INVERSA
DE UNA
FUNCIÓN
UNIDAD I
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.3.3
J. Pomales
CeL
INTRODUCCIÓN
Como hemos definido en clases pasadas,
una función es una regla de
correspondencia entre dos conjuntos de tal
manera que a cada elemento del primer
conjunto le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto.
Pensando en esto, hoy:
Verificaremos si una función es 1-1
Hallaremos su inversa
Utilizaremos la composición de funciones
para determinar que dos funciones son
inversas.
Utilizar el GeoGebra para trazar y construir
la inversa de funciones.
FUNCIÓN
1-1
FUNCIÓN INYECTIVA
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
...EN UNA TABLA DE VALORES?
Aquí es solamente observando el
dominio. Será una función si los
valores del dominio no se repiten.
No olvides 
Dominio: x
Recorrido: y
x
y
x
y
x
y
x
y
2
1
0
-1
4
2
1
½
2
1
0
-1
-3
-1
1
3
2
1
1
0
1
2
3
4
3
1
0
-1
-6
2
3
2
-2 ¼
Es
función
-2 5
Es
función
-1 5
No es
función
Repite el dominio
-3
-6
Es
función
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
...EN LOS CONJUNTOS?
Será una función si para cada
elemento del dominio existe un solo
elemento en el recorrido.
No olvides 
0
2
Dominio: x
f (x)
3
1
-2
Recorrido: y
g (x)
0
1
-2
1
2
0
3
2
-1
Es función
No es función
Para cada elemento del
dominio hay un elemento
en el recorrido.
Fíjate que un elemento
del dominio tiene dos
valores en el recorrido.
¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN…
...EN UNA GRÁFICA?
Si al pasar la línea vertical sobre las
gráficas, esta sólo las interseca en
un solo punto a la vez podremos
concluir que son funciones.
Las gráficas A y C son funciones.
A
B
C
Es
función
No es
función
Es
función
Línea vertical toca en más de 1 punto
CONTESTA LO SIGUIENTE
Estas gráficas, ¿serán funciones?
Sí, pues cumplen con el análisis de
la línea vertical.
¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas?
Cuadrática
(Parábola)
Valor absoluto
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1?
ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA
Es la característica de aquellas
funciones que poseen un solo valor
del dominio para un solo valor del
recorrido. Una sola x para una sola y.
De ahí proviene el nombre 1-1.
Si tenemos una tabla de valores de una
función podremos decir que es una
función inyectiva o 1-1, si no existen
valores repetidos en el recorrido.
Pero si lo que tenemos es la gráfica de
una función podremos hacer un análisis
con la línea horizontal.
PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL
PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1
Haremos un proceso similar a la
línea vertical pero ahora será con la
línea horizontal. Si toda línea
horizontal que se dibuje sobre la
gráfica la interseca en no más de un
punto, decimos que es función
inyectiva ó 1-1.
No es función 1-1
Es función 1-1
FUNCIÓN
INVERSA
f
-1(x)
Esto
NO REPRESENTA
un exponente
ANALIZA LO SIGUIENTE
Si las siguientes tablas
corresponden a dos funciones 1-1
(inyectivas), ¿qué puedes decir con
relación a sus dominios y
recorridos?
Función A
Los elementos del
dominio y recorrido
están
intercambiados.
Es decir, la Función
B es la inversa de
la A.
Función B
x
y
x
y
2
1
0
4
2
1
4
2
1
2
1
0
-1
-2
½
¼
½
¼
-1
-2
¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1?
Si una función es 1-1 entonces tiene
función inversa. La función inversa
consiste en intercambiar entre sí el
conjunto del dominio y el recorrido.
f
Si una función tiene inversa se
puede escribir así:
-1 ó f -1(x) se lee “inversa de f ”
Ejemplos:
Halla la inversa de la función, si existe.
1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)}
f -1(x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)}
2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)}
g(x) no es 1-1, no tiene g-1
CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA
EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES
Como hemos visto anteriormente,
conseguir la función inversa en
funciones definidas por su conjunto
de dominio y recorrido es muy fácil.
Pero ¿qué hacemos para calcular f -1
si la función está definida por una
ecuación?
Método para calcular la inversa de una función:
1. Sustituye f(x) por y.
2. Intercambia entre ellas todas las x y las y.
3. Despeja para y.
4. Sustituye y por f -1(x).
CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA
EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES
Para comprobar si la función inversa
es correcta, solo tienes que hacer la
composición de ambas funciones
[ f (x) y f -1(x) ] en cualquier orden.
Si todo está correcto debes obtener
la función identidad:
f o f -1 = x
y
f -1 o f = x
Si dibujamos ambas gráficas podrías
observar que f -1 tiene una gráfica que es el
reflejo de la función original, a lo largo de la
recta y = x, con el mismo dominio.
LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA
La gráfica de f -1 es una reflexión de f
con respecto a la recta y = x.
f -1 es la imagen espejo de f
En este caso
f (x) inicia en
(2, 0). Por lo
tanto su f -1
tiene que
iniciar en ese
par ordenado
pero invertido
(0, 2).
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
1) f ( x )  2 x  1
y  2x 1
x  2y 1
x 1  2y
x 1
2
f
1
 y
(x) 
Comprobación
f o f
1
 f(f
1
)
 2 ( x 21 )   1
 x  1  1
 x
x 1
2
Como la comprobación es la identidad
entonces, f -1 es una función inversa de f (x)
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
Comprobación
2) f ( x)  2 x3
x 1
Recuerda en f (x), x ≠ 1
y 
2 x3
x (  ) 1
x
2 y3
y  1
f
1
o f  f


x ( y   1)  2 y  3

xy   x  2 y  3
xy   2 y  x  3
y ( x  2)  x  3
f
1
y 
x3
x  2
(x) 
x3
x  2
; si x ≠ 2
1
(f)
( 2xx13 )  3
( 2xx13 )   2
2 x3
x 1
2 x3
x 1


3 ( x 1)
x 1
 2 ( x 1)
x 1
2 x  3 3 x   3
x 1
2 x  3  2 x  2
x 1

5x
x 1

5x
x  1
5
x 1

x  1
5
 x
Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f
EJEMPLOS
Halla la inversa de cada función y comprueba:
3) f ( x ) 
x 1
Recuerda en f (x) , x ≥ 1
y
x 1
x
y 1
Comprobación
f o f
1
 f(f
1
)
2

( x  1)  1
2

x  1  1
x 1  y

x
2
x 

y  1
x  y  1
2
1
2
( x)  x  1

2
2
2
 x
El resultado fue la identidad por lo tanto, la
inversa calculada está correcta.
f
REFERENCIAS
PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones
Puertorriqueñas
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett,
Ziegler, Byleen, McGraw Hill
MATEMÁTICA INTEGRADA 3. 2005. Rubenstein,
Craine, Butts. McDougal Littell
GEOGEBRA. http://www.geogebra.org/cms/
VÍDEOS
FINDING THE INVERSE OF A FUNCTION.
http://es.youtube.com/watch?v=Ec5YYVxyq44
TRAZAR LA FUNCIÓN INVERSA.
http://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0&feature=channel_page
CONSTRUIR LA FUNCIÓN INVERSA.
http://www.youtube.com/watch?v=69RnyrST_VM&feature=channel_page
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