NOMBRE DEL MAESTRO (A):
ING. ZINATH JAVIER GERONIMO
MATERIA:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
TRABAJO:
UNIDAD N° 4 ¨CADENAS DE MARKOV¨
INTEGRANTES:
MELVA E. PAYRO JAFRAMILLO
ANEL ANDRADE CAMACHO
JOSE A. ASCENCIO LOPEZ
JOSE D. CASTRO VALENCIA
EDUARDO FLORES SANCHEZ
PABLO GOMEZ PEREZ
EQUIPO N° 6
VILLAHERMOSA, TAB. 29 DE NOVIEMBRE DE 2010
Sea P la matriz de transición de una cadena ergódica de s
estados. Existe entonces un vector
tal que
Recuerda que para ij-ésimo elemento de Pn es Pn (n). El
teorema 1 establece que para cualquier estado inicial i.
El vector
a menudo se llama distribución
de estado estable, o también distribución de equilibrio para
la cadena de Markov.
-Según el teorema 1: para n grande y para toda i,
1)
Como Pij
n + 1 = (renglón i de P´) (columna j de P),
podemos escribir
2)
Si n es grande, al sustituir la ecuación 1 en la 2 se obtiene:
En forma matricial, la ecuación 3´ se puede escribir:
3´)
El sistema de ecuación que especifica la ecuación 3 tiene
un numero infinito de soluciones, por que el rango de la
matriz P siempre resulta ser
. Para obtener valores
únicos de probabilidades de estado estable, note que para
toda n y toda i,
4)
Al hacer que n tienda al infinito en la ecuación 4,
obtenemos:
5)
Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas. Cuando
una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90%, de
que su siguiente compra sea de cola 1. si una persona compro cola 2,
hay un 80% de probabilidad de su próxima compra sea de cola?
Matriz de transición:
Entonces las ecuaciones 3´ u 3 producen:
Al reemplazar la segunda ecuación para la condición
obtenemos el sistema:
Al despejar
, resulta que
. Por lo tanto,
después de largo tiempo, hay probabilidad de que una persona
dada compre cola 1 y
de probabilidad de que una persona
dada compre cola 2.
,
El comportamiento de una cadena Markov
antes de alcanzar el estado estable se llama
comportamiento transitorio (a corto plazo). A
qui solo se utilizan las formulas Pij (n) de las
ecuaciones 1 y 2.
Es bueno saber que para n grande, las
probabilidades de estado estable describen
con exactitud la probabilidad de encontrarse
en un estado determinado.
Se puede dar una interpretación intuitiva de las ecuaciones 3 de la probabilidad
de estado estable. Al restar
de ambos lados de la (3) se obtiene:
6)
La ecuación (6) dice que en el estado estable,
Probabilidad de que una transición determinada deje el estado j
= probabilidad de que una transición determinada entre al estado j
En el estado estable, la probabilidad de que el sistema este en el estado j es .
Según la observación se concluye:
-Probabilidad de que una transición particular deje el estado j
=(probabilidad de que el periodo actual comience en j)
X (probabilidad de que la transición actual deje j)
=
Probabilidad de que determinada transición entre al estado j
=
(probabilidad de que el periodo actual comience en k = j)
X (probabilidad de que la transición actual entre a j)
Es aceptable la ecuación (6). si fuera violada para cualquier
estado, entonces para un estado j el lado derecho de la
ecuación (3) seria mayor que el lado izquierdo. Esto ocasionara
una probabilidad de acumulación en el estado j y no existirá una
distribución de estado estable.
EJEMPLO:
Cada cliente hace una compra de cola durante cualquier semana (52
semana = 1 año). Suponga que hay 100 millones de clientes de cola. La
producción de una unidad de venta de cola cuesta 1 dólar y se vende a 2
dólar. Una empresa de publicidad garantiza, por 500 millones de dólares
al año, un decremento del 10% al 5% de la fracción de consumidores de
cola 1, que se cambia a cola 2 después de una compra. ¿debe encontrar
a la empresa de publicidad la compañía que fabrica la cola 1?
SOLUCION:
En la actualidad, una fracción
de todas las compras de
cola 1. cada compra de cola 1 le deja al fabricante 1 dólar. Como hay un
total de 52 (100 000) = 5 200 000 000 de compras de cola cada año, las
ganancias actuales del fabricante de cola 1, al año, son:
2/3 (5 200 000 000) = 3 466 666 667 dólares.
La empresa de publicidad ofrece cambiar la matriz P a :
Para P1, las ecuaciones de estado estable se transforma en:
Al reemplazar la segunda ecuación por
, y despejar
obtenemos
Y
. En este caso, la ganancia anual de la productora de cola
1 será:
(.80)(5 200 000 000) – 500 000 000 = 3 660 000 000 dólares.
- Por lo tanto, el fabricante de cola 1 debe contratar la agencia de
publicidad.
En una cadena ergódica, sea mij = numero esperado de transiciones
antes de alcanzar por primera vez el estado j, dado que estamos
actualmente en el estado i.
mij, se llama tiempo promedio de primer pasaje del estado i al estado j.
Suponga que estamos en el estado i, entonces la probabilidad Pij,
necesitaríamos una transición para pasar del estado i al estado j. para
pasamos a continuación, con probabilidad Pik al estado K. en este caso,
se necesitara un promedio de 1 + mkj transacciones para pasar de i a j.
en este modo de pensar indica que :
Como
Podemos reformular la ultima ecuación:
AL RESOLVER LAS ECUACIONES LINEALES REPRESENTADAS EN (8),
PODEMOS ENCONTRAR TODOS LOS TIEMPOS PROMEDIOS DE PRIMER
PASAJE. SE PUEDE DEMOSTRAR QUE :
CON ELLO SE PUEDE SIMPLIFICAR EL USO DE LA ECUACIÓN (8).
PARA MOSTRAR EL USO DE ELLAS, DESPEJAREMOS LOS TIEMPOS
PROMEDIO DE PRIMER PASAJE AGARRANDO EL EJEMPLO DE LA COLA QUE
Y QUE
. ENTONCES
Y
ENTONCES LA ECUACIÓN (8) DA EN LAS DOS ECUACIONES SIGUIENTES:
RESOLVIENDO ESAS ECUACIONES ENCONTRAMOS QUE
.
ESTO QUIERE DECIR QUE, POR EJEMPLO, UNA PERSONA QUE HABÍA
TOMADO COLA 1 TOMARA UN PROMEDIO DE 10 BOTELLAS DE REFRESCO
ANTES DE CAMBIAR A COLA 2.
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unidad 4 investigacion de operaciones