I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
•En particular, hay una sección dedicada a Geometría
Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
•En esa sección hay problemas del Lehmann,. En
particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
 E s el estu d io d e la g eo m etría
u san d o lo s p rin cip io s d el
álg eb ra y viceversa.
 E s la u n ió n d e la g eo m etría
y el álg eb ra
Ecuaciones
en dos
variables
Figuras
geométricas
en el plano
Ecuaciones
en x e y
Figuras en
el plano
Ordenada
 x, y 
y
Abscisa
x
E n este capítulo harem os un estudio prelim inar de dos
problem as fundam entales de la G eom etría A nalítica.
I . D ada una ecuación interpretarla geom étricam ente;
es decir, construir la gráfica correspon diente .
II. D ada una figura geom étrica, o la con dición que
deben cum plir los puntos de la m ism a, de term inar
su ecuación.
Dada una
ecuación,
interpretarla
geométricamente
Dada un figura
geométrica,
determinar su
ecuación
S upongam os que se nos da una ecuación en dos variables,
x e y , que podem os escribir en la form a
f  x, y  =0
E n general, hay un núm ero infinito de pa res de valores de
x e y que satisfacen esta ecuación. C ada u n o de tales pares
de valores reales se tom a com o las coord enadas ( x , y ) de
un punto en el plano.
D efin ició n 1 : E l co n ju n to d e lo s p u n to s,
y so lam en te d e aq u ello s p u n to s, cu yas
co o rd en ad as s atisfag an u n a ecu ació n
f
 x, y  =0
se llam a g ráfica d e la e cu ació n o , b ien ,
su lu g ar g eo m étr i co .
D efinición 2: C ualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
f  x, y  =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
E l conjunto solución de la ecuación,
form ado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
núm eros reales.
Intersección
con los ejes
Cálculo de
coordenadas
Simetría
Extensión
de la curva
Construcción
de la curva
Asíntotas
La extensión de una curva
son los intervalos de variación
para los cuales los valores de
x e y son valores reales.
La extensión de una curva son los interv alos de variación
para los cuales los valores de x e y son v alores reales.
E s útil, porque:
 D a la localización general de la curva e n el plano
 Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
L o s in tervalo s p ara lo s cu ales
lo s valo res d e x e y so n reales
se d eterm in an reso lvien d o la
ecu ació n d ad a
p ara y en térm in o s d e x ,
y p ara x en térm in o s d e y .
x  y 40
2
2
N o existen núm eros reales, x y y ,
que satisfaga la ecuación.
La extensión es el conjunto vacío.
x  y 0
2
2
La extensión de esta ecuación se
reduce a un único punto, el  0, 0  .
2x  3y  4  0
2x  3y  4  0
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
2x  3y  4  0
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2
-3
-4
-5
La extensión es todo el plano; es decir,
x puede tom ar cualquier valor real, y
y tam bién puede tom ar cualquier valor rea l.
y  x
2
y
4
y  x
2
3
2
1
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
y  x
2
y  
x
E s claro que x no puede ser negativo.
S ólo puede ser positivo o cero.
La extensión es el intervalo [0,   ).
y  x
2
x  y
2
E s claro q u e y p u ed e to m ar cu alq u ier valo r real.
N o h ay n in g u n a restricció n .
L a ex ten sió n en y es to d a la recta real, es
  ,  .
y
4
y  x
2
3
2
1
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
9 x  4 y  36
2
2
9 x  4 y  36
2
2
9 x  4 y  36
2
2
4 y  36  9 x
2
y 9
2
9
2
x 
2
4
4
y  
3
4 x
9
4  x 
2
2
P o r tan to , x    2, 2 
2
9 x  4 y  36
2
2

x    2, 2 
9 x  4 y  36
2
2
9 x  4 y  36
2
2
9 x  36  4 y
2
x  4
2
4
2
y 
2
9
x  
2
9 y
4
9
9 
2
3
P or tanto, y    3, 3 
y
2

9 x  4 y  36
2
2

y    3, 3 
9x  4 y
2
2
 3 6;
x    2, 2 
, y    3, 3 
y x 0
2
3
y x 0
2
3
y  x  0
2
y  
3
x
3
P o r t an to
x  0
y x 0
2
3
y  x  0
2
x 
3
3
y
2
P o r tan t o
y R
1 . S e d esp ejan y en fu n ció n d e x
2 . S e an aliza q u é valo res d e x so n
p o sib les en la ecu ació n .
3 . E so s valo res d e x co n stitu yen
la ex ten sió n en X d e la cu rva.
1 . S e d esp ejan x en fu n ció n d e y
2 . S e an aliza q u é valo res d e y so n
p o sib les en la ecu ació n .
3 . E so s valo res d e y co n stitu yen
la ex ten sió n en Y d e la cu rva.
S i p ara u n a cu rva d ad a, ex iste u n a
recta tal q u e, a m ed id a q u e u n p u n to
d e la cu rva se aleja in d efin id am en te
d el o rig en , la d istan cia d e ese p u n to
a la recta d ecrece co n tin u am en te y
tien d e a cero , d ich a re cta se llam a
asín to ta d e la cu rva.
y 
1
x2
y 
x  2
1
x2
y 
1
x2
x  2
y 
1
x2
x  2
y 
1
x2
x  2
y 
1
x2
4 x  5 x  15
2
y=
2x  3
4 x  5 x  15
2
y=
2x  3
y  2x  5
4 x  5 x  15
2
y=
2x  3
y  2x  5
4 x  5 x  15
2
y=
2x  3
y  2x  5
E sta d efin ició n im p lica d o s co sas:
1 ) U n a cu rva q u e tien e u n a asín to ta
n o es cerrad a o d e ex ten sió n fin ita,
sin o q u e se ex tien d e in d efin id am en te.
2 ) U n a cu rva se ap ro x im a a la asín to ta
m ás y m ás a m ed id a q u e se ex tien d e
m ás y m ás en el p lan o co o rd en ad o .
S ien d o la asín to ta u n a lín ea recta, p u ed e ten er
u n a cu alq u iera d e tres p o sicio n es p artic u lares.
S i es p aralela o co in cid e co n el eje X , se llam a
asín to ta h o rizo n tal .
S i es p aralela o co in cid e co n el eje Y ,
asín to ta vertical .
S i n o es p aralela a n in g u n o d e lo s ejes
co o rd en ad o s, asín to ta o b l icu a .
A quí considerarem os solam ente la
determ inación de asíntotas verticales
y horizontales.
P osteriorm ente verem os la determ inación
de asíntotas oblicuas para una curva
particular conocida con el nom bre de
hipérbola.
S e d eb e ten er p resen te q u e u n a cu rva n o tien e
n ecesariam en te u n a o m ás asín to tas. H ay
m u ch as cu rvas q u e n o tien en asín to tas. S in
em b arg o , si u n a cu rva tien e asín to tas, su
d eterm in ació n será, co m o verem o s, u n a g ran
ayu d a p ara co n stru ir su g ráfica.
E n el capitulo siguiente harem os un estu dio
detallado de la ecuación general de la recta.
P ero ahora tenem os necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
S ea l u n a recta
cu alq u iera
p aralela a1 eje Y
y q u e d ista
k u n id ad es d el eje.
S ea l una recta cualquiera
paralela a1 eje Y y que dista
k unidades del eje.
T odo punto de l ,
cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a k .
S ea l u n a recta cu alq u iera
p aralela a1 eje Y y q u e d ista
k u n id ad es d el eje. T o d o p u n to
d e l , cu alq u iera q u e sea el valo r
d e su o rd en ad a , tien e u n a
ab scisa ig u al a k .
Las coordenadas de todos los
puntos de l satisfacen , por tanto ,
la ecuación es x  k .
R ecíprocam ente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es k y situado, por tanto, a una
distancia de k unidades del eje Y ,
y, en consecuencia , está sobre
la rec ta l .
La ecuación de una recta
paralela al eje Y es:
xk
donde k es la distancia
de la recta al eje Y .
L a ecuación de una recta
paralela al eje X es:
y  k
donde k es la distancia
de la recta al eje X .
y 2
2
V im os que se puede determ inar la extensión
de una curva despejando y en función de x
y x en función de y . P ara obtener las asin totas
verticales y horizontales, usarem os estas
m ism as ecuaciones en las que aparecen
despejadas las variables.
P ara o b ten er las ecu acio n es d e las
asín to tas verticales, resu elvase la
ecu ació n d ad a p ara y en fu n ció n
d e x e ig u alese a cero cad a u n o d e
lo s facto res lin eales d el d en o m in ad o r.
A nálogam ente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para x en funcion de y e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denom inador.
E ncontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
xy  y  1  0
E ncontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación
xy  y  1  0
1) D espejar y en función de x
xy  y  1  0
xy  y  1
y  x  1  1
y 
1
x 1
E n co n trar las asín to tas d e la g ráfica
d e la ecu ació n xy  y  1  0 ó
y 
1
x 1
2) H acem os cero los factores lineales
del denom inador; es decir,
x 1 0
ó sea que la asíntota tiene com o ecuació n:
x 1
E ncontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación xy  y  1  0
1) D esp ejar x en fu n ció n d e y
xy  y  1  0
xy  y  1
x 
y 1
y
E n co n trar las asín to tas d e la g ráfica
d e la ecu ació n xy  y  1  0 ó
y 
1
x 1
2 ) H acem o s cero lo s facto res lin eales
d el d en o m in ad o r
y 0
ó sea q u e la asín to ta tien e co m o ecu aci ó n :
y 0
y 0
x 1
E ncontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
y 
x
2
x 1
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
y 
x
2
x 1
2
1) D esp ejar y en fu n ció n d e x
Y a está d esp ejad a, en to n ces ten em o s y 
x
2
x 1
2
p ero d eb em o s escrib ir el d en o m in ad o r co m o
facto res lin eales. E s fácil, facto rizan d o ; ten em o s
y 
x
2
x 1
2

x
2
 x  1  x  1
E n co n trar las asín to tas d e la g ráfica
d e la ecu ació n
y 
x
2
x 1
2

x
2
 x  1  x  1
2 ) H acem o s cero lo s facto res lin eales
d el d en o m in ad o r; es d ecir,
x 1 0
y
x 1  0
ó sea q u e ten em o s d o s asín to tas vertical e s:
x 1
y
x  1
E ncontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
y 
x
2
x 1
2

x
2
 x  1  x  1
2 ) H acem o s cero lo s facto res lin eales
d el d en o m in ad o r; es d ecir,
x 1 0
y
x 1  0
ó sea q u e ten em o s d o s asín to tas vertical e s:
x 1
y
x  1
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
y
1) D esp ejar x en fu n ció n d e y
y 
yx
x
2
x 1
2
2
 1  x
2
yx  x  y  0
2
y
2
 1 x  y  0
2
x
2
x 1
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
y
x
2
x 1
2
1) D espejar x en función de y
 y  1 x
x
2
0 
x
 y0
0  4  y  1   y 
2
2  y  1
y  y  1
 y  1

4 y  y  1
2  y  1

2 y  y  1
2  y  1
E n co n trar las asín to tas d e la g ráfica
d e la ecu ació n xy  y  1  0 ó
y 
1
x 1
2 ) H acem o s cero lo s facto res lin eales
d el d en o m in ad o r
y 1 0
ó sea q u e la asín to ta tien e co m o ecu ació n :
y 1
y
x
2
x 1
2
y
x
2
x 1
2
y 1
x  1
x 1
M ostrar las asíntotas
de la tangente
Las rectas
x

y x
2
son asíntotas.

2
U n a cu rva p u ed e ten er m ás d e u n a
asin to ta vertical u h o rizo n tal.
A si, la cu rva cu ya ecu ació n es
y 
1
 x  1  x  2 
tien e d o s asin to tas verticales,
x  1 y x  2.
P ara m uchas ecuaciones en las variables x e y ,
verem os que, frecuentem ente es ventajoso
investigar el com portam iento de una de las
variables cuando a la otra se le dan valores
cada vez m as grandes en valo r absoluto.
E sto es particularm ente útil para la
determ inación de las asíntotas.
A sí, para la ecuación y 
1
x 1
, si dam os valores
a x cada vez m ás grandes, en valor absolu to, el
valor de y se aproxim a a cero.
E s decir, a m edida que el punto sobre la curva
se aleja indefinidam ente del or igen, ya sea hacia
la derecha o hacia la izquierda, la curva se
aproxim a a la recta y  0 que, por lo tanto, es
una asintota horizontal.
A nálogam ente, si escribim os la
ecuación en la form a
x 1
1
y
vem os que, a m edida que y tom a
valores cada vez m ayores en valor
absoluto x se aproxim a a 1.
P or tanto, x  1 es una asíntota vertícal.
E s u n a g ran ven taja u sar las asin to tas
d e u n a cu rva, cu an d o ex isten , en el
trazad o d e la m ism a.
L as asín to tas actú an co m o lin eas
g u ía d e la g ráfica.
L a d iscu sió n d e u n a ecu ació n y
su rep resen tació n g ráfica co n stitu yen ,
en co n ju n to , u n p ro b lem a d e tan g ran
im p o rtan cia en to d as las ram as d e las
M atem áticas y su s ap licacio n es,
q u e se le h a d ad o el n o m b re esp ecial
d e co n stru cció n d e cu rvas.
E l trazado de una curva consta de los se is puntos siguientes :
1 . D eterm inación de las intersecciones con los ejes coordenados .
2. D eterm inación de la sim etría de la cu rva con respecto a los
ejes coord enados y a1 origen .
3. D etem inación de la extensión de la cu rva.
4. D eterm inación de las ecuaciones de la s asíntotas verticales u
horizontales que la curva puede tener .
5 . C álculo de las coordenadas de un núm ero suficiente de puntos
para obtener una gráfica adecuada .
6. T razado de la curva .
C onstruir la curva cuya ecuación es
x  4x  y  0
4
2
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) C on el X
H acem os y  0 en la ecuación x  4 x  y  0
4
2
lo que nos lleva a x  4 x  0
4
que se factoriza com o x
2
2
x
2
 4  x
T enem os por tanto cuatro raices:
x1   2, x 2  0, x 3  0, x 4  2
2
 x  2 x  2  0
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) C on el X
La gráfica intersecta al eje X en
 2, 0 y 2
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) C on el Y
H acem os x  0 en la ecuación x  4 x  y  0
4
lo que nos lleva a y  0
T enem os una raíz:
y 0
2
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) C on el Y
La gráfica intersecta al eje Y en
y 0
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
2 . S im etrías
a) C o n resp ecto al eje X
L a ecu ació n x  4 x  y  0
4
2
cam b ia a la ecu ació n
x  4x  y  0
4
2
cu an d o in tercam b iam o s  y p o r y .
P o r lo t an t o , L A G R Á F IC A N O E S
S IM É T R I C A R E S P E C T O A L E JE X .
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
2 . S im etrías
b ) C o n resp ecto al eje Y
L a ecu ació n x  4 x  y  0
4
2
cam b ia a la ecu ació n (q u e es la m ism a)
x  4x  y  0
4
2
cu an d o in tercam b iam o s  x p o r x .
P o r lo tan to , L A G R Á F IC A S Í E S
S IM É T R IC A R E S P E C T O A L E J E Y .
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2. S im etrías
c) C on respecto al origen
La ecuación x  4 x  y  0
4
2
cam bia a la ecuación
x  4x  y  0
4
2
cuando intercam biam os  x por x
y  y por y .
P or lo tan to, LA G R Á FIC A N O E S
S IM É T R IC A R E S P E C T O A L O R IG E N .
2
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
2 . S im etrías
L a ú n ica sim etría q u e tien e esta g ráfica
es resp ecto al eje Y .
N o es sim étrica n i resp ecto al eje X ,
n i resp ecto al o rig en .
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
3 . E x ten sió n
a) E n el eje X
D esp ejan d o y d e la ecu ació n
x  4 x  y  0 ten em o s
4
2
y  x  4x
4
2
P o r ta n to , cu alq u ier valo r d e x es p o sib le .
C onstruir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
3 . E x ten sió n
b ) E n el eje Y
D esp ejan d o x d e la ecu ació n
x  4 x  y  0 ten em o s x
4
x  
 
2
  4  
4
 2
  4   4 1    y 
2 1 
16  4 y
2
2
4  y o b ien
2
 
4 2

4 y
2
P o r lo tan to , n ecesariam en te y   4
 
2
4 y
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
3 . E x ten sió n
L a variab le x p u ed e to m ar cu alq u ier
valo r real.
L a variab le y tien e q u e ser m ayo r o
ig u al a m en o s 4 .
E s d ecir,
x R
e
y  4
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
4 . A sín to tas
E sta cu rva n o tien e asín to tas.
2
Construir la curva cuya ecuación es x  4 x  y  0
4
2
5. C álculo de las coordenadas de algunos puntos
6. Construcción de la curva x  4 x  y  0
4
x
y
0.00
0.00
0.25
-0.25
0.50
-0.94
0.75
-1.93
1.00
-3.00
1.25
-3.81
1.50
-3.94
1.75
-2.87
2.00
0.00
2.25
5.38
2.50
14.06
2
6. C onstrucción de la curva x  4 x  y  0
4
16.00
2
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
-2.00
-4.00
-6.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
6. C onstrucción de la curva x  4 x  y  0
4
2
C o n stru ir la cu rva
cu ya ecu ació n es
x y  x  xy  3 x  2
2
2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
x y  x  xy  3 x  2
2
2
1 . In terseccio n es co n lo s ejes.
a) C o n el X
H acem o s y  0 en la ecu ació n x y  x  xy  3 x  2
2
lo q u e n o s lleva a
2
 x  3x  2
2
ó b ien x  3 x  2  0
2
q u e se facto riza co m o
 x  2   x  1  0
T en em o s p o r tan to d o s raices:
x1  1, x 2  2
x y  x  xy  3 x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) C on el X
La gráfica intersecta al eje X en 1 y 2
x y  x  xy  3 x  2
2
2
1 . In terseccio n es co n lo s ejes.
b ) C o n el Y
H acem o s x  0 en la ecu ació n x y  x  xy  3 x  2
2
2
lo q u e n o s lleva a 0  2 q u e n o se satisfa ce p ara
n in g ú n valo r d e y .
P o r tan to , la g ráfica n o in tersecta al e je Y .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) C on el Y
La gráfica no intersecta al eje Y .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
2 . S im etrías
a) C o n resp ecto al eje X
L a ecu ació n x y  x  xy  3 x  2
2
2
cam b ia a la ecu ació n
 x y  x  xy  3 x  2
2
2
cu an d o in tercam b iam o s  y p o r y .
P o r lo tan to , L A G R Á F IC A N O E S
S IM É T R IC A R E S P E C T O A L E J E X .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
2 . S im etrías
b ) C o n resp ecto al eje Y
L a ecu ació n x y  x  xy  3 x  2
2
2
cam b ia a la ecu ació n
x y  x  xy  3 x  2
2
2
cu an d o in tercam b iam o s  x p o r x .
P o r lo tan to , L A G R Á F IC A N O E S
S IM É T R IC A R E S P E C T O A L E JE Y .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
2. S im etrías
c) C on respecto al origen
La ecuación x y  x  xy  3 x  2
2
2
cam bia a la ecuación
 x y  x  xy  3 x  2
2
2
cuando intercam biam os  x por x
y  y por y .
P or lo tant o, LA G R Á FIC A N O E S
S IM É T R IC A R E S P E C T O A L O R IG E N .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
2 . S im etrías
L a g ráfica n o tien e n in g u n a sim etría.
N o es sim étrica
n i co n resp ecto al eje X ,
n i co n resp ecto al eje Y ,
n i co n resp ecto al o rig en O .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
3. E xtensión
a) E n el eje X
D espejando y de la ecuación x y  x  xy  3 x  2
2
2
x  3x  2
2
tenem os y 
x  x  1
P or tanto, cualquier valor de x es posible m enos 0
y  1.
x y  x  xy  3 x  2
2
2
3 . E x ten sió n
b ) E n el eje Y
D esp ejan d o x d e la ecu ació n
x y  x  xy  3 x  2
2
2
ten em o s
x 
y 3
y  14 y  1
2
2  y  1
si y  1
x y  x  xy  3 x  2
2
2
3. E xtensión
b) E n el eje Y
D espejando x tenem os x 
y 3
y  14 y  1
2
2  y  1
A sí que sólo son posibles los valores de y que hacen que
y  14 y  1  0.
2

E sos son lo s y    ,  7  4 3     7  4 3 , 
 

x y  x  xy  3 x  2
2
2
3 . E x ten sió n
b ) E n el eje Y
E n el caso d e y  1 ten em o s q u e la ecu ació n
x y  x  xy  3 x  2
2
2
se tran sfo rm a en
4x  2
ó sea x 
1
2
y es p o sib le el valo r y  1
x y  x  xy  3 x  2
2
2
3 . E x ten sió n
L a ex ten sió n d e la cu rva es
x    ,  

y   , 7  4 3   7  4 3, 



x y  x  xy  3 x  2
2
2
4. A síntotas
a) A síntotas verticales
D espejando y de la ecuación x y  x  xy  3 x  2
2
2
x  3x  2
2
tenem os y 
x  x  1
E s claro de lo que ya hem os es tudiado que tenem os
dos asíntotas verticales x  0 y x   1 .
x y  x  xy  3 x  2
2
2
4 . A sín to tas
a) A sín to tas h o rizo n tales
D esp ejan d o x d e la ecu ació n
x y  x  xy  3 x  2
2
ten em o s
x 
y 3
y  14 y  1
2
2  y  1
P o r lo tan to , es claro q u e ten em o s
u n a asín to ta h o rizo n ta l y  1 .
2
5. C álculo de las coordenadas de algunos puntos
x y  x  xy  3 x  2
2
2
x  3x  2
2
y 
x  x  1
x
-10.00
-9.75
-9.50
-9.25
-9.00
-8.75
-8.50
-8.25
-8.00
-7.75
-7.50
-7.25
-7.00
-6.75
-6.50
-6.25
-6.00
-5.75
-5.50
-5.25
y
X
1.47
1.48
1.50
1.51
1.53
1.55
1.56
1.59
1.61
1.63
1.66
1.68
1.71
1.75
1.78
1.82
1.87
1.92
1.97
2.03
-5.00
-4.75
-4.50
-4.25
-4.00
-3.75
-3.50
-3.25
-3.00
-2.75
-2.50
-2.25
-2.00
-1.75
-1.50
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
Y
2.10
2.18
2.27
2.38
2.50
2.65
2.83
3.05
3.33
3.70
4.20
4.91
6.00
7.86
11.67
23.40
NO
-25.67
-15.00
-15.00
x
y
0.00 NO
0.25 4.20
0.50 1.00
0.75 0.24
1.00 0.00
1.25 -0.07
1.50 -0.07
1.75 -0.04
2.00 0.00
2.25 0.04
2.50 0.09
2.75 0.13
3.00 0.17
3.25 0.20
3.50 0.24
3.75 0.27
4.00 0.30
4.25 0.33
4.50 0.35
4.75 0.38
x
y
5.00
5.25
5.50
5.75
6.00
6.25
6.50
6.75
7.00
7.25
7.50
7.75
8.00
8.25
8.50
8.75
9.00
9.25
9.50
9.75
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.49
0.51
0.52
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
6. C onstrucción de la curva
x y  x  xy  3 x  2
2
2
x y  x  xy  3 x  2
2
2
x y  x  xy  3 x  2
2
2
x y  x  xy  3 x  2
2
2
E l trazad o d e cu rvas se p u ed e sim p lifica r
co n sid erab lem en te p ara cierto s tip o s d e
ecu acio n es a las q u e llam arem o s ecu acio n es
facto rizab les; es d ecir , aq u ellas q u e p u ed en
escrib irse en fo rm a d el p ro d u cto d e d o s o
m ás facto res variab les ig u alad o a cero .
E n g en eral, si la ecu ació n
f  x, y  =0
es facto rizab le; es d ecir, si f  x , y  p u ed e
escrib irse co m o el p ro d u cto d e d o s o m ás
facto res variab les, la g ráfica d e f  x , y 
co n stará d e las g ráficas d e las ecu acio n es
o b ten id a s a1 ig u alar a cero cad a u n o d e esto s
facto res.
T razar la gráfica correspondiente
a la ecuación
f
 x, y  
x  y 0
3
3
T razar la gráfica correspondiente a la e cuación f  x , y   x  y
3
L a ecu ació n
f
 x, y  
x  y 
3
3
se facto riza trivialm en te co m o
f
 x, y    x  y   x
2
 xy  y
2
0
A sí q u e p o r lo q u e acab am o s d e ver, la g ráfica
d e x  y será la g rafica d e las ecu acio n es q u e
3
3
resu ltan al h acer cad a u n o d e lo s fact o res ig u al
a cero .
3
G ráfica de la ecuación f  x , y   x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
L a g ráfica d e
x y 0
es u n a recta q u e p asa p o r el o rig en
co n p en d ien te  1; es d ecir, es u n a
recta q u e p asa p o r el o rig en y q u e
h ace u n án g u lo d e 1 3 5 g rad o s co n
el eje X .
2

x y 0
G ráfica de la ecuación f  x , y   x  y   x  y   x  xy  y
3
3
La ecuación x  xy  y  0
2
2
2
despejar y ,
y 
x  4x
2
2
2

1
3

no tiene una gráfica.
E n efecto, si analizam os su extensión, debem os
x
2
x
2
que es com plejo para todo valor de x ; es decir,
no existe núm ero real x que ha ga que y sea real.
G ráfica de la ecuación f  x , y   x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
P or tanto, la gráfica de la ecuación
x  y 0
3
3
es la de la línea recta
x y 0
2

x  y 0
3
3
T razar la gráfica correspondiente
a la ecuación
f  x, y   x  y  0
2
2
G ráfica d e la ecu ació n f
 x, y   x  y
2
2
L a ecu ació n
f
 x, y  
x  y  0
2
2
se facto riza trivialm en te co m o
f
 x, y    x  y   x  y  
0
A sí q u e p o r lo q u e acab am o s d e ver, la g ráfica
de x  y
2
2
será la g rafica d e las ecu acio n es q u e
resu ltan al h acer cad a u n o d e lo s facto r es ig u al
a cero .
G ráfica de la ecuación f  x , y   x  y   x  y   x  y 
2
2
L a g ráfica d e
x y 0
es u n a recta q u e p asa p o r el o rig en co n
p en d ien te  1; es d ecir, es u n a recta
q u e p asa p o r el o rig en y q u e h ace u n
án g u lo d e 1 3 5 g rad o s co n el eje X .
x y 0
G ráfica de la ecuación f  x , y   x  y   x  y   x  y 
2
2
L a g ráfica d e
x y  0
es u n a recta q u e p asa p o r el o rig en co n
p en d ien te 1; es d ecir, es u n a recta q u e
p asa p o r el o rig en y q u e h ace u n
án g u lo d e 4 5 g rad o s co n el eje X .
x y 0
T razar la g ráfica co rresp o n d ien te a la e cu ació n f
 x, y  
x  y
2
P or tanto, la gráfica de la ecuación
x  y 0
2
2
son dos líneas rectas.
A m bas pasan por el origen,
una hace con el eje X un ángulo de 135 grados
y la otra hace con el eje X un ángulo de 45 grados
2
x  y 0
2
2
Considere un sistema de dos
ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
Si sus gráficas se cortan en uno ó más
puntos, cada uno de estos puntos se
llama punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
La interpretación analítica de un punto
de intersección de las dos gráficas, es
que es un punto cuyas coordenadas
representan una solución común a las
dos ecuaciones
2x  y  1
3x  y  9
2x  y  1
3x  y  9

5 x  10
2x  y  1

5 x  10
10
x
2
5
3x  y  9
2x  y  1
3x  y  9

5 x  10
10
x
2
5

y  2x  1  2  2  1  3
2x  y  1
3x  y  9

x2
y3
Encontrar la intersección de las curvas
2x  y  1
y
3x  y  9
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
y
5
4
2x  y  1
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
3x  y  9
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
2x  y  1
5
4
3x  y  9
 2, 3 
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 8
2
2
y
y  2x
2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
y
x  y 8
2
2
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
y  2x
2
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
x  y 8
2
2
y
5
4
y  2x
 2, 2 
2
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
 2, 2 
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 8
2
2
y
y  2x
2
Hay dos puntos de intersección:
 2, 2 
y
 2, 2 
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 8
2
2
y
y  2x
2
x  2x  8
2
x  2x  8  0
2
x
2 
4  4 1 8 
2
x1  2
x2  4

2 
2
36

2  6
2
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 8
2
2
y
x1  2
y
y  2x
2
x2  4
2x
y1   2  2   4  2
y2 
8
No existe
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 8
2
2
y
y  2x
2
x1  2
y1  2
x2  2
y2  2
x  y 8
2
2
y
5
4
y  2x
 2, 2 
2
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
 2, 2 
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 1
2
2
Ejercicio 18,
parágrafo 21,
página 49
y
x y 4
2
2
x  y 1
2
2
y
x y 4
2
2
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
x  y 1
2
2
x  y 1
2
2
y
x y 4
2
y
2
x y 4
2
2
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2x  5
2
y por tanto, x  
5
2
x  y 1
2
2
x  y 1
2
2
y
x y 4
2
y
2
x y 4
2
Sustituyendo x  
2
5
en la primera
2
obtenemos
5
 y 1
2
2
que nos da y 
1
5
2


3
2
que no existe en los números reales.
x  y 1
2
2
Las dos curvas
no se intersectan,
como es evidente
de sus gráficas.
y
x y 4
2
2
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Construcción de la curva