m a n e ra g e n e ra l, e n o ca sio n e s se rá
p o sib le in te g ra r y e n o tra s n o
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
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•Problema de valores iníciales y de valores a la frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
R e su e lv e la e cu a ció n
d ife re n cia l o rd in a ria d e te rce r o rd e n lin e a l
co n co e ficie n te s v a ria b le s n o h o m o g é n e a
x ³ y '''- 3 x ² y '' 6 xy '- 6 y  x e sin x
4
x
x ³ y '''- 3 x ² y '' 6 xy '- 6 y  x e sin x
4
x
P a so 0 . P o n e rla e n la fo rm a e sta n d a r
x³
y ''' 3
x³
y '''
x²
y '' 6
x³
3
x
y ''
x
x³
6
x
2
y '
6
x³
y '
6
y 
x³
x
4
x³
y  xe sin x
x
x
e sin x
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
P a so 1 . R e so lv e r la e cu a ció n
h o m o g é n e a a so cia d a
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
x³
y 0
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y 0
x³
E n e ste ca so e s fá cil "v e r" u n a
d e la s so lu cio n e s p a rticu la re s,
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y 0
x³
E n e ste ca so e s fá cil "v e r" u n a
d e la s so lu cio n e s p a rticu la re s,
y1  x   x
y '''
3
6
y ''
x
3 d
2
x
d
3
dx
x



3
0
3
x
6
x
2

x dx
0 
6
x
2
y '
2
6
x
0
6
y 0
y1  x   x
6 d
6
x³
x



2
1



2
2
x dx
6
x
2

x 
x
x



3
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
x³
y 0
y1  x   x
C o n o cie n d o u n a so lu ció n , y1  x   x
p o d e m o s d e te rm in a r la s o tra s
h a cie n d o e l ca m b io d e v a ria b le
y h  zy1  zx
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  0,
x³
y1  x   x
y h  xz
dyh
dx
dyh
dx

d
dx
 xz  
 z x
dz
dx
dx
dx
z
dz
dx
x  z x
dz
dx
3
y '''
y ''
x
2
d yh
dx
2
6
x
2
y '
6
y  0,
x³
y1  x   x ,
d 
dz 
dz
d  dz 


z x

x

dx 
dx 
dx
dx  dx 
d  dz 


 x


dx
dx dx
dx  dx 
dz
 2
dx dz
dz
2
 x
dx
2
d yh
dx
2
y h  xz
 2
d z
dx
dz
dx
2
2
 x
d z
dx
2
3
y '''
y ''
x
3
d yh
dx
3
6
x
2
y '
6
y  0,
x³
y1  x   x ,
2
2
2
d  d z
d z
d z
d  dz


 2
 x

x
2
2 
2
2 
dx  dx 
dx
dx 
dx  d x
2

d d z
dx d z
d z
 x

 2

2 
2
2
dx  dx 
dx dx
dx
2
2
3
2
3
d z
dx
2
 x
dx
3
d z
dx
3
3
2
3
d yh
y h  xz
3
d z
dx
2
 x
d z
dx
3
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
x³
dyh
 z  x
dx
d yh
2
 2
d yh
3
2
dz
 x
dx
3
dx
dz
dx
2
dx
y1  x   x ,
y  0,
d z
dx
2
 3
d z
dx
2
2
3
 x
d z
dx
3
y h  xz
y '''
3
y ''
x
6
x
y '
2
6
x³
2
3
y  0,
d z
2
y1  x   x ,
3
 x
d z
3
dx
dx
2
3  dz
d z 
 2
 x
2 
x  dx
dx 
6 
dz 
 2 z  x

x 
dx 
6

 xz 
x³
y h  xz
y '''
3
y ''
x
6
x
6
y '
2
y  0,
x³
y1  x   x ,
y h  xz
2

d z
d z 3
dz
d z 6 
dz  6
3 2  x 3  2
 x 2  2z x
 xz  

dx
dx
x  dx
dx  x 
dx  x ³
2
3
3
x
d z
dx
3
2
3
d z
dx
2
2
3
d z
dx
2

6 dz
x dx

6 dz
x dx

6z
x
2

6z
x
2
y '''
3
y ''
x
6
x
6
y '
2
y  0,
x³
y1  x   x ,
y h  xz
2

d z
d z 3
dz
d z 6 
dz  6
3 2  x 3  2
 x 2  2z x
 xz  

dx
dx
x  dx
dx  x 
dx  x ³
2
3
3
x
d z
dx
3
2
3
d z
dx
2
2
3
d z
dx
2

6 dz
x dx

6 dz
x dx

6z
x
2

6z
x
2
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  0,
x³
y1  x   x ,
3
x
d z
dx
3
 0
3
d z
dx
3
 0
y h  xz
3
y '''
6
y ''
x
x
2
y '
6
y  0,
x³
y1  x   x ,
y h  xz
3
d z
dx
3
 0
3
d z
 dx
3
2
dx 
dx
2
d z
 dx
dz
 dx
2
d z
dx 
dz
dx
dx  z 
2
 c3
 c3  d x  c3 x  c 2
  c3 x  c 2  d x 
1
2
c 3 x  c 2 x  c1
2
y '''
3
x
y ''
6
x
2
6
y '
zx 
y  0,
x³
1
2
y1  x   x ,
c 3 x  c 2 x  c1
2
y h  xz
yh  x  
1
2
c 3 x  c 2 x  c1 x
3
2
y h  xz
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  0
x³
L a s so lu cio n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s
d e la e cu a ció n h o m o g é n e a a so cia d a so n
 x, x
2
,x
yh  x  
3

1
2
c 3 x  c 2 x  c1 x
3
2
3
y '''
6
y ''
x
d
3
x  
2
dx
3
0
3
x

x
6
x

2 
12
x

3 d
2
x dx
6
x
6
x
2
2
y '
6
x³
x  
2
2
2x 
0
y 0
6
x
x 

dx
6 d
x

2
y1  x   x
2
6
x
3
2
x  
2
y '''
3
y ''
x
d
3
dx
x  
3
3
3
x
3 d
2
2
6
y '
x 
2
6
x
2
y 0
x³
3
x dx
6  6x 
x
6
x 

dx
6 d
x
2
3x   6 
6  18  18  6  0
2
y1  x   x
3
6
x
3
3
x  
3
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
P a so 2 . E n co n tra r u n a so lu ció n
p a rticu la r d e la e cu a ció n
no hom ogénea
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
P a so 2 . E n co n tra r u n a so lu ció n
p a rticu la r d e la e cu a ció n
no hom ogénea.
U sa re m o s e l m é to d o d e v a ria ció n
d e co n sta n te s o v a ria ció n d e p a rá m e tro s
y '''
3
y ''
x
yh  x  
6
x
1
2
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
c 3 x  c 2 x  c1 x
3
2

y  x   v 3  x  x  v 2  x  x  v1  x  x
3
2
y '''
3
y ''
x
x
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
dy
dx
6
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
3
2
2
3


  1  v1   x  v1   2 x  v 2   x  v 2   3 x  v 3   x  v 3
 v1  2 xv 2  3 x v 3  xv1  x v 2  x v 3
2
2
xv1  x v 2  x v 3  0
2
dy
dx
3
 v1  2 xv 2  3 x v 3
2
3
y '''
3
6
y ''
x
x
2
d y
dx
2

 v1 
v

dx
y '
2
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
6
y  xe sin x
x
x³
3
dy
dx
 v1  2 xv 2  3 x v 3
2
1
 2 xv 2  3 x v 3  
d 2x
d 3x
d
dx
2
v 2  2 xv 2 
2
dx
 v1  2 v 2  2 xv 2  6 xv 3  3 x v 3
2
 v1  2 xv 2  3 x v 3  2 v 2  6 xv 3
2

v3   3 x
2
 v
3
y '''
3
y ''
x
6
x
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
y '
2
6
y  xe sin x
x
x³
dy
3
dx
 v1  2 xv 2  3 x v 3
2
d y
dx
2
 v1  2 xv 2  3 x v 3  2 v 2  6 xv 3
2
2


v1  2 xv 2  3 x v 3  0
2
d y
dx
2
 2 v 2  6 xv 3
2
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
2
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
3
d y
dx
3

d
dx
 2v2
2 v 2  6 xv 3  
3
d y
dx
3
 6 v3  
3
d y
dx
2
 2 v 2  6 xv 3
 6 xv 3   2 v 2  6 xv 3  6 v 3
y '''
3
y ''
x
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
dy
2
 2 v 2  6 xv 3
3
d y
3
y  xe sin x
x
x³
2
3


x v1  x v 2  x v 3  0
2
v1  2 x v 2  3 x v 3  0
2
2
y '
6
3
 v1  2 xv 2  3 x v 3
d y
dx
x
2
dx
dx
6
 6 v3  
2 v 2  6 x v 3  
y '''
3
y ''
x
y  v1 x  v 2 x  v 3 x
2
dy
3
 v1  2 xv 2  3 x v 3
2
d y
2
 2 v 2  6 xv 3
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
 6 v3

d y
3
 6 v3  
3

6
x
2
6
x³


 2v2
x

3
dx
x
2
dx
dx
6
v

 6 xv 3 
 2 xv 2  3 x v 3 
2
1
 v1 x  v 2 x  v 3 x
2
3

y '''
3
y ''
x
6
x
2
 6 v3   

3
 2v2
x

6
x

2
v
 6 xv 3 
6

1
x
x³

x  v3 x
2
2
6
v 2  18 v 3
x
 2 xv 2  3 x v 3 
v xv

x³
y  xe sin x
6 v3  
2
1
y '
6
3


6 v1
x

2
6
x

2

12
x
v1 
6
x
v 2  18 v 3
v 2  6 v3
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
6 v3  

6
v 2  18 v 3
x

6 v1
x

2
6
x

2

12
x
v1 
6
x
v 2  18 v 3
v 2  6 v3
y '''
3
y ''
x
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
2
3


x v1  x v 2  x v 3  0
2


v1  2 x v 2  3 x v 3  0
2 v 2  6 x v 3  
x

1
0

x
2
2x
2
  v1
2 
3 x  v 2

6 x   v 3
x
3

0

 
 0

 

 

 
y '''
3
y ''
x
x

1
0

6
x
x
2
y  xe sin x
x
2
x
2
2x
2
x
x³
  v1
2 
3 x  v 2

6 x   v 3
2
2x
x

det  1
0

y '
6
3

0

 
 0

 

 

 

2 
3x   2x
6 x 
x
3
y '''
3
y ''
x
x

1
0

x
2
2x
2
6
x

2 
3x 
6x 

x
3
2
1
y '
6
y  xe sin x
x
x³
 3
 x

3

  2

x

1


3
 x
2
3
x

1
x
2
x 
2 


1


1


2x 
y '''
3
y ''
x
 3
 x
 v1 

3



v 2   2



x
 v 

 3
1


3
 x
6
x
y '
2
6
y  xe sin x
x
x³
2
3
x

1
x
2
x 
2  0



1
0




1


2x 





 








2

 
 

2x 
x
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
 x2 x
e s in x

 v1 
2



x
v 2    x e s in x



 v 
x
e s in x
 3


2









y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³

 x2 x
e sin x 

 v1 
2




x
    xe sin x  d x 
v
 2


v 
x
e sin x
 3


2


  x  1   co s x  sin x  x co s x  x sin x  
e 

 2  co s x  x co s x  x sin x 



4


x
s
co

x
sin


x
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
y p  x   v1  x  x  v 2  x  x  v 3  x  x
2
3
  x  1   cos x  sin x  x cos x  x sin x  
 v1 
x
e


 
v 
 2  cos x  x cos x  x sin x 


 2
4
v 


sin
x

cos
x
 3


yp  
xe
4
x
 cos x  sin x 
y '''
3
x
y ''
6
x
2
y '
6
y  xe sin x
x
x³
y  x   c1 x  c 2 x  c 3 x 
2
3
xe
4
x
 co s x  sin x 
Clase del jueves 4
de febrero del
2010 de 16:30 A
18:00
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
Ejemplos: 1, 2, 3
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 
e  sx y ( n )  e  sx a n 1 y ( n 1)  ...  e  sx a1 y   e  sx a 0 y  e  sx  x 
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 
e  sx y ( n )  e  sx a n 1 y ( n 1)  ...  e  sx a1 y   e  sx a 0 y  e  sx  x 

e
0
 sx
y
(n)




0
0
0
0
 x  dx   e  sx a n  1 y ( n  1)  x  dx  ...   e  s x a1 y   x  dx   e  sx a 0 y  x  dx   e  sx  x  dx
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 
e  sx y ( n )  e  sx a n 1 y ( n 1)  ...  e  sx a1 y   e  sx a 0 y  e  sx  x 

e

 sx
y
(n)
0
0
a n 1 y
( n  1)
 x  dx  ...   e
0

e
 x  dx   e

 sx
y
(n)
a1 y   x  dx

0

 sx
 sx
 x  dx  a n 1  e
0
y
( n  1)
e
 sx
a 0 y  x  dx

0

 sx

 x  dx  ...  a1  e
0
y   x  dx
e
 sx
  x  dx
0

 sx

 a0  e
0
 sx
y  x  dx


e
0
 sx
  x  dx
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 

e
0

 sx
y
(n)
 x  dx  a n 1  e
0

 sx
y
( n  1)
 x  dx  ...  a1  e
0

 sx
y   x  dx
 a0  e
0

 sx
y  x  dx
  e  sx  x  dx
0
D e fin ició n :
D a d a u n a fu n ció n g  x  (co n co n d icio n e s
q u e e sta b le ce re m o s m á s a d e la n te ) se
d e fin e su tra n sfo rm a d a d e L a p la ce co m o

L  g  x    G  s    e
0
 sx
g  x  dx
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 

e
 sx
y
(n)

0
0
 x  dx  a n  1  e  sx y ( n  1)  x  dx  ...  a1  e  sx y   x  dx  a 0Y  s     s 
0
Donde,

Y s  e
 sx
y  x  dx
0
y

 s  e
0

 sx
  x  dx
d
dx
 fg  
f
dg

dx
d
 dx  fg  dx   f
fg 
f
f
dg
dx
dg
dx 
dx
dx  fg 
df
g
dx
dg
dx 
dx
df
 dx g dx
df
 dx g dx
df
 dx g dx
b

a
f
dg
dx
dx 
 fg  a
b
b

df
 dx
a
g dx
y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 

e
 sx
y
(n)


0
0
 x  dx  a n  1  e  sx y ( n  1)  x  dx  ...  a1  e  sx y   x  dx  a 0Y  s     s 
0
A h o ra ,

e
0

 sx
y   x  dx   e
0
 sx
dy  x 
dx


 sx
 sx
dx   e y  x    s  e y  x  dx   y  0   sY  s 
0
0
L  y   x     y  0   sY  s 


A h o ra ,

e

 sx
y   x  dx   e
0
 sx
dy   x 
dx
0


 sx
 sx
dx   e y   x    s  e y   x  dx 
0
0

  y 0   s  e
 sx
y   x  dx   y   0   sy  0   s Y  s 
2
0
L  y   x     y   0   sy  0   s 2Y  s 


A h o ra ,

e

 sx
y   x  dx   e
0
0
 sx
dy   x 
dx


 sx
 sx
dx   e y   x    s  e y   x  dx 
0
0

  y   0   s  e
 sx
y   x  dx   y   0   s y   0   s y  0   s Y  s 
2
0
L  y   x     y   0   sy   0   s 2 y  0   s 3Y  s 


3
A h o ra ,


m
 sx  m 
 sx
L  y  x     e y  x  dx   e


0
0
d yx
m
dx
m
dx 
 m  1
m 1
m  2 1 
m 3 2
m


  s y 0  s
y 0  s
y  ...  y
 0   s Y  s 

y ( n )  a n 1 y ( n 1)  ...  a1 y   a 0 y    x 

e
 sx
y
(n)
dx
n
n 1
n 1
n 1
n2
y
 n  1

0
0
 a n  1  e  sx y ( n  1) dx  ...  a1  e  sx y dx  a 0Y  s     s 
0
s  a s
a
s
a
s

s
n 1
 ...  a1 s  a 0  Y  s 
n2
s
n2
n3
 ...  a 2 s  a1  y  0 
 ...  a 3 s  a 2  y
0   s
1 
 0   ...
Y s

s
n 1
 a n 1s
n2
 ...  a 2 s  a1  y  0    s
n2
 an2s
s  a n 1s
n
n 1
n3
 ...  a 3 s  a 2  y
1 
 0   ... 
y
 n  1
0    s 
 ...  a1 s  a 0
S i d e n o ta m o s
y  0   c0 , y
1 
 0   c1 ,..., y 
n  1
 0   cn
te n e m o s
Y s

s
n 1
 a n 1s
n2
 ...  a 2 s  a1  c1   s
n2
s  a n 1s
n
 an2s
n 1
n3
 ...  a 3 s  a 2  c 2  ...  c n    s 
 ...  a1 s  a 0
Y s

s
n 1
 a n 1s
n2
 ...  a 2 s  a1  c1   s
n2
s  a n 1s
n
 an2s
n 1
n3
 ...  a 3 s  a 2  c 2  ...  c n    s 
 ...  a1 s  a 0
A sí q u e e n co n tra r la tra n sfo rm a d a d e L a p la ce d e la so lu ció n y  x  e s u n
p ro b le m a a lg e b ra íco .
S i ya te n e m o s la tra n sfo rm a d a d e L a p la ce Y  s  d e la so lu ció n y  x  , ¿ có m o
e n co n tra m o s a h o ra la fu n ció n y  x  m ism a ?
C a lc u la n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a .
D e fin ició n :
L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce in v e rsa d e la
fu n ció n F  s  , d e n o ta d a co m o L
e s u n a fu n ció n f  x  ta l q u e
L  f  x    F  s 
-1
 F  s   ,
E c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
c o n c o e fic ie n te s c o n s ta n te s
n

ai y (i )    x 
an  1
con
i0
S o lu c ió n

 L    x   
1 
yx  L 



i 1
n
as
i
i0 j0
n

i0
ai s
i
j
y
i 
j  1

0 





L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce in v e rsa
d e la fu n ció n F  s  , d e n o ta d a co m o
L
- 1
 F  s   e s u n a fu n ció n f  x  t a l
que
L  f  x    F  s 
1) U sa n d o u n a co m p u ta d o ra
(M a p le , M a th e m a tica , e tc)
2 ) U sa n d o ta b la s
U sa n d o ta b la s:
i) E stá e xa cta m e n te lo q u e b u sca m o s.
ii) L a tra n sfo rm a d a n o e stá d ire cta m e n te
y h a y q u e m a n ip u la rla p a ra p o d e r u sa r
la s ta b la s.
C o m p le ta r cu a d ra d o s:
2

b 
b 

as  bs  c  a  s 

  c 
2a 
2a 


2
2
F ra ccio n e s p a rcia le s:
as
bs
co n g ra d o a  s   g ra d o b  s 
as
s  a
m

A1
sa
as
s
2
 bs  c 
p

A2

s  a
2
B1 s  C 1
s  bs  c
2
 ... 

Am
s  a
m
B2 s  C 2
s
2
 bs  c 
2
 ... 
Bps  C p
s
2
 bs  c 
p
i)
s  a   s  b   b  a 
ii) a 
a
b
b
y   2 ay   a y  0
2
L
 y   2 ay   a y   L  0 
L
 y    2 a L  y    a
2
2
L
 y  0
m
 m  1
m 1
m  2 1 
m 3 2
m



L y  x    s y  0   s y  0   s y  ...  y
0   s Y  s 





L  y  x    Y  s 
L  y   x     y  0   sY  s 
L  y   x     sy  0   y   0   s Y  s 
2
2


y  2 ay  a y  0
L
 y    2 a L  y    a
2
L
 y 
  sy  0   y   0   s Y  s  


2
 2 a   y  0   sY  s  
 a  Y  s    0
2
0
2


y  2 ay  a y  0
 sy  0   y   0   s Y  s   2 ay  0   2 asY  s   a Y  s   0
2
s
2
 2 as  a
Y s 
2
2
 Y  s   2 ay  0   sy  0   y   0   0
y   0   2 ay  0   sy  0 
yx  L
s  2 as  a
2
1
2
 y   0   2 ay  0   sy  0  


2
2
s  2 as  a


yx  L
1
 y   0   2 ay  0   sy  0  


2
2
s

2
as

a


y   0   2 ay  0   sy  0 
s  2 as  a
2
2

y   0   2 ay  0 

1
1
L 
2
  s  a 

ax
  xe


s
1
L 
2
  s  a 

ax
   1  ax  e

s  a
2

sy  0 
s  a
2
y   0   2 ay  0   sy  0 
s  2 as  a
2
L
L
1
1
2

y   0   2 ay  0 
s  a

1

2
s

a

 

ax
  xe


s

2
  s  a 

ax
   1  ax  e

 y   0   2 ay  0   xe
ax
  y   0   ay  0   xe
ax
2

sy  0 
s  a
2
 y  0   1  ax  e
 y 0e
ax
ax

L a e cu a ció n
y   2 ay   a y  0
2
tie n e la so lu ció n g e n e ra l
y  x    y   0   ay  0   xe
ax
 y 0e
ax
R e so lv e r la e cu a ció n
y
4
 k y  f x
4
co n la s co n d icio n e s in icia le s
y 0  y
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
L y

4
L y

4 
k L
L y

4 
 k Y s  F s
y
 k y   L  f  x  

4


4
4
 y 
F s
3
0  0
y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
4 
4

L y
 k Y s  F s


m 
 m  1
m 1
m  2 1 
m




L y  x    s y  0   s y  0   ...  y
0

s
Y s






4
2
3
3
2 1 
4
L  y     s y  0   s y  0   sy  0   y  0    s Y  s 




4 
4

L y
 s Y s


y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
s Y s  k Y s  F s
4
Y s 
4
F s
s k
yx  L
4
1
4
 F s 
 4
4 
s  k 
y
3
0  0
L
1
 F s 
 4
4 
s  k 
x

f  g  x 
 f   g  x    d 
0
L  f  g   x   F  s  g  s 

1

L L
L
1


f
g

x
  
 F  s  g  s   
f
L
1
 F  s  g  s  
 g  x
L
1
L
1
L
1
 F s 
 4
4 
s  k 
F 
 
 f


1
 4
4 
s  k 
1
1


A
B


 s  k  s  k  s  k s  k
As  k   B s  k  s  A  B  k  A  B

 s  k  s  k 
 s  k  s  k 
s k
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
A  B  0,
2
2
2
B   A,
A
1
1
s k
4
4
2
1
2k
2
2
2
2
k
2
2
2
AB 
2
2
1 
1
1


 2
2 
2
2
2 
2k  s  k
s k 
2
2
2
L
1
1


 s4  k 4   L


1

2k
L
L
L
1
1
1
2
L
1
1
 1 
1
1

 2

2
2 
 2 2
s  k 
 2k  s  k
1
1


 s 2  k 2   2k 2 L


1
1


 s2  k 2 


1

 sinh kx
 s2  k 2  
k


1

 sin kx
 s2  k 2   k


1
1


 s 4  k 4   2 k 3  sinh kx  sin kx 


y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
yx  L
yx 
1
0 
 F s 
L
 4
4 
s  k 
1
y
2
0 
y
3
0  0
1


 s4  k 4   f  x


x
1
2k
1 
3
  sinh k 
0
 sin k 
 f  x    d
L a so lu ció n d e la e cu a ció n
y
4
 k y  f x
4
co n co n d icio n e s in icia le s
y 0  y
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
es
yx 
x
1
2k
3
  sinh k 
0
 sin k 
 f  x    d
Ejemplos: 1, 2
D e fin ició n :
D a d a u n a fu n ció n f  x  (co n co n d icio n e s
q u e e sta b le ce re m o s m á s a d e la n te ) se
d e fin e su tra n sfo rm a d a d e L a p la ce co m o

L  f  x    F  s    e
0
 sx
f  x  dx
f :R  R
L

L  f
 x  
 F s 
e
 sx
f
 x  dx
0
L 1  

e
 sx
dx
0

e
 sx
dx  
0
con

e


s dx
1
d
0
 sx
 sx
 e

1
 dx   s   s

0
s  0
L 1  
1
s
con

s  0

L  f
 x    F  s  
e
 sx
f
 x  dx
0
L
x 


xe
 sx
dx
0


xe
 sx
dx  
0

1

s
0
1

e

s
 sx
dx 
s
0
con
1
s 0
2
x
d
dx
e
 sx
 sx
 xe
 dx   s



1
 
s
0

e
0
 sx
dx 

L  f
 x  
 F s 
e
 sx
0
L
x 
1
s
con
2
1
L
x  
s
2
s
 0
s  0
f
 x  dx

L  f  x    F  s    e
 sx
f  x  dx
0

ax
 sx
L  e    e dx
0

e

ax
e
 sx
0
dx   e
sax
dx  
0
1

e

s  a dx 
0
sa0
co n
1
L  e  
sa
ax
co n
d
sa0
sax
sax

 e

1
 dx   
 

 s  a 0 s  a

L  f  x    F  s  
e
 sx
f  x  dx
0

2

L  x  
x
2
e
 sx
dx
0

x
2
e
 sx
dx  
0

1

x

s
0
2

xe

s
0
 sx
dx 
2
s
3
2
e

dx
d
 x e
 dx    s

2
 sx
co n
s0
 sx


2
 
s
0

 xe
0
 sx
dx 

L  f  x    F  s    e
 sx
f  x  dx
0

n  sx
n
L  x    x e dx
0

x
0
n
e
 sx
dx  
1

x

s
0
n
e

dx
d
 x e
 dx    s

n
 sx
 sx



2 d
 sx
n
dx
e
x





 0 s 0 dx
P ro p ie d a d e s :
a ) L  a f
b ) L  f
c)
 x   b g  x  
(n)
L  x f
n
n

x

s
L  f
 
 x  
 f x
d) L 
 
 x 
e)
 a L  f
 x   
   1 F
n
n

 F   d 
s
x

F s
L   f   d   
s
0

s
 x    b L
n 1

i0
i
s f
 g  x  
 n 1 i 
0
P ro p ie d a d e s :
f)
 s 
L  f  a x    F  
a a
1
 x  
 F s  a
g)
ax

L e f
h)
L   f  g   x    F  s  g  s 

f  g  x 
 f  x  g  x    d
D e fin ició n :
L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce in v e r s a
d e la fu n ció n F  s  , d e n o ta d a co m o
L
- 1
 F  s   e s u n a fu n ció n f  x  ta l
que
L  f  x    F  s 
f :R  R
L
-1
L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce in v e rs a d e la
fu n ció n F  s  , d e n o ta d a co m o L
f t   L
- 1
1
- 1
 F  s   , e s
  i 
 F  s   
e F  s  ds

2  i   i 
st
d o n d e  e s u n n ú m e ro re a l, d e ta l m a n e ra
q u e la tra ye cto ria d e in te g ra ció n e sté e n l a
re g ió n d e co n v e rg e n cia d e F  s  .
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
L a e scrib im o s e n fo rm a re su m id a co m o
n
ay
i
i0
(i )
  x
co n
an  1
n
a y
i
(i )
  x
;
an  1
i0

(i ) 
  ai y 
 i0

n
L
 L   x  
n
a y
i
(i )
  x
;
an  1
i0

(i) 
  ai y 

 i0
n
L
n
L
i0
 ai y (i ) 


 L   x  
 L   x  
n

ai y (i )    x 
L
 n
(i ) 
  ai y 
 i0

;
an  1
i0
 L   x  
n
L
 ai y (i ) 


i0
n
 aL
i
i0
y

(i )


 L   x  
 L   x  
n
(i )
a
y
 i   x
i0
n


i0
(i )
a i L  y   L   x   ; a n  1
L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce d e la
d e riv a d a e s
i 1
L  y
(i )
sL

i
 y   s
j0
j
y
i 
j  1
0
n

i0
L
(i )

a i L  y   L   x   ; a n  1
 y (i )   s iL


 y 
i 1

j
s y
i 
j  1
0
j0
S u stitu ye n d o
n
 i
ai  s L

i0

i 1
 y   s
j0
j
y
i 
j  1

 0 

 L   x  
n

i0
(i )
a i L  y   L   x   ; a n  1
i 1
L
n
a
i0
i
 i
s L

 y (i )   s iL


 y   s
y
i 
j  1
0
j0
i 1
 y   s
j
j
y
i 
j  1
j0

 0 

L
   x  
0 
L    x  
Q ueda
n
L
 y   ai s
i0
n
i

i 1
as
i
i0 j0
j
y
i 
j  1
L
 y
n

i0
L
 y 
n
ai s 
i
i 1

a i s j y  i  j  1  0  
i0 j0
L    x   
i 1
n
as
j
i
y
i 
j  1
L    x  
0
i0 j0
n

ai s
i
i0

 L    x   
-1 
yx  L 



i 1
n
as
i
i0 j0
n
as
i
i0
i
j
y
i 
j  1

0 





Hasta aquí llegué
el jueves 4 de
febrero del 2010
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l
y
n
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l
y
n
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
V a m o s a tra n sfo rm a rla e n u n siste m a d e n
e cu a cio n e s d ife re n cia le s d e p rim e r o rd e n
(e n u n siste m a d e e cu a cio n e s d ife re n cia le s)
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l
y
n
 a n 1  x  y
( n  1)
 ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
D e sp e ja n d o la d e riv a d a n -e sim a
y
(n)
  a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l
y
(n)
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
  a n 1 y
 ...  a1 y   a 0 y    x 
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
D e fin im o s a h o ra
y1  x   y  x  , y 2  x   y   x  , ..., y n  x   y
 n 1 
x
E s o b v io q u e
y1  x   y  x 
y1  x   y 2  x 
y2  x   y x 
y 2  x   y 3  x 
y 3  x   y   x 
.
.
.
y 3  x   y 4  x 
yn  x   y
 n  1
x
.
.
.
y n  1  x   y n  x 
y
(n)
  a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
y1  x   y  x  , y 2  x   y   x  ,..., y n  x   y
y
(n)
 n  1
x
  a n  1 y n  ...  a1 y 2  a 0 y1    x 
y
(n)
  a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
y1  x   y  x  , y 2  x   y   x  ,..., y n  x   y
y
(n)
 n  1
x
  a n  1 y n  ...  a1 y 2  a 0 y1    x 
y n   a 0 y1  a1 y 2  a 2 y 3  ...  a n  1 y n    x 
y
(n)
  a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
y1  x   y  x  , y 2  x   y   x  ,..., y n  x   y
y
(n)
 n  1
x
  a n  1 y n  ...  a1 y 2  a 0 y1    x 
y n   a 0 y1  a1 y 2  a 2 y 3  ...  a n  1 y n    x 
y n  b1 y1  b 2 y 2  b3 y 3  ...  b n y n    x 
y1  x   y 2  x 
y 2  x   y 3  x 
y 3  x   y 4  x 
.
.
.
y n  1  x   y n  x 
y n  b1  x  y1  b 2  x  y 2  b3  x  y 3  ...  b n  x  y n    x 





yx  





y1  x  

y2  x  

.

.


.

y n 1  x  

yn  x  





 x  







0

. 

. 
. 

0 

x
 
0
 0

0

 0

 .
Ax 
 .

 .
 0

b x
 1
1
0
0
...
0
1
0
...
0
0
1
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
...
b2  x 
b3  x 
b4  x 
...


0

0 

. 
. 

. 
1 

b n  x  
0
y  x   A  x  y  x   
x
L a s c o n d ic io n e s in ic ia le s
 y  x0    c

  0
  x0 
y

  c1

 
.
.

 
.

 .

 
.
.

 
n  2
y
 x0    cn  2
 n 1
 
 y    x    c n 1
0 






 c





s e e xp re s a n a h o ra c o m o
 y  x0    c0

 
 y 1  x 0    c1

  .
.

 
.

 .

  .
.

 
 y n 1  x 0    c n  2

 
 y n  x 0    c n 1





 c





y x   A  x  y  x   
x
C o n d ic io n e s in ic ia le s
y  x0   c
T ra n sfo rm a r la e cu a ció n d e te rce r o rd e n
y   2 y   4 y   y  x sin x
e n u n siste m a d e 3 e cu a cio n e s d e p rim e r
o rd e n
T ra n sfo rm a r la e cu a ció n d e te rce r o rd e n
y   2 y   4 y   y  x sin x
e n u n siste m a d e 3 e cu a cio n e s d e p rim e r o rd e n
In tro d u cim o s la s fu n cio n e s
y1  y
y2  y
y 3  y 
T ra n sfo rm a r la e cu a ció n d e te rce r o rd e n
y   2 y   4 y   y  x sin x
e n u n siste m a d e 3 e cu a cio n e s d e p rim e r o rd e n
In tro d u c im o s la s fu n c io n e s
y1  y
y2  y
y 3  y 
D e s p e ja n d o la e c u a c ió n
y   2 y   4 y   y  x sin x
y s u s titu ye n d o
y   2 y 3  4 y 2  y1  x sin x
y   2 y   4 y   y  x sin x
y1  y
y2  y
y 3  y 
y   2 y 3  4 y 2  y1  x sin x
y1  y 2
y 2  y 3
y 3  2 y 3  4 y 2  y1  x sin x
y1  y 2
y 2  y 3
y 3  2 y 3  4 y 2  y1  x sin x





y1   0
 
y 2  0
 



y3   1
1
0
4
0   y1  
0


 

1
y2 
0

 






2   y 3   x sin x 
x
2
 ln x  1  y   xy   y  xe
y2  y
y1  y
y  
y 2 
1
x  ln x  1 
1
x  ln x  1 
y1  y 2
x

y  y  xe
y 2  y1  xe
x
x
y1  y 2
y 2 
1
x  ln x  1 
 0
 y1  

   1
 y 2  

y 2  y1  xe
x

  y1   0 
 x
1


 y
xe


2



x  ln x  1  
1
y x   A  x  y  x   
x
C o n d ic io n e s in ic ia le s
y  x0   c





yx  





y1  x  

y2  x  

.

.


.

y n 1  x  

yn  x  
 1  x  


 2  x  


.


 x  
.



.


  n 1  x  


 n  x  
 a11  x 

 a 21  x 
 a x
31

.

Ax 

.

.


a
x
 n  1,1
 a x
 n ,1
a12  x 
a13  x 
a14  x 
...
a 22  x 
a 23  x 
a 24  x 
...
a 32  x 
a 33  x 
a 34  x 
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n  1, 2  x 
a n  1, 3  x 
a n  1, 4  x 
...
an,2  x 
a n ,3  x 
an,4  x 
...
a1 n  x  

a2n  x  
a3n  x  

.


.

.


a n  1, n  x 

a n , n  x  
 y  x0    c0

 
y
x
c


1
0

  1

  .
.

 
.

   .

  .
.

 
 y n 1  x0    c n  2

 
y
x
c


n
0
n 1








  c





y x   Ay  x     x 
A e s u n a m a triz co n sta n te
(n o d e p e n d e d e x )
C o n d icio n e s in icia le s: y  x 0   c
dy
dx
 p x y  q x
y  x     q  x  exp

  p  x   dx   dx  c  exp    p  x  dx 
y x   Ay  x   
dy
dx
x
 p x y  q x
y x   Ay  x     x 
yx  e
A  x  x0 
ce
Ax

y  x0   c
x
e
x0
 A
   d 
y x   Ay  x 
y x  e
A  x  x0 
c
y  x0   c
y x   Ay  x     x 
A e s u n a m a tri z co n sta n te
(n o d e p e n d e d e x )
y x   Ay  x     x 
A e s u n a m a triz co n st a n te
(n o d e p e n d e d e x )
yx  e
A  x  x0 
k e
At

x
e
x0
 A
   d 

e
At


n0
A
n
n!
t
n

e
At


n0

A  
 0
A
A
2
3
0 

  0

 
 0
0  2

  0
.........
A
n
n
t
n
n!
0 

 

 
 0
 n
 
 0
A
0 

n
0 
 2
  
   0
 3
0 
 
2 
   0
0 
2 
 
0 
3 
 

e
At


n0

ex p A  ex p 
0


 0
0 
n 
 
n



n0
n!
A
n
t
n
n!
0

 

e

 0




0
n0
0 
 
e 
0

 
n!
n

S e a n A y B d o s m a tric e s n  n .
S i e xis te u n a m a triz n o s in g u la r C q u e
la s re la c io n a d e la s ig u ie n te m a n e ra
B C
1
AC
e n to n c e s A y B re p re s e n ta n la m is m a
tra n s fo rm a c ió n lin e a l
S e a n A y B d o s m a tric e s n  n .
S i e xis te u n a m a triz n o s in g u la r C q u e
la s re la c io n a d e la s ig u ie n te m a n e ra
B C
1
AC
e n to n c e s s e d ic e q u e s o n
S IM IL A R E S
D o s m a trice s n  n so n sim ila re s
si y só lo si
re p re se n ta n la m ism a
tra n sfo rm a ció n lin e a l
T : V  V ; lin e a l ;
d im V  n
S u p o n e m o s q u e e l p o lin o m io c a ra c te rís tic o
d e T tie n e n ra ic e s d ife re n te s (e n e l c a m p o
c o rre s p o n d ie n te ): 1 , ...,  n
a ) L o s c o rre s p o n d ie n te s v e c to re s p ro p io s
fo rm a n u n a b a s e d e V
T :V  V
; lin e a l ;
d im V  n
S u p o n e m o s q u e e l p o lin o m io c a ra c te rís tic o
d e T tie n e n ra ic e s d ife re n te s (e n e l c a m p o
c o rre s p o n d ie n te ): 1 , ...,  n
b ) L a m a triz q u e re p re s e n ta a T , re s p e c to
a la b a s e o rd e n a d a
 u 1 , ..., u n  ,
d ia g o n a l
 = d ia g  1 , ...,  n 
e s la m a triz
T : V  V ; lin e a l ; dim V  n
S u p o n e m o s q u e e l p o lin o m io ca ra cte rístic o
d e T tie n e n ra ice s d ife re n te s (e n e l ca m p o
co rre sp o n d ie n te ): 1 ,...,  n
c) S i A e s la m a triz q u e re p re se n ta a T , re sp e cto
a o tra b a se E   e1 ,..., e n  , e n to n ce s
  C AC
-1
d o n d e C e s la m a triz q u e re la cio n a la s d o s b a se s
U  EC
S i lo s v a lo re s p ro p io s n o so n to d o s
d ife re n te s,n o q u ie re d e cir q u e n o h a ya
u n a re p re se n ta ció n d ia g o n a l.
T e n d re m o s u n a re p re se n ta ció n d ia g o n a l,
si y só lo si se tie n e n k v e cto re s lin e a lm e n te
in d e p e n d ie n te s c o n ca d a v a lo r p ro p io d e
m u ltip licid a d k .
•Calcular todos los valores propios
•Calcular los vectores propios correspondientes
•Formar la matriz C con los vectores propios
•Aplicar C-1AC
•Calcular todos los valores propios
•Calcular los vectores propios correspondientes
•Formar la matriz C con los vectores propios
•Aplicar C-1AC
S e a A u n a m a triz n  n d ia g o n a liza b le .
S e a C la m a triz d e sim ila rid a d q u e la
d ia g o n a liza .
Tenem os
 C
1
AC
C   CC
1
AC  AC
C C
1
 ACC
C C
1
 A
1

e
At


n0
A
n
t
n
n!
S e a A u n a m a triz n  n d ia g o n a liza b le .
S e a C la m a triz d e sim ila rid a d q u e la
d ia g o n a liza .
Com o A  C C

e 
A

n0
A
n
n!


n0
1
te n e m o s
C C 
1
n!
n

e
At


n0

e 
A

n0
A
n
n!


C C 
1
A
n
t
n
n!
n
n!
n0
p e ro
C C
1

n
1
1
 C  C C  C ...C  C
1
 C C
n
1
a sí q u e

e 
A

n0
A
n
n!


n0
C C 
1
n!
n



n0
C C
n
n!
1

 C
n0

n
n!
C
1


e
At


n0

e 
A

n0
A
n
n!
 C e xp  C


C C 
1
n!
n0
1
E l re su lta d o e s
exp A  C ex p  C
1
n
A
n
n
n!


t

n0
C C
n
n!
1

 C
n0

n
n!
C
1


e
At


n0

e 
A

n0
A
n
n!
 C e xp  C


C C 
1
n!
n0
1
E l re su lta d o e s
exp A  C ex p  C
1
n
A
n
n
n!


t

n0
C C
n
n!
1

 C
n0

n
n!
C
1

5
S ea A  
1
4
 . C alcula exp A.
2
5
Sea A  
1
5
A
1
4
 . C a lcu la exp A.
2
4

2
  5
f     det   I  A   det 
 1


  2
4
    5     2   4    7   6     1    6 
2
1
 
0
0

6
5
A
1
4
.
2
V a lo re s p ro p io s 1 y 6
Ax  x
5

1
4 x   x 
    
2 y   y 
 4x  4 y  0

 
 x  y  0
x y 0
 1,  1  t ,
t  R , t  0
5
A
1
4
.
2
V alores propios 1 y 6
Ax  6 x
5

1
4 x 
x
   6 
2 y 
 y
4y  x 0

   
 x  4y 0
4y  x  0
  4,1  t ,
t  R , t  0
5
A
1
4

2
V a lo re s p ro p io s: 1 y 6
1
4
V e cto re s p ro p io s:   y  
 -1 
1
 1
C 
 1
 C
1
1
 
0
4

1
1 1
AC  
5 1
0

6
C
1
1 1
 
5 1
4   5

1 1
4 

1 
4 1

2   1
4

1
5
S ea A  
1
exp A  C exp  C
5
exp 
1
 1

 1
5
exp 
1
4  1

2   1
4 e

1 0
4
 . C alcula exp A.
2
1
4
1
 exp 
1
0
0  1 1

6 
e  5 1
4  1  e  4e6
  6
2 5 e  e
0  1 1
 
6  5 1
4 

1 
4e  4e 
6 
4e  e 
6
4 

1 
T o d a m a triz cu a d ra d a sa tisfa ce su p ro p ia
e cu a ció n ca ra cte rística . E s d e cir, si

n
 b 
p     det  I  A 
n
j0
e n to n ce s
n
  b
p A 
j0
A 0
n
n
n
2
A
3
1

1 
  2
p     det   I  A   det 
 3
1 

  1
    2     1  3    3  2  3    3  5
2
A  3A  5I  0
2
2
2
A
3
1

1 
A  3 A  5I  0
2
A  3A  5I
2
A  A  3 A  5 I   3 A  5 A  3  3 A  5 I   5 A  4 A  15 I
3
2
A  A  4 A  15 I   4 A  15 A  4  3 A  5 I   15 A   3 A  20 I
4
2
A   3 A  20 A   3  3 A  5 I   20 A   29 A  15 I
5
...........
2

e
At


i0
A
i
t
i
i!
S i A e s u n a m a triz n  n, e n to n ce s
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
donde
 0 ,  1 ,...,  n  1
so n fu n cio n e s d e t q u e d e b e n se r
d e te rm in a d a s p a ra ca d a m a triz A .
S e a A e s u n a m a triz n  n , s a b e m o s q u e
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
y d e fin a m o s
r      n  1
n 1
  n  2
n2
 ...   1   0
S e a A e s u n a m a triz n  n , s a b e m o s q u e
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
y d e fin a m o s
r      n  1
n 1
  n  2
n2
 ...   1   0
S i  i e s u n v a lo r p ro p io d e A t ,
e
i
 r  i 
A d e m á s , s i  i e s u n v a lo r p ro p io d e m u ltip lic id a d k ,
k  1, d e la m a triz A t e n to n c e s la s s ig u ie n te s
e c u a c io n e s s e c u m p le n
e
e
i
i


d
d
d
r  
  i
2
d
2
r  
  i
.............................
e
i

d
k 1
d
k 1
r  
  i
S i A e s u n a m a triz 2  2
e
At
 1 At   0I
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1 At   0I
2 2
S e a n 1 ,  2 ,...,  n lo s v a lo re s p ro p io s d e u n a m a triz A, n  n .
D e fin im o s la su ce sió n d e p o lin o m io s
P0  A   I ,
Pk  A  
k
  A   I ,
m
m 1
E n to n ce s se tie n e
exp  tA  
n 1
 r t  P  A 
k 1
k
k 0
donde
r1  t   1 r1  t  ,
r1  0   1
rk  1  t    k  1 rk  1  t   rk  t  ,
rk  1  0   0
k  1, 2, 3,..., n
Ejemplo: 1
y x   Ay  x     x 
yx  e
A  x  x0 
ce
Ax

y  x0   c
x
e
x0
 A
   d 
Ejemplos: 1, 2, 3
 1
dx 
 2

dt
 4

4
7
4
5 

9 x


7 
x  1
d   
y  2

dt   
 z   4
dx
4
7
4
5  x 
 
9
y
 
 7   z 
 x  4 y  5z
dt
dy
 2x  7 y  9z
dt
dz
dt
 4 x  4 y  7 z
f  


 d et  


 1

 d et  2

 4

1

0

0

4
 7
    1    1
4
0
1
0
0  1
 
0  2
 
1    4
4
7
4
5 

9  

 7  
5 

3
2
9
      1

  7 
2

f     0  1   1,  2   1,  3   1
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
E ntonces,
r      2    1   0
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
e
t
  2   t    1   t    0   2 t   1t   0
2
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
e
t
  2   t    1   t    0   2 t   1t   0
2
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
r      2 2    1
e
t
 2 2   t    1  2 2 t   1
e
e
e
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
e
e
e
t
 2
t

 2t

2
t
t
1
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
t
1  2   e 

  t 
1  1   e 


t 




0 0   e 
 t2
 2
t
 2t

t
 2
t
 2t

2
t
t
1
t
t
1
1

1
0 
1
t
1  2   e 

  t 
1  1   e 


t 




0 0   e 
 1
2

4t

 1
 
 2t

1


 4
1
4t
2
1
2t
3
4
1 

2t


0


1 


2t 
e
e
e
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
t
 2   t
   2
1   t
 
    2t
 0 
2
t
t
1
e
e
 2 

1
2t
4t
t
1 e  
t
t
  t  
e
e
1  e   

2t
2t
t
0   e   t
t
e
 3e
 4  4 

t
t

2 
4t




t
te 

2 
e
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
t
 et
e
 2 

2t
4t
 2  
t
t
e
e
  
1  

 
2
t
2
t
  
t
t
 0
e
 3e


 4
4

t

2 
4t




t
te 

2 
e
e
e
At
At
  2 A t  1At   0I
2 2


 2  

 
 
 1 
  
 0



t
t

 2  2
2t
4t
4t

t
t

e
e


2t
2t

t
t
t
3e
e
te 


4
4
2 
e
e
t
e
t
t
t
t
t
 te  t


e
e  2 1 t
3
e
e
te
t





 A  e  e  A  
I
4
4 
2
4
2 
 2
 4
e
e
At
At
t
t
t
t
t
 te  t


e
e  2 1 t
3
e
e
te
t





 A  e  e  A  
I
4
4 
2
4
2 
 2
 4
 4 e t  6 te t  3 e  t
 t
t
t
  6 e  10 te  6 e
 8 te t  6 e t  6 e  t

6 te  e  e
t
t
t
e  3te  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  5 te  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
 e  4 te  2 e
t
t
t
t
t
t
t
t
t





 1
dx 
 2

dt
 4

5 

9 x


7 
4
7
4
x t   e c
At
t
t
t
 x  t    4 e  6 te  3 e

  t
t
t
y
t

6
e

10
te

6
e



 
 z  t    8 te t  6 e t  6 e  t

 
6 te  e  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
t
t
t
t
t
  c1 

t
t
t  
2 e  5 te  2 e  c 2
 
t
t
t
 e  4 te  2 e   c 3 
e  3te  e
t
t
e
At
 4 e t  6 te t  3 e  t
 t
t
t
  6 e  10 te  6 e
 8 te t  6 e t  6 e  t

x  t    4 e  6 te  3 e
t
t
t
y  t    6 e  10 te  6 e
t
t
z  t    8 te  6 e  6 e
t
t
t
6 te  e  e
t
t
e  3te  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  5 te  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
 e  4 te  2 e
t
t
t
t
t
 c1   6 te  e  e
t
t
t
 c  10 te
1
t
t
t
t
t
t
 e  2e
t
t
t
 c 2   e  3te  e
 c1   2 e  8 te  2 e
t
t
t
t
t
 c   2e
2
t
t
c
3
 5 te  2 e
t
 c 2    e  4 te  2 e
t
t





t
t
c
c
3
3
x  t    4 e  6 te  3 e
t
t
y  t    6 e  10 te  6 e
t
t
z  t    8 te  6 e  6 e
t
t
x  t   a1e
 c1   6 te  e  e
t
t
t
t
y  t   2 a1 e
t
 c 2   e  3te  e
t
 c1  10 te  e  2 e
t
 c   2e
t
1
t
t
t
 8 te  2 e
t
 a 2 e  a 3 te
t
t
z  t    2 a1 e

5
3
t

a2e 
t
4
3
3
t
 c   e
t
2
a 3 te 
t
4
3
t
c
3
 c 2   2 e  5 te  2 e
t
 4 te  2 e
t
t
5
a2e 
t
t
t
t
1
9
a 3 te 
t
a 3e
1
9
t
a 3e
t
t
t
c
c
3
3
dx
 x  4 y  5z
dt
dy
 2x  7 y  9z
dt
dz
 4 x  4 y  7 z
dt
x  t   a1e
t
y  t   2 a1 e
 a 2 e  a 3 te
t
t
z  t    2 a1 e

5
3
t

a2e 
t
4
3
5
3
a2e 
t
t
a 3 te 
t
4
3
1
9
a 3 te 
t
a 3e
1
9
t
a 3e
t
Hasta aquí en la
quinta clase el
viernes 20 de
junio del 2008
Lunes 23 de junio del 2008. Sexta clase
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iniciales y de valores a la frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales
y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
co n co e ficie n te s co n sta n te s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
L a e scrib im o s e n fo rm a re su m id a co m o
n
ay
i
i0
(i )
  x
co n
an  1
E c u a c ió n d ife re n c ia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
c o n c o e fic ie n te s c o n s ta n te s
n

ai y (i )    x 
an  1
con
i0
S o lu c ió n

 L    x   
1 
yx  L 



i 1
n
as
i
i0 j0
n

i0
ai s
i
j
y
i 
j  1

0 





L a tra n sfo rm a d a d e L a p la ce in v e rsa
d e la fu n ció n F  s  , d e n o ta d a co m o
L
- 1
 F  s   e s u n a fu n ció n f  x  t a l
que
L  f  x    F  s 
1) U sa n d o u n a co m p u ta d o ra
(M a p le , M a th e m a tica , e tc)
2 ) U sa n d o ta b la s
U sa n d o ta b la s:
i) E stá e xa cta m e n te lo q u e b u sca m o s.
ii) L a tra n sfo rm a d a n o e stá d ire cta m e n te
y h a y q u e m a n ip u la rla p a ra p o d e r u sa r
la s ta b la s.
C o m p le ta r cu a d ra d o s:
2

b 
b 

as  bs  c  a  s 

  c 
2a 
2a 


2
2
F ra ccio n e s p a rcia le s:
as
bs
co n g ra d o a  s   g ra d o b  s 
as
s  a
m

A1
sa
as
s
2
 bs  c 
p

A2

s  a
2
B1 s  C 1
s  bs  c
2
 ... 

Am
s  a
m
B2 s  C 2
s
2
 bs  c 
2
 ... 
Bps  C p
s
2
 bs  c 
p
i)
s  a   s  b   b  a 
ii) a 
a
b
b
y   2 ay   a y  0
2
L
 y   2 ay   a y   L  0 
L
 y    2 a L  y    a
2
2
L
 y  0
m
 m  1
m 1
m  2 1 
m 3 2
m



L y  x    s y  0   s y  0   s y  ...  y
0   s Y  s 





L  y  x    Y  s 
L  y   x     y  0   sY  s 
L  y   x     sy  0   y   0   s Y  s 
2
2


y  2 ay  a y  0
L
 y    2 a L  y    a
2
L
 y 
  sy  0   y   0   s Y  s  


2
 2 a   y  0   sY  s  
 a  Y  s    0
2
0
2


y  2 ay  a y  0
 sy  0   y   0   s Y  s   2 ay  0   2 asY  s   a Y  s   0
2
s
2
 2 as  a
Y s 
2
2
 Y  s   2 ay  0   sy  0   y   0   0
y   0   2 ay  0   sy  0 
yx  L
s  2 as  a
2
1
2
 y   0   2 ay  0   sy  0  


2
2
s  2 as  a


yx  L
1
 y   0   2 ay  0   sy  0  


2
2
s

2
as

a


y   0   2 ay  0   sy  0 
s  2 as  a
2
2

y   0   2 ay  0 

1
1
L 
2
  s  a 

ax
  xe


s
1
L 
2
  s  a 

ax
   1  ax  e

s  a
2

sy  0 
s  a
2
y   0   2 ay  0   sy  0 
s  2 as  a
2
L
L
1
1
2

y   0   2 ay  0 
s  a

1

2
s

a

 

ax
  xe


s

2
  s  a 

ax
   1  ax  e

 y   0   2 ay  0   xe
ax
  y   0   ay  0   xe
ax
2

sy  0 
s  a
2
 y  0   1  ax  e
 y 0e
ax
ax

L a e cu a ció n
y   2 ay   a y  0
2
tie n e la so lu ció n g e n e ra l
y  x    y   0   ay  0   xe
ax
 y 0e
ax
R e so lv e r la e cu a ció n
y
4
 k y  f x
4
co n la s co n d icio n e s in icia le s
y 0  y
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
L y

4
L y

4 
k L
L y

4 
 k Y s  F s
y
 k y   L  f  x  

4


4
4
 y 
F s
3
0  0
y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
4 
4

L y
 k Y s  F s


m 
 m  1
m 1
m  2 1 
m




L y  x    s y  0   s y  0   ...  y
0

s
Y s






4
2
3
3
2 1 
4
L  y     s y  0   s y  0   sy  0   y  0    s Y  s 




4 
4

L y
 s Y s


y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
1 
0 
y
2
0 
s Y s  k Y s  F s
4
Y s 
4
F s
s k
yx  L
4
1
4
 F s 
 4
4 
s  k 
y
3
0  0
L
1
 F s 
 4
4 
s  k 
x

f  g  x 
 f   g  x    d 
0
L  f  g   x   F  s  g  s 

1

L L
L
1


f
g

x
  
 F  s  g  s   
f
L
1
 F  s  g  s  
 g  x
L
1
L
1
L
1
 F s 
 4
4 
s  k 
F 
 
 f


1
 4
4 
s  k 
1
1


A
B


 s  k  s  k  s  k s  k
As  k   B s  k  s  A  B  k  A  B

 s  k  s  k 
 s  k  s  k 
s k
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
A  B  0,
2
2
2
B   A,
A
1
1
s k
4
4
2
1
2k
2
2
2
2
k
2
2
2
AB 
2
2
1 
1
1


 2
2 
2
2
2 
2k  s  k
s k 
2
2
2
L
1
1


 s4  k 4   L


1

2k
L
L
L
1
1
1
2
L
1
1
 1 
1
1

 2

2
2 
 2 2
s  k 
 2k  s  k
1
1


 s 2  k 2   2k 2 L


1
1


 s2  k 2 


1

 sinh kx
 s2  k 2  
k


1

 sin kx
 s2  k 2   k


1
1


 s 4  k 4   2 k 3  sinh kx  sin kx 


y
4
 k y  f  x ; y 0  y
4
yx  L
yx 
1
0 
 F s 
L
 4
4 
s  k 
1
y
2
0 
y
3
0  0
1


 s4  k 4   f  x


x
1
2k
1 
3
  sinh k 
0
 sin k 
 f  x    d
L a so lu ció n d e la e cu a ció n
y
4
 k y  f x
4
co n co n d icio n e s in icia le s
y 0  y
1 
0 
y
2
0 
y
3
0  0
es
yx 
x
1
2k
3
  sinh k 
0
 sin k 
 f  x    d
Clase del miércoles
17 de febrero del
2010 de 12:30 a
14:00
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones diferenciales
ordinarias
y x   A  x  y  x   
x
C o n d ic io n e s in ic ia le s
y  x0   c





yx  





y1  x  

y2  x  

.

.


.

y n 1  x  

yn  x  
 1  x  


 2  x  


.


 x  
.



.


  n 1  x  


 n  x  
 a11  x 

 a 21  x 
 a x
31

.

Ax 

.

.


a
x
 n  1,1
 a x
 n ,1
a12  x 
a13  x 
a14  x 
...
a 22  x 
a 23  x 
a 24  x 
...
a 32  x 
a 33  x 
a 34  x 
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n  1, 2  x 
a n  1, 3  x 
a n  1, 4  x 
...
an,2  x 
a n ,3  x 
an,4  x 
...
a1 n  x  

a2n  x  
a3n  x  

.


.

.


a n  1, n  x 

a n , n  x  
 y  x0    c0

 
y
x
c


1
0

  1

  .
.

 
.

   .

  .
.

 
 y n 1  x0    c n  2

 
y
x
c


n
0
n 1








  c





y x   Ay  x     x 
A e s u n a m a triz co n sta n te
(n o d e p e n d e d e x )
C o n d icio n e s in icia le s: y  x 0   c
dy
dx
 p x y  q x
y  x     q  x  exp

  p  x   dx   dx  c  exp    p  x  dx 
y x   Ay  x   
dy
dx
x
 p x y  q x
y x   Ay  x     x 
yx  e
A  x  x0 
ce
Ax

y  x0   c
x
e
x0
 A
   d 
y x   Ay  x 
y x  e
A  x  x0 
c
y  x0   c

e
At


n0
A
n
n!
t
n

e
At


n0
A
n
t
n
n!
S e a A u n a m a triz n  n d ia g o n a liza b le .
S e a C la m a triz d e sim ila rid a d q u e la
d ia g o n a liza .
Tenem os
exp A  C exp  C
1
T o d a m a triz cu a d ra d a sa tisfa ce su p ro p ia
e cu a ció n ca ra cte rística . E s d e cir, si

n
 b 
p     det  I  A 
n
j0
e n to n ce s
n
  b
p A 
j0
A 0
n
n
n

e
At


i0
A
i
t
i
i!
S i A e s u n a m a triz n  n, e n to n ce s
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
donde
 0 ,  1 ,...,  n  1
so n fu n cio n e s d e t q u e d e b e n se r
d e te rm in a d a s p a ra ca d a m a triz A .
S e a A e s u n a m a triz n  n , s a b e m o s q u e
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
y d e fin a m o s
r      n  1
n 1
  n  2
n2
 ...   1   0
S e a A e s u n a m a triz n  n , s a b e m o s q u e
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
t
  n2 A
n2 n2
t
 ...   1 A t   0 I
y d e fin a m o s
r      n  1
n 1
  n  2
n2
 ...   1   0
S i  i e s u n v a lo r p ro p io d e A t ,
e
i
 r  i 
e
At
  n 1 A
n 1 n 1
r      n  1
t
n 1
  n2 A
  n  2
ex p A  C ex p  C
1
n2 n2
n2
t
 ...   1 A t   0 I
 ...   1    0
 ex p   C
1
ex p A C
S i  i e s u n v a lo r p ro p io d e A t , e
exp   t   C
C
1

n 1
1
  n  1C A
  n 1
A
1
t
n 1 n 1
t
Ct
n 1
  n2 A
n2 n2
t
1
  n  2C A
  n2
n2 n2
t
n2

 ...   1 A t   0 I C 
Ct
n2
n 1
  n  2
n2
1
 ...   1C A C t   0 I 
 ...   1  t   0 I

r      n  1
 r  i 
exp  A t  C 
n 1 n 1
n 1
i
 ...   1    0
A d e m á s , s i  i e s u n v a lo r p ro p io d e m u ltip lic id a d k ,
k  1, d e la m a triz A t e n to n c e s la s s ig u ie n te s
e c u a c io n e s s e c u m p le n
e
e
i
i


d
d
d
r  
  i
2
d
2
r  
  i
.............................
e
i

d
k 1
d
k 1
r  
  i
S i A e s u n a m a triz 2  2
e
At
 1 At   0I
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1 At   0I
2 2
 1
dx 
 2

dt
 4

4
7
4
5 

9 x


7 
x  1
d   
y  2

dt   
 z   4
dx
4
7
4
5  x 
 
9
y
 
 7   z 
 x  4 y  5z
dt
dy
 2x  7 y  9z
dt
dz
dt
 4 x  4 y  7 z
f  


 d et  


 1

 d et  2

 4

1

0

0

4
 7
    1    1
4
0
1
0
0  1
 
0  2
 
1    4
4
7
4
5 

9  

 7  
5 

3
2
9
      1

  7 
2

f     0  1   1,  2   1,  3   1
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
E ntonces,
r      2    1   0
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
e
t
  2   t    1   t    0   2 t   1t   0
2
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
e
t
  2   t    1   t    0   2 t   1t   0
2
2
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
r      2    1   0
2
r      2 2    1
e
t
 2 2   t    1  2 2 t   1
e
e
e
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
e
e
e
t
 2
t

 2t

2
t
t
1
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
t
1  2   e 

  t 
1  1   e 


t 




0 0   e 
 t2
 2
t
 2t

t
 2
t
 2t

2
t
t
1
t
t
1
1

1
0 
1
t
1  2   e 

  t 
1  1   e 


t 




0 0   e 
 1
2

4t

 1
 
 2t

1


 4
1
4t
2
1
2t
3
4
1 

2t


0


1 


2t 
e
e
e
t
  2 t   1t   0
t
  2 t   1t   0
t
 2 2 t   1
2
2
t
 2   t
   2
1   t
 
    2t
 0 
2
t
t
1
e
e
 2 

1
2t
4t
t
1 e  
t
t
  t  
e
e
1  e   

2t
2t
t
0   e   t
t
e
 3e
 4  4 

t
t

2 
4t




t
te 

2 
e
S i A e s u n a m a triz 3  3
e
At
  2 A t  1At   0I
2 2
t
 et
e
 2 

2t
4t
 2  
t
t
e
e
  
1  

 
2
t
2
t
  
t
t
 0
e
 3e


 4
4

t

2 
4t




t
te 

2 
e
e
e
At
At
  2 A t  1At   0I
2 2


 2  

 
 
 1 
  
 0



t
t

 2  2
2t
4t
4t

t
t

e
e


2t
2t

t
t
t
3e
e
te 


4
4
2 
e
e
t
e
t
t
t
t
t
 te  t


e
e  2 1 t
3
e
e
te
t





 A  e  e  A  
I
4
4 
2
4
2 
 2
 4
e
e
At
At
t
t
t
t
t
 te  t


e
e  2 1 t
3
e
e
te
t





 A  e  e  A  
I
4
4 
2
4
2 
 2
 4
 4 e t  6 te t  3 e  t
 t
t
t
  6 e  10 te  6 e
 8 te t  6 e t  6 e  t

6 te  e  e
t
t
t
e  3te  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  5 te  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
 e  4 te  2 e
t
t
t
t
t
t
t
t
t





 1
dx 
 2

dt
 4

5 

9 x


7 
4
7
4
x t   e c
At
t
t
t
 x  t    4 e  6 te  3 e

  t
t
t
y
t

6
e

10
te

6
e



 
 z  t    8 te t  6 e t  6 e  t

 
6 te  e  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
t
t
t
t
t
  c1 

t
t
t  
2 e  5 te  2 e  c 2
 
t
t
t
 e  4 te  2 e   c 3 
e  3te  e
t
t
e
At
 4 e t  6 te t  3 e  t
 t
t
t
  6 e  10 te  6 e
 8 te t  6 e t  6 e  t

x  t    4 e  6 te  3 e
t
t
t
y  t    6 e  10 te  6 e
t
t
z  t    8 te  6 e  6 e
t
t
t
6 te  e  e
t
t
e  3te  e
t
t
t
10 te  e  2 e
t
2 e  5 te  2 e
t
2 e  8 te  2 e
t
 e  4 te  2 e
t
t
t
t
t
 c1   6 te  e  e
t
t
t
 c  10 te
1
t
t
t
t
t
t
 e  2e
t
t
t
 c 2   e  3te  e
 c1   2 e  8 te  2 e
t
t
t
t
t
 c   2e
2
t
t
c
3
 5 te  2 e
t
 c 2    e  4 te  2 e
t
t





t
t
c
c
3
3
x  t    4 e  6 te  3 e
t
t
y  t    6 e  10 te  6 e
t
t
z  t    8 te  6 e  6 e
t
t
x  t   a1e
 c1   6 te  e  e
t
t
t
t
y  t   2 a1 e
t
 c 2   e  3te  e
t
 c1  10 te  e  2 e
t
 c   2e
t
1
t
t
t
 8 te  2 e
t
 a 2 e  a 3 te
t
t
z  t    2 a1 e

5
3
t

a2e 
t
4
3
3
t
 c   e
t
2
a 3 te 
t
4
3
t
c
3
 c 2   2 e  5 te  2 e
t
 4 te  2 e
t
t
5
a2e 
t
t
t
t
1
9
a 3 te 
t
a 3e
1
9
t
a 3e
t
t
t
c
c
3
3
dx
 x  4 y  5z
dt
dy
 2x  7 y  9z
dt
dz
 4 x  4 y  7 z
dt
x  t   a1e
t
y  t   2 a1 e
 a 2 e  a 3 te
t
t
z  t    2 a1 e

5
3
t

a2e 
t
4
3
5
3
a2e 
t
t
a 3 te 
t
4
3
1
9
a 3 te 
t
a 3e
1
9
t
a 3e
t
•Clasificación de las ecuaciones diferenciales
•Solución de una ecuación diferencial ordinaria
•Problema de valores iníciales y de valores a la
frontera
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
•Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
lineales y la transformada de Laplace
•Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
•Solución mediante series de ecuaciones
diferenciales ordinarias
U na función f : R  R es analítica en
el punto x 0 si su serie de T aylor alrededo r
de x 0


n0
f
n
 x0 
n!
x 
x0 
n
converge a f  x  en una vecindad de x 0
•Los polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los
polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial también son analíticas en todos
lados
•Cocientes de dos de estas funciones son
analíticas en todos los puntos en los cuales
el denominador no se hace cero
y   P  x  y   Q  x  y    x 
y   P  x  y   Q  x  y    x 
E l punto x 0 es un punto or dinario de la ecuación
diferencial si tanto P  x  com o Q  x  s on analíticas en x 0 .
y   P  x  y   Q  x  y    x 
S i cualquiera de las dos funciones, P  x  y Q  x  ,
no son analíticas, entonces el punto x 0 es singular.
S i x  0 es un punto ordinario de la ecuació n
y   P  x  y   Q  x  y  0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la form a
yx 

a
x  c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
n
n
n0
donde c1 y c 2 son constantes arbitrarias y y1  x  y
y 2  x  son funciones linealm ente independiente s
y analíticas en x  0
y   P  x  y   Q  x  y  0
La solución general tiene la form a
yx 

a
n
x
n
n0
¿C óm o determ inam os los coeficientes a n ?
P aso 1 :
S u stitu im o s la p ro p u esta so lu ció n
yx 

a
n
x
n
n0
en la ecu ació n d iferen cial o rig in al
y   P  x  y   Q  x  y  0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
dy  x 
dx

d


dx
n0
?
n

an x  
n0
d  an x
dx
n




n0
an
d x
dx
n




n0
nan x
n 1
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
d yx
2
dx

2
 na
n0
d
na

dx
n
x
?
n 1
n0




d x
n
n 1
dx




d nan x
dx
n0


 n  n  1 a
n0
n 1
n
x
n2


y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 1:

 n  n  1 a
n0
n
x
n2

 P  x   na n x
n0
n 1

 Q  x   an x  0
n
n0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 2:
A grupam os las potencias de x e igualam os a
cero los coeficientes (D ado que las pote ncias
de x son linealm ente independientes)
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 3
S e resuelven las form ulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de x a cero.
S e determ inan a j  j  2, 3, 4,...  en térm inos
de a 0 y a1
n
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 4
Los coeficientes a j  j  0,1, 2, 3, 4,... 
se sustituyen en la serie y se trata de
determ inar una form a analítica.
n
Ejemplos: 1, 2
Ejemplo: La ecuación de Legendre
Resolver la ecuación diferencial de
Legendre
(1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0
mediante el uso de series de potencias.
U sarem os ahora el m étodo de series de po tencias. E scribim os la ecuacion com o
(1 - x ²) y ´´-2 xy ´  a ( a  1) y  0
E s claro que el 0 es un punto ordinario de la ecuación, ya que los coeficientes son analíticos a lrededor de 0.
P or tanto, proponem os que la solución se puede escribi r com o

y( x) 
a
k
x
k
k 0
Usaremos ahora el método de series de potencias.
Escribimos la ecuación como
(1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0
Es claro que el 0 es un punto ordinario de la
ecuación, ya que los coeficientes son analíticos
alrededor de 0.
Por tanto, proponemos que la solución se puede
escribir como y(x)=∑_{k=0}^{∞}a_{k}x^{k}
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Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n