IRAÍS ALEJANDRA MONGE TELLES
RODRIGO ALBERTO CUEVAS VEDE
WALBERTH HERNÁNDEZ RAMÍREZ
ACERCA DE…
André-Louis Cholesky encontró que una matriz
simétrica
definida
positiva
puede
ser
descompuesta como el producto de una matriz
triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular
inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de
Cholesky de la matriz original positiva definida. Es una
manera de resolver sistemas de ecuaciones
matriciales y se deriva de la factorización LU con una
pequeña variación.
MÉTODO DE CHOLESKY
1. Obtener matriz L en base a A
2. U = LT
3. Obtener vector D en base a C y L
4. Encontrar el vector X en base a D y U
PROBLEMA
Resolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales usando el método de
Cholesky
A=
6

15

 55
15
55
225
55 

225

979 
C=
100

150

100




OBTENER L
En el método de Cholesky el primer paso es
encontrar la matriz L usando las fórmulas
*Para elementos fuera de
la diagonal
*Para elementos en
la diagonal
i 1
a ki   l ij l kj
l ki 
j 1
l ii
k 1
l kk 
a kk   l kj
2
j 1
DESARROLLO
l 11 
a 11 
l 21 
6
a 21
l 11
a 32  l 21 l 31

l 22
l 31 
2 . 4495
l 22 
Ya sabemos que l12 = 0
l 32 
15

55  ( 6 . 1237 )( 22 . 454 )
a 22  l 21 
2
a 31
55

l11
55  6 . 1237
2 . 4495
2
De igual forma l13 = l23 = 0
4 . 1833
l 33 
a 33  ( l 31  l 32 ) 
2
2
979  ( 22 . 454
2
 20 . 916 )
2
OBTENCIÓN DE L
 2 . 4495

L  6 . 1237

 22 . 454
0
4 . 1833
20 . 916


0

6 . 1106 
0
OBTENCIÓN DE U
En el método de Cholesky U = LT
 2 . 4495

U 
0

 0
6 . 1237
4 . 1833
0
22 . 454 

20 . 916

6 . 1106 
ENCONTRAR VECTOR D
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma
manera que en el método de descomposición de LU
i 1
ci 
di 
l
j 1
l ii
ij
d
j
DESARROLLO
d1 
d2 
d3 
c 2  l 21 d 1
l 22
c 3  ( l 31 d 1  l 32 d 2 )
l 33
c1
l 11


100
2 . 4495
150  ( 6 . 1237 )( 40 . 8246 )
4 . 1833

100  (( 22 . 454 )( 40 . 8246 )  ( 20 . 916 )(  23 . 9045 )
6 . 1106
OBTENER X
Finalmente se calcula el
comenzando por la última x.
vector
n
di 
xi 
u
j  i 1
u ii
ij
xj
de
incógnitas
OBTENER VECTOR X (RESULTADO)
x3 
x2 
x1 
d3
u 33
d 2  u 23 x 3
u 22
d 1  ( u 12 x 2  u 13 x 3 )
u 11
= -8.481
= [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690
= [40.8246 – ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495
= 2.685
*El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el resultado debe ser igual a C.
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Factorización de choleski