Movimiento de Proyectiles
Un proyectil es cualquier objeto que se proyectara una vez que
continúa en el movimiento por su propia inercia y es influenciado
solamente por la fuerza hacia abajo de la gravedad. El camino seguido por
un proyectil se denomina trayectoria.
Si hubiera alguna otra fuerza que actuara sobre un objeto, ese
objeto no sería un proyectil.
TIPOS DE PROYECTILES
Por definición, un proyectil tiene solamente una fuerza que actúa
sobre él, esta es la fuerza de gravedad. Si hubiera alguna otra fuerza que
actuara sobre un objeto, ese objeto no sería un proyectil. Así, en el
diagrama de cuerpo libre para un proyectil, se mostraría una sola fuerza que
actúa hacia abajo y la " fuerza de gravedad " (o simplemente de Fgrav).
Esto quiere decir que sin importar si un
proyectil se está moviendo hacia abajo, hacia arriba,
hacia arriba y hacia la derecha, o hacia abajo y hacia la
izquierda, el diagrama del libre-cuerpo del proyectil
todavía está según lo representado en el diagrama de
alado. Por definición, un proyectil es cualquier objeto
sobre el cual la única fuerza sea gravedad.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES. (TIRO
HORIZONTAL Y TIRO OBLICUO)
El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo
en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya
trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la
superficie de la tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada
por el portero, o el de una de una pelota de golf al ser lanzada o golpeada con
cierto ángulo respecto del eje horizontal.
El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento
horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado. Es
de dos tipos: tiro parabólico horizontal y tiro parabólico oblicuo.
TIRO PARABOLICO HORIZONTAL
Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado
horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes: un
movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia
con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo
que se dejará caer del mismo punto en el mismo instante.
La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje (eje Y) y
con un solo foco, es decir una parábola. Por ejemplo en la figura siguiente, se
grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, sólo que la pelota del lado
derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m /seg.
Al término del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 metros en
su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también ha avanzado 15 metros
respecto de su posición inicial. A los dos segundos ambas pelotas ya han
recorrido en su caída 19.6 metros, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 metros
recorridos como resultado de su movimiento horizontal.
Al cabo de 3 segundos, ambas pelotas habrán descendido 44.1 metros,
pero la pelota de la derecha avanza 45 metros horizontales, al transcurrir 4
segundos, las dos pelotas, habrán caído 77.1 metros, pero la pelota de la derecha
habrá recorrido 60 metros horizontalmente.
Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede
hacerse con la expresión d = v/t pues la pelota lanzada con una velocidad
horizontal tendrá una rapidez constante durante su recorrido horizontal e
independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la
gravedad durante su caída libre.
La trayectoria descrita por un proyectil cuya caída es desde un avión en
movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un
avión vuela a 250 m/seg y deja caer un proyectil, en los diferentes momentos de
su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para
ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del
movimiento.
Al primer segundo de su caída la componente vertical tendrá un valor de
9.8 m/ seg, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que
llevaba el avión al soltar el proyectil, es decir 250 m/seg. Trazamos el
paralelogramo y obtenemos la resultante de las 2 velocidades. A los 2
segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/seg y la horizontal
como ya señalamos conserva su mismo valor: 250 m/seg. Así continuaríamos
hasta que el proyectil llega al suelo.
Las ecuaciones que se utilizan en el tiro horizontal son las mismas de la
caída libre. En el tiro horizontal se suele calcular la altura desde la cual se lanza
el proyectil, el tiempo que tarda en caer, la velocidad vertical que lleva en un
tiempo determinado y la distancia horizontal que recorre desde el punto en que
es lanzado hasta el punto donde cae al suelo.
Ejemplos de Tiro horizontal
1.- Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/seg desde una
altura de 60 metros. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la
velocidad vertical que lleva a los 2 segundos, c) La distancia horizontal a la que
cae la piedra.
Datos
Fórmulas
V H  25 m / seg
h   60 metros
g   9 .8 m / s
a ) t caer  ?
b )V en 2 seg
c)d H  ?
a ) t caer 
Sustitución
2h
g
2
b )V en 2 seg  g  t
c)d H  VH  t
a ) t caer 
2 (  60 m )
(  9 .8 m / s )
2
 3 . 5 seg
b )V en 2 seg  (  9 . 8 m / s )( 2 seg )
2
  19 . 6 m / seg
c ) d H  ( 25 m / seg )( 3 . 5 seg )
 87 . 5 metros
2.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad
inicial de 10 m/seg y cae al suelo después de 5 segundos: Calcular a) ¿ A qué
altura se encuentra la ventana? b) ¿A qué distancia cae la pelota?
Datos
Fórmulas
a )h 
t caer  5 seg
a )h  ?
b)d H  ?
(  9 . 8 m / s )( 5 seg )
2
V H  10 m / seg
g   9 . 8 m / seg
Sustitución
g t
2
2
2
b ) d H  V H  tcaer
a )h 
2
2
h   122 . 5 metros
b ) d H  (10 m / seg )( 5 seg )
d H  50 metros
Tiro oblicuo
Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una
velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.
En el siguiente dibujo vemos la trayectoria seguida por una pelota de golf,
lanzada con una velocidad de 40 m/seg formando un ángulo de 60° con
respecto a la horizontal.
Como se observa, la pelota inicia su ascenso con una velocidad inicial de
40 m/ seg y con un ángulo de 60°, si descomponemos esta velocidad en sus
componentes rectangulares, encontraremos el valor de la velocidad vertical que
le permite avanzar hacia arriba, como si hubiera sido arrojada en tiro vertical,
por esta razón la velocidad disminuye debido a la acción de la gravedad de la
tierra, hasta anularse y la pelota alcanza su altura máxima.
Después inicia su descenso y la velocidad vertical comienza a aumentar, tal
como sucede en un cuerpo en caída libre, de manera que al llegar al suelo
nuevamente tendrá la misma velocidad vertical que tenía al iniciar su ascenso.
Por otra parte, la componente horizontal nos indica el valor de la velocidad
horizontal que le permite desplazarse como lo haría un cuerpo en un
movimiento rectilíneo uniforme. Por tal motivo esta velocidad permanecerá
constante todo el tiempo que el cuerpo dure en el aire.
Para este problema específico, las componentes vertical y horizontal de la
velocidad tienen un valor al inicio de su movimiento de:
Vov = Vo sen 60° = 40 m/seg x 0.8660 = 34.64 m/seg
VH= Vo cos 60° = 40 m/seg x 0.5 = 20 m/seg (permanece constante).
Una vez calculada la componente inicial vertical de la velocidad (Vov) y
utilizando las ecuaciones del tiro vertical vistas anteriormente, podemos determinar
con facilidad la altura máxima alcanzada por la pelota, el tiempo que tarda en subir,
y el tiempo que permanece en el aire; así pues, el valor de la velocidad inicial
vertical para la pelota de golf será igual a 34.64 m/seg. Por lo tanto, sustituyendo
este valor en la ecuación de la altura máxima tenemos:
h max 
V
2
o
2g
v

( 34 . 64 m / seg )
2
2 (  9 . 8 m / seg )
2
 61 . 22 metros
Para calcular el tiempo que tarda en subir la pelota, hacemos
uso de la ecuación correspondiente que se dedujo para el
tiro vertical, sustituyendo el valor de la componente inicial
vertical:
t (subir) = - Vov /g= - 34.64 m/ seg/ -9.8 m/seg2.= 3.53 seg
El tiempo que dura en el aire es igual al doble del tiempo que
tarda en subir:
t (aire) = - 2 Vov /g, por lo que t (aire) = 2 x 3.53 seg = 7.068 seg
Para conocer el alcance horizontal dH de la pelota, debemos considerar que
mientras esté en el aire se mueve en esa dirección debido al valor de la
componente horizontal de la velocidad, la cual no varía y en nuestro caso tiene
un valor de 20 m/seg, por lo tanto, para calcular dH emplearemos la expresión:
d H  V H  t aire  ( 20 m / seg )( 7 . 068 seg )  141 . 3 metros
El desplazamiento horizontal también puede ser calculado con la siguiente
ecuación:
 V o sen 2
dH 
g
 ( 40 m / seg ) sen 2 (120 )
2
sustituyen do 
d H  141 . 3 metros
 9 . 8 m / seg
2
La ecuación anterior resulta útil cuando se desea hallar el ángulo con el cual debe
ser lanzado un proyectil que parte con un determinado valor de velocidad para dar
en el blanco.
Ejemplos sobre Tiro parabólico oblicuo.
1.- Un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con respecto al plano
horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/seg. Calcular a) e tiempo que
dura en el aire, b) La altura máxima alcanzada, c) El alcance horizontal de la pelota.
Datos
Fórmulas
Sustitución
V o  15 m / s
V o v  V o sen 
  37 º
V H  V o cos 
g   9 .8 m / s
2
t aire 
t aire  ?
h max  ?
dH  ?
h max 
 2V o v
g
V
Vov  (15 m / s )( sen 37 º )
Vov  (15 m / s )( 0 . 6018 )
Vov  9 . 027 m / s
VH  ( 5 m / s )(cos 37 º )
VH  (15 )( 0 . 7886 )  11 . 979 m / s
2
2g
d H  V H t aire
o
v
taire 
 2 ( 9 . 027 m / s )
h max 
 9 .8 m / s
 1 . 842 s
2
 ( 9 . 027 m / s )
2
2 (  9 .8 m / s )
2
 4 . 157 m
dH  (11 . 979 m / s )( 1 . 842 s )
dH  22 . 06 metros
2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/seg si se desea que dé
en un blanco localizado a 2500 metros, calcular: a) El ángulo con el cual debe ser
lanzado b) el tiempo que tarda en llegar al blanco (tiempo en el aire).
Datos
Fórmulas
Sustitución
2
V o  200 m / s
 sen 2 
d H  2500 m
g   9 .8 m / s
a )  ?
b ) t aire  ?
( 2500 m )(  9 . 8 m / s )
2
dH g
Vo
V o v  V o sen 
t aire 
 2V o v
g
 sen 2 
( 200 m / s )
2
2
 sen 2  0 . 6127
 sen 2  angulo cuyo seno es 0 . 6127
2  37 . 76 º
  18 . 88 º
V o v  ( 200 m / s )( sen 18 . 88 º )
V o v  ( 200 m / s )( 0 . 3230 )  64 . 6 m / s
t aire 
(  2 )( 64 . 6 m / s )
(  9 .8 m / s )
2
 13 . 18 seg
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TEORIA DE MOVIMIENTO DE PROYECTILES