1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Las operaciones
fundamentales del álgebra
son la adición, la
sustracción, la
multiplicación y la división.
El primer paso en la creación
del sistema de los números
reales fue la invención de los
enteros positivos 1, 2, 3 ... , o
números empleados para
contar un conjunto de objetos.
L os núm eros enteros positivos
ó núm eros naturales
1, 2, 3,  
los denotarem os com o
N
Cuando uno suma dos
números naturales (dos
números enteros
positivos) el resultado
es, siempre, otro
número natural.
Cuando uno suma dos números naturales (dos
números enteros positivos) el resultado es, siempre,
otro número natural.
Se dice entonces que el conjunto
de los números naturales es
cerrado con respecto a la
operación de suma.
Cuando uno multiplica
dos números naturales
(dos números enteros
positivos) el resultado
es, siempre, otro
número natural.
Cuando uno multiplica dos números naturales (dos
números enteros positivos) el resultado es, siempre,
otro número natural.
Se dice entonces que el conjunto
de los números naturales es
cerrado con respecto a la
operación de multiplicación.
Sin embargo, si uno
sustrae dos números
enteros positivos, el
resultado no
necesariamente es un
número entero positivo.
Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros
positivos, el resultado no necesariamente es un
número entero positivo.
P or ejem plo, si tenem os
79?
Lo mismo sucede en el
caso de la división.
El cociente de dos
números enteros
positivos, no es en general
un número entero.
Evidentemente, un conjunto
numérico es inadecuado si la
suma, el producto, la
diferencia o el cociente de dos
de los números del sistema no
es también un elemento del
sistema.
Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado
si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de
dos de los números del sistema no es también un
elemento del sistema.
Por ejemplo, no existe ningún
entero positivo que sea igual a 5 - 9
ó a 5 ÷ 9.
Esto es, la sustracción y la división
sólo pueden aplicarse de manera
limitada a los enteros positivos.
Se dice que un conjunto de
números es un conjunto
cerrado, para una operación, si
al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el
resultado es también un
elemento del conjunto.
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
Puesto que la suma y el producto de
dos enteros positivos cualesquiera es
también un entero positivo, entonces
el conjunto de los enteros positivos es
un conjunto cerrado con respecto a la
adición y la multiplicación
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
En cambio, la diferencia y el cociente
de dos enteros positivos no conduce
siempre a un entero positivo, esto es,
el conjunto de los enteros positivos
no es un conjunto cerrado con
respecto a la sustracción y la división.
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado,
para una operación, si al aplicar dicha operación a dos
elementos del conjunto el resultado es también un elemento
del conjunto.
El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto
cerrado con respecto a la sustracción y la división.
Es así como se origina la necesidad
de ampliar el sistema. (Recuérdese
que el sistema numérico es una
invención).
La solución de problemas
prácticos, esencialmente la
solución de ecuaciones, llevo,
de manera natural, a la
introducción de los números
enteros negativos.
Si tengo 4 pesos y un
pan cuesta 5, ¿cuánto
tengo?
¿4-5=?
Así el conjunto de los
números enteros está
constituido por los números
naturales, el cero y los
números enteros
negativos.
E l conjunto de los núm eros enteros
...,  5,  4,  3,  2,  1, 0,1, 2, 3, 4, 5,...
lo denotarem os com o
Z
Z  ...,  5,  4,  3,  2,  1, 0,1, 2, 3, 4, 5,...
El conjunto de los números
enteros es cerrado para las
operaciones de suma, resta y
multiplicación.
¿Qué número multiplicado por
2 nos da 1?
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?
Evidentemente esta pregunta
no tiene respuesta “dentro de
los números enteros”.
El conjunto de los números
enteros no es cerrado con
respecto a la operación de
división.
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?
El conjunto de los números enteros no es
cerrado con respecto a la operación de división.
Para responder esta
pregunta tenemos que
“inventar” los números
racionales.
Los números racionales
son aquellos que se
escriben como el
cociente de dos
números enteros.
Los números racionales son aquellos que se
escriben como el cociente de dos números enteros.
Las fracciones son los núm eros racionales.
Los núm eros
3
5
,
7
3
, 
1
9
son núm eros racionales.
,
1
2
, 
23
54
A lo s n ú m ero s racio n ales
lo s d en o tarem o s co m o
Q
N o tese q u e lo s n ú m ero s racio n ales
co n tien en a lo s n ú m ero s en tero s,
q u e a su vez, co n tien en a lo s
n ú m ero s n atu rales.
E s d ecir,
N  Z  Q
E xisten núm eros, com o
2 que
no se puede expresar com o el
cociente de dos núm eros enteros.
A dichos núm eros se les llam a
n ú m eros irracion ales .
A l co n ju n to d e to d o s lo s n ú m ero s,
se les llam a n ú m ero s rea les .
La interpretación de los
números como distancias es
útil para definir y para
comprender las ampliaciones
del sistema numérico.
L´
L
Interpretación de los números como distancias. La interpretación
de los números como distancias es útil para definir y para comprender
las ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usarán
la línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella,
y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos de
longitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea.
Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi·
vamente los enteros 1, 2, 3 ... Se tiene así la certeza de que cada uno
de los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de los
números enteros como con una distancia que representa a cada uno
Definición del sistema de los números reales, Se define el conjunta
de los números reales como el conjunto de los números r que se pueden
asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera
que cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a la
derecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo;
si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa,
además, a los números positivos de los números negativos.
El valor absoluto o valor numérico de
un número se define como sigue:
a)El valor absoluto o valor numérico
de un número real positivo es el
número mismo.
b)El valor absoluto o valor numérico
de un número real negativo es el
mismo número con signo opuesto.
El valor absoluto o valor
numérico de un número es el
número “en si”, sin el signo.
El valor absoluto, es por tanto,
siempre un número positivo.
El valor absoluto de un número n, se
representa por medio del símbolo
│n│
y se puede imaginar como la
distancia entre O y el punto que
representa a n en la escala de los
números reales.
El valor absoluto o valor numérico de
un número se define como sigue:
a)El valor absoluto o valor numérico
de un número real positivo es el
número mismo.
b)El valor absoluto o valor numérico
de un número real negativo es el
mismo número con signo opuesto.
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Un grupo de números y letras
combinadas entre sí mediante
una o más de las operaciones
fundamentales recibe el
nombre de expresión
algebraica.
Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante
una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre
de expresión algebraica.
Las siguientes son expresiones algebráic as:
5x  3y
a  2 ab  b
2
1
f

1
q
2
 3 qw 
1
r
r r
3
2
Un número o una letra, o
varios números y letras,
combinados entre sí mediante
las operaciones de
multiplicación o de división,
o de ambas, recibe el nombre
de término
Un número o una letra, o varios números y letras, combinados
entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de
división, o de ambas, recibe el nombre de término
E jem p lo s:
3
3 xy z
3
4
a b c
2
3x y
23
37
2
d f
3
Puesto que un término no implica
ni adición ni sustracción, todo
grupo de letras que en una
expresión algebraica esté
separado de otros grupos
mediante los signos más o menos
es un término.
Puesto que un término no implica ni adición ni
sustracción, todo grupo de letras que en una
expresión algebraica esté separado de otros grupos
mediante los signos más o menos es un término.
De acuerdo con lo anterior, el
signo de un término es el signo
que lo precede.
Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de
letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos
mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior,
el signo de un término es el signo que lo precede.
E n la expresión
3x y  5x y z 
2
3
2
2
xyz 
3
1
4
x yz
7
2
son térm inos
3x y,  5 x y z, 
2
3
2
2
3
xyz , 
1
4
x yz
7
2
y los que están en rojo son sus signos.
Si un término está compuesto
de un número y una o más
letras, el número recibe el
nombre de coeficiente
numérico de las letras en el
término.
Si un término está compuesto de un número y una o
más letras, el número recibe el nombre de
coeficiente numérico de las letras en el término.
E n lo s térm in o s
3x y,  5 x y z, 
2
3
2
2
xyz , 
3
1
2
lo s co eficien tes n u m érico s so n :
+3,
 5,

2
3
,
+
1
2
4
x yz
7
Si un término está compuesto de un número y una o
más letras, el número recibe el nombre de
coeficiente numérico de las letras en el término.
Comúnmente al hablar del
coeficiente numérico se dice
simplemente el coeficiente.
Una expresión
algebraica que contiene
solamente un término
se denomina
monomio.
Una expresión
algebraica que contiene
exactamente dos
términos se denomina
bimonomio.
Una expresión
algebraica que contiene
exactamente tres
términos se denomina
trinomio.
Las expresiones
algebraicas que
contienen más de tres
términos se denominan
multinomios.
En realidad se le puede
decir multinomio a
cualquier expresión
algebraica que contenga
más de un término.
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
En álgebra los términos suma y
diferencia se usan en el mismo
sentido que en aritmética, si se
aplican a números positivos.
Sin embargo, su aplicación a
números negativos hace
necesario precisar el
procedimiento de adición.
Esta operación más amplia, que se
conoce como adición algebraica, se
describe en el regla siguiente:
La suma algebraica de dos números con
el mismo signo es la suma de los valores
absolutos de los dos números, precedida
de su signo común; la suma algebraica
de dos números con signo diferente es la
diferencia de los valores absolutos de los
números, precedida por el signo del
número de mayor valor absoluto.
Para hacer la suma de varios términos que poseen
las mismas letras, se efectúa la suma aritmética de
los coeficientes y se agrega el grupo de letras.
3
3
3
La sum a de 4 a b y 7 a b es: 11a b
La sum a de  3 x y z y  2 x y z es:  5 x y z
2
2
2
2
La sum a de  12 st y  9 st es:  3 st
2
2
La suma de dos o más
términos que contienen
letras diferentes puede ser
solamente expresada
colocando un signo más
entre ellos.
La suma de dos o más términos que contienen letras
diferentes puede ser solamente expresada colocando un
signo más entre ellos.
Por ejemplo, la suma de
-1ab y 3cd
es
-1ab + 3cd.
En aritmética se puede comprobar que, para
cualquier par de números que se ensaye, la
suma es la misma independientemente del
orden en que se efectúe la adición.
Esto se conoce como la propiedad
conmutativa de la adición.
Consideraremos que esto es cierto para todos
los números y tendremos entonces el axioma
siguiente:
La adición es conm utativa.
E s decir,
abba
Otra propiedad de la adición, que
puede comprobarse fácilmente
para cualesquiera tres o más
números dados, es que la suma
es la misma independientemente
del orden en el cual los números
se adicionen.
Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse
fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es
que la suma es la misma independientemente del orden en el
cual los números se adicionen.
Por ejemplo,
2 + 3 + 7 = 5 + 7 = 2 + 10 = 9 + 3 = 12.
Consideraremos que esta propiedad,
conocida como la propiedad asociativa
de la adición, es válida para todos los
números.
De ese modo tenemos el axioma
siguiente, en el cual los paréntesis se
usan para indicar el orden en que se
efectúa la adición:
L a adición es asociativa.
E s decir,
a  b  c   a  b   c
Estos dos axiomas son la base del
procedimiento usual para encontrar
la suma de dos o más expresiones.
Esto es, del procedimiento en el
cual se escribe cada expresión
debajo de la que le precede, y al
mismo tiempo, se ordenan los
términos de tal modo que los que
contienen las mismas letras
queden formando columnas.
S u m ar las ex p resio n es
3 x + x  1;
2
2  2 x  3 x;
2
4x  3  x
2
S um ar las expresiones
3 x + x  1;
2  2 x  3 x;
2
4x  3  x
2
3x
2
 x
1
2x
2
 3x
2
x
2
 4x
3
2
E l proceso de restar o sustraer
b de a
equivale a encontrar una x ,
tal que
a b x
E l proceso de restar o sustraer b de a
equivale a encontrar una x , tal que a  b  x
S e determ ina x sum ando  b
a cada m iem bro de la igualdad ,
obteniéndose
a   b   b  x   b   x
Con ello se verifica la regla usual
de la sustracción:
Para restar una cantidad de
otra se cambia el signo del
“sustraendo” y se procede
como en la adición.
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4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
Cuando un grupo de términos en
una expresión algebraica van a ser
manejados como un solo número,
se encierran
en paréntesis, ( );
en corchetes, [ ];
o bien en llaves, { }.
Estos símbolos se usan
también para indicar que
se van a efectuar ciertas
operaciones algebraicas y
el orden en el cual deben
efectuarse.
Con objeto de efectuar las
operaciones indicadas mediante
el uso de los símbolos de
agrupación, se necesita quitar
dichos símbolos antes de llevar
a cabo la operación final.
Si la operación indicada es la
adición, se puede, por el
axioma de la asociatividad,
omitir los símbolos de
agrupación y combinar los
términos en el orden que se
desee.
Si la operación indicada es
la sustracción, el grupo de
términos encerrados en el
paréntesis precedido del
signo menos, es el
sustraendo.
Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos
encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el
sustraendo.
Por tanto, de acuerdo con la
definición de sustracción, se
cambian todos los signos del
sustraendo, se omiten los símbolos
de agrupación y se combinan
después los términos en el orden
que se desee.
Se tiene el siguiente procedimiento para
eliminar los símbolos de agrupación en una
expresión algebraica:
Si en una expresión algebraica es
necesario eliminar la pareja de
símbolos de agrupación precedido por
un signo menos, debe cambiarse
el signo de cada uno de los términos
encerrados por estos símbolos.
Se tiene el siguiente procedimiento para
eliminar los símbolos de agrupación en una
expresión algebraica:
Sin embargo, si los símbolos de
agrupación están precedidos por
un signo más, pueden
eliminarse sin ningún cambio en
la expresión.
Si en una expresión algebraica es
necesario insertar un par de
símbolos de agrupación precedido
de un signo menos, deben
cambiarse los signos de cada uno
de los términos que quedan
encerrados.
Cuando una expresión
algebraica contiene uno o
más pares de símbolos de
agrupación, encerrados en
otro par, se eliminará
primero el de más adentro.
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
E l producto de dos núm eros
a yb
se expresa com o:
ab
a b
ab
ab
Multiplicando
Multiplicador
ab
Producto
Cada uno de los números
que aparecen en el
producto, o el producto de
dos o más de ellos, es un
factor del producto.
Ya que cualquier número n
es igual a
n×1
resulta que n es un factor
de sí mismo.
Cualquier número que no
tenga otro factor que él
mismo y uno, se llama
número primo.
La m ultiplicación es conm utativa,
esto es
ab  ba
L a m u ltip licació n es aso ciativa,
esto es
a  bc    ab  c
La m ultiplicación es distributiva
con respecto a la adición,
esto es
a  b  c   ab  ac
 E l producto de dos factores del
m ism o signo es positivo.
 E l producto de dos factores de
signos diferentes es negativo
1.El sistema de los números reales
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4.Símbolos de agrupación
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6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
E l producto
aa
se escribe a
2
y se llam a a cuadrada.
E l p ro d u cto
aaa
se escrib e a
3
y se llam a a cú b ica.
E l producto
a  a  a  ...  a
n veces, se escribe a
n
y se llam a enésim a potencia de a
ó a a la n .
S i n es un entero positivo, el sím bolo a
n
se denom ina la enésim a potencia de a
y es el producto de n factores, cada uno
de los cuales es a .
S i n es un entero positivo, el sím bolo a
n
se denom ina la enésim a potencia de a
y es el producto de n factores, cada uno
de los cuales es a .
La letra a se llam a la base
y n el exponente.
El exponente
a
La base
n
P o d em o s en u n ciar
el sig u ien te teo rem a:
a a
n
m
 a
nm
a a
n
m
 a
nm
D em o stració n :
a a
n
m
  a  a  a  ...  a    a  a  a  ...  a 
n veces
m veces
C o m o la m u ltip licació n es aso ciativa,
a a
n
m
  a  a  a  ...  a 
n  m veces
Y p o r la d efin ició n d e p o ten ciació n ,
a a
n
m
 a
nm
T eo rem a:
a b   ab 
n
n
n
a b   ab 
n
n
n
D em ostración:
a b   a  a  a  ...  a    b  b  b  ...  b 
n
n
n veces
n veces
C om o la m ultiplicación es asociativa,
a  b   ab  ab  ab  ...  ab 
n
n
n veces
Y por la definición de potenciación,
a b   ab 
n
n
n
T eorem a:
a 
n
p
a
np
a 
n
p
a
np
D em o stració n :
a
n

p
  a  a  a  ...  a
n
n
n
n

p veces
P o r la p rim era ley d e lo s
ex p o n en tes en la m u ltip licació n ,
a
n

p
n  n  n  ...  n
 a
p veces
y p o r tan to ,
a
n

p
 a
np
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8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
E l producto de un m onom io por
un m ultinom io es la sum a de los
productos del m onom io por cada
uno de los térm inos del m ultinom io.
E l producto de dos m ultinom ios es
igual a la sum a de los productos
obtenidos al m ultiplicar cada
térm ino de un m ultinom io por
cada térm ino del otro.
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10.Operaciones en que aparece el cero
S i a y b son dos núm eros y si b  0,
se acostum bra indicar la división
de a entre b , sea por el uso del signo
de división a  b , sea escribiendo
los dos núm eros a m odo de fracción,
a
b
.
E l núm ero a se llam a dividendo,
el núm ero b se llam a divisor
y el resultado de la operación
se llam a cociente.
Dividendo
a
Cociente
Divisor
b
La ley de los signos para la división es
sim ilar a la anteriorm ente establecida
para la m ultiplicación:
E l cociente de dos núm eros del m ism o
signo es positivo.
E l cociente de dos núm eros de signos
diferentes es negativo.
 E l cociente de dos núm eros del
m ism o signo es positivo.
 E l cociente de dos núm eros de
signos diferentes es negativo.
T eorem a:
a
m
a
n
 a
mn
con a  0, m y n enteros,
y m  n.
T eorem a:
a
m
a
n
mn
 a
con a  0, m y n enteros, y m  n.
D em o stració n :
a
m
a
n

a
m
m

a 1
mn
a
n
a
n
a
n

a a
a
 1a
m
0
n
mn

a a
a
 a
mn
nn
n

T eo rem a:
n
n
a
a
   n
b
b
co n b  0, y n en tero p o sitivo .
1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
E l cociente que se obtiene al dividir
un m ultinom io entre un m onom io
es la sum a de los cocientes que
resultan de dividir cada térm ino
del m ultinom io por el m onom io.
E l cociente que se obtiene al dividir un m ultinom io entre
un m onom io es la sum a de los cocientes q ue resultan de
dividir cada térm ino del m ultinom io por el m onom io.
E l cociente que se obtiene al dividir un m ultinom io entre
un m onom io es la sum a de los cocientes q ue resultan de
dividir cada térm ino del m ultinom io por el m onom io.
3 x yz  12 x y z  21 xyz
2
3
2
3 xyz
2
2
E l cociente que se obtiene al dividir un m ultinom io entre
un m onom io es la sum a de los cocientes q ue resultan de
dividir cada térm ino del m ultinom io por el m onom io.
3 x yz  1 2 x y z
2
3
2
2
 2 1 xyz
2

3 xyz
2

3 x yz
3

3 xyz
2
12 x y z
3 xyz
 x  4 x yz  7 z
2
2

2 1 xyz
3 xyz
2

P ara dividir
un m ultinom io por otro m ultinom io
se efectúan los siguientes pasos:
1. T anto el dividendo com o el divisor
se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de
alguna letra que aparezca en am bos.
2. S e divide el prim er térm ino del
dividendo por el prim er térm ino
del divisor y se obtiene así el
prim er térm ino del cociente.
3. S e m ultiplica el divisor por el
prim er térm ino del cociente y el
producto obtenido se sustrae
del dividendo.
4. E l residuo obtenido en el paso
anterior se trata com o un nuevo
divisor y se repiten con él los
pasos 2 y 3.
5 . S e co n tin ú a este p ro ceso h asta
o b ten er u n resid u o en el cu al el
m ayo r ex p o n en te d e la letra q u e
en el p aso 1 se esco g ió co m o b ase
d e la o rd en ació n sea m en o r q u e
el m ayo r ex p o n en te d e d ich a letra
en el d iviso r.
P ara d ivid ir u n m u ltin o m io p o r o tro m u lt in o m io se efectú an lo s sig u ien tes
p aso s:
1 . T an to el d ivid en d o co m o el d iviso r se d isp o n en en o rd en ascen d en te
o d escen d en te d e las p o ten cias d e alg u n a letra q u e a p arezca en
am b o s.
2 . S e d ivid e el p rim er térm in o d el d ivid en d o p o r el p rim er térm in o
d el d iviso r y se o b tien e así el p rim er térm in o d el co cien te.
3 . S e m u ltip lica el d iviso r p o r el p rim e r térm in o d el co cien te y el
p ro d u cto o b ten id o se su strae d el d ivid en d o .
4 . E l resid u o o b ten id o en el p aso an terio r se trata co m o u n n u evo
d iviso r y se rep iten co n él lo s p aso s 2 y 3 .
5 . S e co n tin ú a este p ro ceso h asta o b ten er u n resid u o en el cu al el
m ayo r ex p o n en te d e la letra q u e en el p a so 1 se esco g ió co m o b ase d e
la o rd en ació n sea m en o r q u e el m ayo r ex p o n en te d e d ich a letra en el
d iviso r.
D ividir
 2 b  2 a  3 ab
2
entre
2a  b
2
 2 b  2 a  3 ab
2
2
2a  b
1. T anto el dividendo com o el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en am bos.
2 a  3 ab  2 b
2
2a  b
2
2 a  3 ab  2 b
2
2
2a  b
1. T anto el dividendo com o el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en am bos.
2 a  b 2 a  3 ab  2 b
2
2
2 a  3 ab  2 b
2
2
2a  b
1. T anto el dividendo com o el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en am bos.
2 a  b 2 a  3 ab  2 b
2
2
2 a  b 2 a  3ab  2b
2
2
2 . S e d ivid e el p rim er térm in o d el d ivid en d o p o r el p rim er térm in o
d el d iviso r y se o b tien e así el p rim er térm in o d el co cien te.
a
2 a  b 2 a  3 ab  2 b
2
2
a
2 a  b 2 a  3 ab  2 b
2
2
3. S e m ultiplica el divisor por el prim e r térm ino del cociente
y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
a
2a  b
2 a  3 ab  2 b
2
2
 2 a  ab
______________
2
 4 ab  2 b
2
4. E l residuo obtenido en el paso anteri or se trata com o
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
a  2b
2a  b
2 a  3ab  2b
2
2
__2_a_ _ 
_ _a_b_ _ _ _ _ _
2
 4 ab  2b
2
4. E l residuo obtenido en el paso anteri or se trata com o
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
a  2b
2a  b
2 a  3ab  2b
2
2
__2_a_ _ 
_ _a_b_ _ _ _ _ _
2
 4 ab  2b
2
_ __4_a_b_ __2_b_
0
2
5. S e continúa este proceso hasta obtene r un residuo en el cual el
m ayor exponente de la letra que en el pa so 1 se escogió com o base de
la ordenación sea m enor que el m ayor exp onente de dicha letra en el
divisor.
a  2b
2a  b
2 a  3ab  2b
2
2
__2_a_ _ 
_ _a_b_ _ _ _ _ _
2
 4 ab  2b
2
_ __4_a_b_ __2_b_
0
2
 2 b  2 a  3 ab
2
2
2a  b
 a  2b
D ivid ir
1 0 xy  5 y  2 x  x  4 x y  2 xy
2
2
3
en tre
 2 xy  x  5 y
2
2
2
2
10 xy  5 y  2 x  x  4 x y  2 xy
2
2
3
2
 2 xy  x  5 y
2
2
2
1. T anto el dividendo com o el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en am bos.
E legim os la letra x que aparece tanto
en el dividendo com o en el divisor
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
x  2 xy  5 y
2
2
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
x  2 xy  5 y
2
2
2
1. T anto el dividendo com o el divisor se disponen en orden ascendente
o descendente de las potencias de alguna letra que aparezca en am bos.
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  1 0 xy  5 y
3
2
2
2
2
2 . S e d ivid e el p rim er térm in o d el d ivid en d o p o r el p rim er térm in o
d el d iviso r y se o b tien e así el p rim er térm in o d el co cien te.
2x
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
2x
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
3. S e m ultiplica el divisor por el prim e r térm ino del cociente
y el producto obtenido se sustrae del dividendo.
2 x
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
 2x
 4x y
 10 xy
___________________
__________
3
2
x
2
2
 2 xy
 5y
2
4. E l residuo obtenido en el paso anteri or se trata com o
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
2 x  1
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
 2x
 4x y
 10 xy
___________________
__________
3
2
x
2
2
 2 xy
 5y
2
4. E l residuo obtenido en el paso anteri or se trata com o
un nuevo divisor y se repiten con él los pasos 2 y 3.
 2 x +1
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
______________________________
2x
 4x y
3
2
x
2
 2 xy
 5y
2
x
 2 xy
5y
__________________________
2
2
0
5. S e continúa este proceso hasta obtene r un residuo en el cual el
m ayor exponente de la letra que en el pa so 1 se escogió com o base de
la ordenación sea m enor que el m ayor exp onente de dicha letra en el
divisor.
 2 x +1
x  2 xy  5 y
2
2
2 x  x  4 x y  2 xy  10 xy  5 y
3
2
2
2
2
_________________
2x
 4x y
_____________
3
2
x
2
 2 xy
 5y
2
x
 2 xy
5y
__________________________
2
2
0
10 xy  5 y  2 x  x  4 x y  2 xy
2
2
3
2
 2 xy  x  5 y
2
 2x  1
2
2

1.El sistema de los números reales
2.Definiciones básicas
3.Adición y sustracción
4.Símbolos de agrupación
5.Multiplicación
6.Exponentes en la multiplicación
7.Productos que incluyen multinomios
8.Los exponentes en la división
9.Divisiones que incluyen multinomios
10.Operaciones en que aparece el cero
S i el cero es considerado com o la ausencia
total de cantidad, entonces es evidente que:
n0n
n0  0
y
0
n
0
T enem os las ecuaciones
0 1  0
y
02  0
T enem os las ecuaciones
0 1  0
y
02  0
E ntonces, igualando:
0 1  0  2
0
D ividiendo:
0
y finalm ente
1 2
2
0
1 1  1  2
P or tanto,
¡¡¡¡¡
1 
0
!!!!!!
T enem os las ecuaciones:
 x  x x  0
y x x 0
2
2
T enem os las ecuaciones:
 x  x x  0
Ig u alan d o :
D ivid ien d o :
y x x 0
2
2
x  x x
  x  x x  x
x  x x
 x  x x  x
x x

S im p lific an d o :
x  x x
S u m an d o :
x  2x
y fin alm en te
1 2
x x
S i el cociente que se obtiene al dividir
a entre b se define com o el valor de a
tal que a  bx , entonces, para b  0 y
a  0, se obtiene a  0 x , y, por tanto,
no existe valor de x que satisfaga esa
expresión, ya q ue siem pre x  0  0.
S i b  0 y a  0, entonces 0  0 x ,
expresión que se satisface con
cualquier valor de x ; esto es,
0
0
, no existe com o núm ero único.
E n consecuencia,
¡¡¡¡¡ la división entre cero
quedará excluida!!!!!
E l sím b o lo a
n
se h a d efin id o
cu an d o n es u n en tero p o sitivo ,
p ero esta d efin ició n carece d e
sig n ificad o cu an d o n  0 .
S in em bargo, si se exige que la ecuación
a
m
a
n
a
mn
con a  0, m y n enteros, y m  n .
sea válida para m  n , se tiene
a
n
a
n
a
nn
a
0
con a  0
E n consecuencia, ya que
0
a
n
a
n
es igual a 1,
el valor de a se define com o igual a 1 y
se tiene a  1 con a  0.
0
0
E sta definición de a es consistente
tam bién con la ecuación a  a
n
ya que a  a  a
n
0
n0
m
a
nm
a .
n
E ste es el resultado que debe esperarse
0
si a = 1.
,
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Algebra Capitulo 1