PROBLEMAS VARIOS
Nombre: Código
PROBLEMA 1.
Se ha encontrado que un hueso antiguo
contiene un octavo de la cantidad original de
carbono 14 de un hueso al tiempo actual,
sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
5568 años. Cual es la antigüedad del fósil.
Problema de desintegración
Datos.
Cantidad de C-14 de un hueso actual: Mo
Vida media C-14: t = 5568 años ; M = Mo/2
Cantidad de C-14 en el hueso encontrado :
M(t) = Mo/8
Ecuación del modelo
  =   
Con los datos de la vida media, buscamos la constante k,

=   5568
2
1
=  5568
2
1

=  5568
2
1

= 5568
2
1
1
=

5568
2
Luego la ecuación del problema es
−1,24∗10−4 
  =  
Buscamos t para   =

−1,24∗10−4 
=  
8
1
−1,24∗10−4 
= 
8

8
De donde
1
1
=

−4
−1,24 ∗ 10
8
−2,07944
=
−1,24 ∗ 10−4
Luego el tiempo buscado es
 = 16.769,6774 ñ
Problema No. 2
Se tienen un circuito simple el cual consta de
una resistencia de 50 ohmios y una inductancia
de 5 Henrios, conectados a una fuente de poder
de 100 voltios. Determine la intensidad de la
corriente en cualquier tiempo, suponiendo que
la corriente inicial es cero.
Se tiene un circuito RL
•
•
•
•
•
Donde
R = 50
L = 100 H
V(t) = 100 Volt
i(0) = 0
La ecuación diferencial es

L

+  = ()
La cual se puede escribir como


+



=
()

Reemplazando los datos, se tiene


50
+ 
5
=
100
5
simplificando

+ 10 = 20

Cuya solución es
  = 2 +  −10
Pero como la corriente inicial es cero
 0 = 2 +  0     = −2
  = 2 − 2 −10
PROBLEMA 3
• Determine el miembro de la familia de las
trayectorias ortogonales de 3 2 = 2 + 31 
y que pasa por el punto ( 0, 4)
3 2 = 2 + 31 
FAMILIA DE CURVAS
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
De la ecuación de familias de curvas
dada
3 2 = 2 + 31 
Despejando 1
3 2 − 2
31 =

Derivando implícitamente

2
3 + 6
 − 3 2 − 2

0=
2
Eliminando paréntesis

3 + 6 
− 3 2 + 2

0=
2
Simplificando términos semejantes
2 
6 
+2

0=
2
Como se tiene una fracción igual a cero,
entonces el numerador debe valer cero

2
6 
+2=0

2
2
Despejando


=
−2
6 2 
o


=
−1
3 2 
Pero la pendiente de las trayectorias
ortogonales es el inverso negativo de la
pendiente de las curvas dadas, es decir

−1
=

 

 


−1

=

= 3 2 
−1


3 2 
Integrando

= 3 2 

 =  3 + 
Con lo que se tiene, la familia de trayectorias ortogonales
3

 = 
Aplicando las condiciones iniciales
 = 0 ; = 4
4 =  0     = 4
La trayectoria buscada es
 = 4
3
FAMILIA DE CURVAS Y TRAYECTORIAS ORTOGONALES
5.0
Trayectoria buscada
4.0
3.0
2.0
1.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
-5.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
Problema No. 4
Un cuerpo a temperatura desconocida se coloca
en un medio donde su temperatura constante
es de 1ºF. Si después de 20 minutos la
temperatura de cuerpo es de 40ºF y a los 40
minutos es de 20ºF. Cual era la temperatura
inicial del cuerpo.
Como hay cambio de temperatura, se trata de un
problema de la Ley de Enfriamiento de Newton
•
•
•
•
•
•
•
Los datos del problema son
 = 1º
(20) = 40º
 40 = 20º
T(0) = ?
Modelo enfriamiento de Newton
 =  +  
 = 1 +  
Reemplazando se tiene
 20 = 1 +  20
40 = 1 +  20
39 =  20
De donde
39
 = 20

 40 = 1 +  40
20 = 1 +  40
19 =  40
Reemplazando C
39 40
19 = 20 

19 = 39 40−20
19
=  20
39
Con lo que
1
19
=

20
39
 = −0,03595
Reemplazando k en C, se tiene
=
39
 20(−0,03595)
=
39
 −0,719
 = 39 0,719 = 80
Luego la ecuación correspondiente al problema
es
 = 1 + 80 −0,719
Con lo que la temperatura inicial es,
 0 = 1 + 80 −0,719(0)
 0 = 81º
Resolver la siguiente ecuación
diferencial de Bernoulli

5 3
− 5 = − 

2
Para llevarla a la forma lineal, multiplicamos por
 −3

5 −3 3
−3
−3

− 5 = −  

2

5
−3
−2

− 5 = − 

2
Haciendo  =  −2


−3
= −2


Con lo que
Multiplicando por -2
Siendo la solución
 = −
−1 
2 
− 5 =
−5

2

+ 5 = 5

  
+
  
  

 = −
5
+
 =  −5  +
 =  −5
5
5
5 5 
5

 +  5 −
5

1
 =  −5 +  −
5
Como  =  −2
se tiene como respuesta

−2
= 
−5
1
+−
5
PROBLEMA MEZCLAS
• Un tanque contiene 450 lt de líquido en el que
se disuelven 30 gr de sal: Una salmuera que
contiene 3 gr/lt se bombea al tanque con una
intensidad de 6 lt/min, la solución
adecuadamente mezclada se bombea hacia
fuera con una intensidad de 8 lt/min.
Encuentre el número de gramos de sal y la
concentración de sal, que hay en el tanque en
un instante cualquiera
Los datos del problema son
Datos iniciales
Condiciones entrada
0 = 450 
0 = 30 
1 = 3 /
1 = 6 /
Condiciones de salida
2 = 8 /
Pregunta
  ; ()
C1 = 3 gr/li
Q1 = 6 li/min
V0 = 450
C0 = 1/15
X0 = 30
C2 = ?
Q2 = 8 li/min
La ecuación diferencial del problema
es

2
+
 = 1 1
 0 + 1 − 2 
Reemplazando los datos

8
+
 =6∗3
 450 + 6 − 8 
Efectuando operaciones

8
+
 = 18
 450 − 2
Simplificando

4
+
 = 18
 225 − 
Cuya solución es
  =
−
  
+
  
  

  =
4
 − 225−
() =  4
225−
+
 + 18
18
4

225− 
 −4
225−

  = (225 − )4  + 18 (225 − )−4 
−3
(225
−
)
  = 225 −  4 ( + 18
)
3
  = (225 − )4  + 6(225 − )−3
Reemplazando el dato inicial
30 = (225 − 0)4  + 6(225 − 0)−3
30 = 2254  + 6 225
30 − 6(225)
=
2254
−1320
=
2254
−1320
−3
  = (225 − )
+
6(225
−
)
2254
Como el volumen en cualquier tiempo es
  = 450 − 2
La concentración e cualquier tiempo será
4
−
−
( − )
+
(
−
)


() =
 − 

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