Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Compensación utilizando
Métodos de respuesta en
frecuencia
México D.F. a 6 de Noviembre de 2006
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1.- Compensación en adelanto
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
1. Compensación en adelanto
Se utiliza el compensador en adelanto siguiente
G c ( s )  K c
s  1
 s  1
s
 Kc
s
1

0  1
1

donde  es el factor de atenuación y K c es la ganancia del
compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es
G c ( j  )  K c
j   1
m
j   1
1
2
m
(1   )

 0

1
2
(1   )
1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
El ángulo de fase máximo se observa por la recta tangente a la gráfica
polar y que pasa por el origen. Este ángulo máximo dependerá del
valor de  , aumentando si  disminuye. La relación  -ángulo
máximo es
1
sen  m 
1
El diagrama de Bode del compensador, para   1,   0 . 1 es
dB 10
0
 10
 20
90 º
0º
0 .1
1
10
10
100  
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
De la gráfica de Bode se observa que el ángulo máximo del
compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero
log  m
1
1
1 
  log  log

2

 
m 
Técnicas de compensación en adelanto
1. Suponga el compensador en adelanto
G c  s   K c
s  1
 s  1
defina K  K c 
El compensador y la planta en lazo abierto quedan
G c  s G  s  
s  1
 s  1
KG  s 
1

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante
estática de error propuesta
2.- Dibuje el diagrama de Bode KG ( s ) , que es el sistema con la
ganancia ajustada sin compensar.
3.- Determine el ángulo de fase que se necesita agregar al sistema. A
ese valor, agréguele de 5º a 12º más (por el desplazamiento de la
magnitud).
4.- Con el ángulo deseado, determine el factor de atenuación
sen  m 
1
1
después determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no
compensado sea
 1 
 20 log 




Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Utilizando esta frecuencia la ecuación
m 
se obtiene el valor del cero
5.- Con K
1

1

y del polo
1

y  , calcule la constante del compensador
Kc 
K

6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en adelanto
Ejemplo: Diseñe un compensador en adelanto que haga que el error
en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante
de error estático de velocidad K v sea de 20 seg 1 . Al mismo tiempo, el
margen de fase sea mayor a 45°. En el siguiente sistema:
G (s) 
7 .5
s ( s  3)
Solución:
1) Se supone un compensador en adelanto de la forma
j   1
G c ( s )  K c
j   1
nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la
aportación de ganancia del compensador ( K c ) .
se define
K  K c
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Se encuentra la ganancia K que junto con el sistema cumplan con la
constante de error estático de velocidad.
K v  lim sG c ( s ) G ( s )  lim
s  1
s  0 
s 0
s 1
KG ( s )  lim
s 0
s 7 .5 K
s ( s  3)
 2 . 5 K  20
K 8
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la
ganancia K
KG ( s ) 
KG ( j  ) 
60
s ( s  3)
20
1
j  ( j   1)
3
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Diagrama de Bode
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el
adelanto de fase que se requiere agregar:
M
f
 21 . 9 
M f deseado  45 
 m  M f deseado  M
f
 5
 m  28 . 1   28 
5) De  m se obtiene 
sen  m 
1
1
  0 . 361
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar
el compensador. Se utiliza 20 log( 1 /  )
20 log( 1 /
0 . 361 )  4 . 4249
se observa en el diagrama de Bode en qué frecuencia se tiene una
magnitud de  20 log( 1 /  ) y se define como la nueva frecuencia de
cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es
 c  9 . 77 rad / seg .
Después se hace que a esta
frecuencia ocurra el máximo
aumento de fase  m . En otras
palabra  c es la frecuencia
media entre frecuencia de corte
del cero y del polo.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
m 
1

 c
7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador
cero
1


  c  5 . 8701
polo
1


c

 16 . 2607
8.- Con  y K se obtiene la ganancia del compensador
Kc 
K

 22 . 16
y el compensador es
G c ( s )  22 . 16
s  5 . 8701
s  16 . 2607
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Gc
GcG
G
Gc
GcG
G
M
f
 45 . 1 
a 9 . 77 rad / seg
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2.- Compensación en atraso
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2. Compensación en atraso
Se utiliza el compensador en atraso
Gc (s)  K c
el valor del polo 
1

s  1
 s  1
s
 Kc
s
1

 1
1

es más positivo que el del cero 
1

El diagrama polar del compensador en retraso es
Im
Kc
Kc

 0
Re
.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:
dB
20
  10
 1
Kc  1
10
0
0º
 90 º
0 . 01
0 .1
1
10  
Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor más
negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero.
Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se
busca una atenuación en altas frecuencia para aportar un margen de
fase adecuado al sistema.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Técnicas de compensación en atraso
1. Suponga el compensador en atraso
Gc (s)  K c
s
s  1
 s  1
 Kc
se define K  K c 
s
1

1
 1

y el sistema compensado es
G c ( s )G ( s ) 
s  1
 s  1
KG ( s )
2.- Determine la ganancia K que satisfaga el requisito de constante
estática de error propuesta
3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la
ganancia K .
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados.
Entonces encuentre la frecuencia donde el ángulo de la fase es -180º
más el margen de fase requerido, más unos 5 o 12 grados.
5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la
ganancia.
1
6.- Después seleccione la nueva frecuencia de corte del cero 
o menos una década alejada del nueva frecuencia de cruce
ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar
frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante
hacer la constante de tiempo del polo muy grande.
más
de la
de la
es no
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7.- Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de
magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta
atenuación se determina el valor de  .
dB   20 log 
8.- Con el valor de  y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del
polo
1

9.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:
Kc 
K

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en atraso
Ejemplo: Compense el siguiente sistema:
G (s) 
2
s ( s  1)( s  2 )
de forma tal que la constante de error estático de velocidad K v sea de
1
, el margen de fase sea al menos de 40° y el margen de
5 seg
ganancia al menos de 10dB.
.
Solución:
1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma
Gc (s)  K c 
se define
K  Kc
s  1
 s  1
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Ajustar la ganancia K para que junto al sistema cumpla con las
especificaciones de error estático de velocidad.
s  1
2
K v  lim s
KG ( s )  lim sK
5
s  0  s  1
s 0
s ( s  1)( s  2 )
K 5
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la
ganancia K
KG ( s ) 
KG ( j  ) 
10
s ( s  1)( s  2 )
5
j  ( j   1)( j 0 . 5  1)
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3)
Diagrama de Bode
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene
un margen de fase de -13°, por lo que es inestable.
Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ángulo de fase
de -180°+ el margen de fase deseado + 12° de compensación por el
cambio de fase.
 180 º  40 º  12 º
  128 º
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de
corte una década menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
En este caso correspondería a 0 . 05 rad . / seg ., pero por cuestiones de
diseño, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se
opta por asignar al cero una frecuencia de corte de 0 . 1 rad . / seg .
1
 0 .1

6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce
seleccionada ( 0 . 469 rad . / seg .
) la magnitud pase por 0dB. De la
gráfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce
seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que
restar 20 dB.
 20   20 log 
  10
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7) Con el valor de  y el valor del cero, se obtiene el polo
1


1
100
8.- Por último se obtiene la ganancia del compensador:
Kc 
K


5
10
El compensador en atraso queda:
G c ( s )  0 .5
s  0 .1
s  0 . 01
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Gc
G
GcG
Gc
G
M
f
 41 . 6 
a 0 . 454 rad / seg
GcG
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3.- Compensación en atraso-adelanto
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto
s
Gc (s)  K c
s
1
1

1
s
s
1
2
  1,   1
1

2
•Es común seleccionar   
Im
•Para 0     1 el compensador
es en atraso.
•Para  1     el compensador
es en adelanto.
•La frecuencia  1 es aquella donde
el ángulo de fase es cero.

  1
1
  0 Re
Fig. 1Diagrama polar K c  1,    .
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
dB 10
0
 10
 20
90 º
0º
 90 º
0 . 001
1
0 . 01
0 .1
1
10
1
1
1
1
100  
1
Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.
K c  1,    ,  2  10  1 .
La frecuencia  1 se obtiene de:
1 
1
 1 2
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en atraso-adelanto
Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya función de transferencia:
K
G (s) 
s ( s  1)( s  2 )
se desea que la constante de error estático de velocidad K v sea de
1
10 seg , el margen de fase sea de 50° y el margen de ganancia al
menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.
.
,
1) Como el sistema tiene ganancia ajustable K , se considera K c .
Del requisito de error de error estático de velocidad, se obtiene
K v  lim sG c ( s ) G ( s )  lim sG c ( s )
s 0
s 0
K  20
K
s ( s  1)( s  2 )

K
2
 10
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con K  20
El margen de fase es de -32º. El sistema es inestable.
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Ésta será la
frecuencia donde  G ( j  )   180 º . El diagrama de Bode muestra
 c  1 . 5 rad / seg .
4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de
la parte atraso, una década por debajo de la frecuencia de cruce:
 
1
2
 0 . 15 rad / seg .
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
5) Con el máximo adelanto de fase deseado, se obtiene 
sen  m 
 1
si  m  50 º
  7 . 548
 1
pero se escoge   10 que corresponde a  m  54 . 9 º
6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte
atraso es
 
1

 0 . 015 rad / seg .
2
Entonces la parte de atraso del compensador queda:
s  0 . 15
s  0 . 015
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la
frecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este
caso es:
G ( j1 . 5 )  13 d B
Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una línea recta
de pendiente 20 dB/década, donde intersecte la línea de -20 dB es la
frecuencia de corte del cero de adelanto (   0 . 7 rad / seg . )y donde
intersecte la línea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo de
adelanto (   7 rad / seg . ). la parte de adelanto es
s  0 .7
s7
El compensador atraso-adelanto queda
 s  0 . 15   s  0 . 7 
Gc (s)  


 s  0 . 015   s  7 
Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia
G (s)
Gc (s)
G c ( s )G ( s )
Gc (s)
G c ( s )G ( s )
G (s)
Descargar

Compensación utilizando Métodos de respuesta en