Diseño de Sistemas de Control
Introducción
Todos los fundamentos que se han revisado para el análisis en los
capítulos anteriores llevan al objetivo último del diseño de sistemas
de control.
Especificaciones de diseño:
Generalmente se emplean para describir qué debe hacer el sistema
y cómo hacerlo. Estas especificaciones suelen incluir parámetros
como: estabilidad relativa, precisión en estado estable, respuesta
transitoria y características de respuesta de frecuencia.
El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea
en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.
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1
Diseño de Sistemas de Control
Configuraciones del controlador
El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado
completo y el lugar donde el controlador estará colocado en
relación con el proceso controlado.
Compensación en serie (cascada): es la más comúnmente utilizada
con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.
Compensación en realimentación (en paralelo): el controlador está
colocado en la trayectoria menor de realimentación.

r


ea
GC

controlado
r
ea
r

GP
G

GP

SERIE o CASCADA
GC
lazo de control
lazo menor de realimenta ción
PARALELO o REALIMENTA CIÓN
H
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y


plantainstr.
H

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lazo de control
2
Diseño de Sistemas de Control
Principios fundamentales del diseño
Después que se ha escogido una configuración del controlador, el
diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las
especificaciones de diseño.
Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal
al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la
señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o
redes de adelanto, atraso y atraso-adelanto.
Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus
parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de
transferencia que conforman el controlador.
A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema
y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se
emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran
parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación
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3
Diseño de Sistemas de Control
Diseño empleando el Lugar Geométrico de las Raíces
En esencia, en este tipo de diseño el LGR del sistema se reconstruye
mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de
polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada.
Redes de adelanto
•Mejora la respuesta transitoria readaptando el LGR.
•El cero del compensador de adelanto readapta el LGR, mientras que el
polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la
parte readaptada por el cero.
R(s) +
-
Gc(s)
G(s)
Y(s)
jw
G c s   K c
s
s
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1
T
1
T
 K c
Ts  1
 Ts  1
, 0  1
s
1

T
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1

T
0  1
4
Diseño de Sistemas de Control
Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el LGR
•De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de
los polos dominantes en lazo cerrado.
•Trazar el LGR para el sistema no compensado cuya función de transferencia es
G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de
lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este
ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo
LGR pase por las ubicaciones deseadas.
•Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del
requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.
•Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no
ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador
hasta cumplir con todas las especificaciones
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5
Diseño de Sistemas de Control
Análisis del sistema
Ejemplo de diseño
R(s) +
-
2
ss  1
Gc(s)
Y(s)
7
polos en l .c .   0 . 5  j
2
wn 
2 y  
1
2 2
 Mp  30 . 50 % y t s 2 %   8 s
System: untitled1
Peak amplitude: 1.3
Overshoot (%): 30.4
1.4
At time (sec): 2.43
Root Locus
2
1.5
Step Response
1.2
System: untitled1
Settling Time (sec): 7.74
1
1
polos en lazo cerrado
Amplitude
Imaginary Axis
0.5
0
0.8
0.6
-0.5
0.4
-1
0.2
-1.5
-2
-1.5
-0.5
-1
0
0
0
Real Axis
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2
4
6
8
10
12
Time (sec)
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6
Diseño de Sistemas de Control
Para este sistema se desea tener un par de polos dominantes con Mp ≤ 20% y ts ≤ 2s
(criterio del 2%). Por lo que el punto de diseño será: Mp  20 %    0 , 207  escojo   0 ,5
t s 2 %   3 s  s  parte real   4
3
 escojo s  2
PD   2  j 2 3
Root Locus
4
PD  2  j 2 3
3
2
1º
,2
98
Imaginary Axis
1
52,11º
106,1º
0
120º
zc= -1.5
pc= -4.69
-1
-2
-3
PD  2  j 2 3
-4
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
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7
Diseño de Sistemas de Control
Como se observa el LGR de la planta no pasa por el punto de diseño (PD).
Entonces calculando el ángulo de adelanto A que debe entregar el compensador se
tiene:
2

s  s  1
  120 º-106,1º  -226,1º
s  PD
pero de la condición
por lo que fijando
de ángulo
este debería ser de - 180º   A   180 º  226,1º  46,1º
el cero del compensado
r en z C  -1,5 se tiene
 A   G C  s  s  PD  46 ,1º    s  1,5  s  PD    s  p C  s  PD  46 ,1º
 2 3
arctan 
2 p
c


  98 , 21 º  46 ,1º  52,11º




2 3
pC  
 2
 tan 52 ,11 º 



por lo que :
K C se calcula
KC 
G C s   K C
p C  4 , 69
s  1, 5
s  4 , 69
a partir de la condición
s  s  1  s  4 , 69 
entonces
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
2  s  1, 5 
de magnitud
 9 , 04
s  PD
el compensado
r diseñado
es : G C  s   9 , 04
s  1, 5
s  4 , 69
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8
Diseño de Sistemas de Control
Comprobando el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab y se presenta
a continuación el LGR y la respuesta temporal del sistema compensado:
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9
Diseño de Sistemas de Control
Como se observa en la simulación anterior, de las especificaciones de diseño no se
cumple con la del Mp (debe ser ≤ 20%) por lo que es necesario reajustar los
parámetros del compensador. Por esto se varia la ganancia a un valor de 7,3
logrando cumplir con las especificaciones solicitadas.
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10
Diseño de Sistemas de Control
Redes de atraso
•Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la
respuesta transitoria.
•Se pretende no cambiar el LGR en la vecindad de los polos dominantes
en lazo cerrado.
•Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del
origen
R(s) +
-
Gc(s)
G(s)
Y(s)
jw
G c  s   Kˆ c
s
s
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1
T
1
T
Ts  1
 Kˆ c 
,  1
 Ts  1
s
1

T
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
1
T
 1
11
Diseño de Sistemas de Control
Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el LGR
•Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de
la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR.
•Calcule la constante de error estático especificada en el problema.
•Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer
las especificaciones.
•Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el
incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar
apreciablemente el LGR original.
•Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en
lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.
•Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de
que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
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Diseño de Sistemas de Control
Análisis del sistema
Ejemplo de diseño
R(s) +
-
marzo 2009
Gc(s)
16
ss  4 
Y(s)
polos en l .c .   2  j 2 3
wn  4 y  
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1
2
 Mp  16 . 30 % y t s 2 %   2 s
13
Diseño de Sistemas de Control
Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria
pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de
velocidad es de eV = 25%
Linear Simulation Results
10
9
8
7
Amplitude
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
marzo 2009
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14
Diseño de Sistemas de Control
Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta
transitoria. Se pretende obtener un eV ≤ 5%, es decir se requiere un KV ≥ 20.
Para el sistema
original
  16

   4
: K V  lim  s 
s 0
  s s  4   
Al poner en serie el compensado
como se requiere
 

Ts  1   16
 
 
r se tiene : K V co mp  lim  s  K C 
s 0



Ts

1
s
s

4


 
que el K V co mp  20 para el sistema
compensado
entonces
:
 

Ts  1   16
20
   K C  
 
20  lim  s  K C 
5
s 0
 Ts  1   s  s  4   
4
 
para que no se modifique
Escogiendo
el LGR  K C  1, por lo que    5
el cero del compensado
de ahí que el polo del compensado
r será  p C 
Finalmente
, el compensado
r de atraso diseñado
Reajustand
o el valor de K C  K C 
y el aporte de fase del compensado
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r lo más cercano al origen por ejemplo
1
T

0 , 05
s  0 , 05
s  0 , 01
 1, 004
s  polos en l.c.
s  0 , 05
s  0 , 01
 0 , 05
T
 0 , 01
s  s  4  s  0 , 01 
r es  1, 004
1
5
es G C  s   K C
16  s  0 , 05 
en - 0,05  z C 
  0 , 49 º
(debe ser  a 5º )
s  polos en l.c.
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15
Diseño de Sistemas de Control
Para comprobar el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab, por lo que
a continuación se presentan el LGR, la respuesta paso unitaria y la respuesta rampa
unitaria del sistema compensado
zoom
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16
Diseño de Sistemas de Control
System: untitled1
Peak amplitude: 1.18
Overshoot (%): 17.7
At time (sec): 0.928
1.4
Linear Simulation Results
Step Response
10
9
1.2
8
1
7
6
0.8
Amplitude
Amplitude
System: untitled1
Settling Time (sec): 1.47
0.6
5
4
3
0.4
2
0.2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec)
Time (sec)
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0
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17
Diseño de Sistemas de Control
Diseño empleando la respuesta de frecuencia
•Se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en forma indirecta,
a través del MF, MG y Mr.
•El diseño es sencillo y directo.
•Para propósitos de diseño es mejor trabajar con el Diagrama de Bode.
Redes de adelanto
G c s   K c
s
s
1
T
1
 K c
Ts  1
 Ts  1
, 0  1
T
•Su función principal es volver a dar forma a la curva de respuesta de
frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para
compensan atrasos de fase del sistema.
•Es básicamente un filtro pasa-altos.
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Diseño de Sistemas de Control
Redes de adelanto
•Diagrama de Nyquist (haciendo KC=1)
G c  s   K c
1
sin  m   2
1
2
jw T  1
j w T  1
1   
1   

, 0    1
1
1
•Diagrama de Bode (haciendo KC=1 y =0.1)
log w m 
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1
1
1 
 log
 log

2
T
T 
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
wm 
1
T
19
Diseño de Sistemas de Control
Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de
frecuencia
•Suponga el siguiente compensador de adelanto: G s   K TsTs11 ,
c
donde K  K C 
•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de
error estático solicitado.
•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.
•Determine el ángulo de fase  necesario a agregar al sistema y calcule  a partir
de la ecuación de m.
•Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual
a  20 log  1   . Esta será la nueva frec. de cruce de ganancia y corresponde a w  1 T
m
•Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule el
valor de KC.
•Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio.
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20
Diseño de Sistemas de Control
Ejemplo de diseño
R(s)
+
-
Gc(s)
2
s s  1
Y(s)
Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥
50º y MG ≥ 10dB.
Escogiendo una red de adelanto se tiene:
G c  s   K c
Ts  1
 Ts  1
, 0  1
Y haciendo que K  K  , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación
del valor de KV, obteniendo:
c




2
Ts  1
2
  lim  sK
  2 K  20
K V  lim  sG C  s 
s 0
s 0




s
s

1

Ts

1
s
s

1





K  10
A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:
2K
s  s  1

20
s  s  1
A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se
requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe
contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para
compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia).
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21
Diseño de Sistemas de Control
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
System: sys
Frequency (rad/sec): 6.69
Magnitude (dB): -7.09
0
Phase (deg)
-50
-90
System: sys
Phase Margin (deg): 12.8
Delay Margin (sec): 0.0504
At frequency (rad/sec): 4.42
Closed Loop Stable? Yes
-135
-180
-2
10
-1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Entonces de la fórmula de m se tiene: sin 42 , 2 º  



 20 log  1
   20 log  1
 
0 ,196



   7 , 069 dB

1
1

 
1  sin  42 , 2 º 
1  sin  42 , 2 º 

  0 ,196
Por lo que:
y como se observa en el diagrama de
magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s
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22
Diseño de Sistemas de Control
Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de wm se
obtiene: w  1  6 ,68 rad s  1  6 ,68  0 ,196   2 .96 y 1  15 ,07
m
T
T
T
Y calculando el valor de KC K  K
C
  10

Finalmente el compensador diseñado es
KC 
10
 50 ,92
0 ,196
G c  s   50 ,92
s  2 ,96
s  15 , 07
Sist. sin compensar
Bode Diagram
Compensador
100
Sist. compensado
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
45
Phase (deg)
0
System: tot
Phase Margin (deg): 50.7
Delay Margin (sec): 0.132
At frequency (rad/sec): 6.68
Closed Loop Stable? Yes
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
marzo 2009
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23
Diseño de Sistemas de Control
Redes de atraso
G c  s   Kˆ c
s
s
1
T
1
Ts  1
 Kˆ c 
,  1
 Ts  1
T
•Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las
frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema.
•Es esencialmente un filtro pasa-bajos.
•Diagrama de Nyquist
•Diagrama de Bode (para =10 y KC=1)
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24
Diseño de Sistemas de Control
Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia
•Suponga el siguiente compensador de atraso: G
c
s  
K
Ts  1
 Ts  1
, donde K  K C 
•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático
solicitado.
•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.
•Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de
frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el
MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta es la nueva frecuencia de cruce
de ganancia.
•Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben
ubicarse mucho más abajo que la nueva frec. de cruce de ganancia (hasta una década por
debajo).
•Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frec.
de cruce de ganancia. Esta atenuación es de  20 log   
•Usando el valor de K y de  se determina el valor de KC.
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25
Diseño de Sistemas de Control
Ejemplo de diseño
R(s)
+
-
Gc(s)
2
s s  1
Y(s)
Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥
50º y MG ≥ 10dB.
Escogiendo una red de atraso se tiene:
G c s   K c 
Ts  1
 Ts  1
,  1
Y haciendo que K  K  , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación
del valor de KV, obteniendo:
c




2
Ts  1
2
  lim  sK
  2 K  20
K V  lim  sG C  s 
s 0
s 0




s
s

1

Ts

1
s
s

1





K  10
A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:
2K
s  s  1

20
s  s  1
A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se
requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina
la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º.
Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s.
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26
Diseño de Sistemas de Control
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
System: sys1
Frequency (rad/sec): 0.572
Magnitude (dB): 29.6
0
Phase (deg)
-50
-90
System: sys1
Phase Margin (deg): 12.8
Delay Margin (sec): 0.0504
At frequency (rad/sec): 4.42
Closed Loop Stable? Yes
System: sys1
Frequency (rad/sec): 0.571
Phase (deg): -120
-135
-180
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta
frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso
deberá cumplir que:
 20 log      29 . 6 dB
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29 . 6

  10
Sist. de Control Automático-DACI-EPN
20
 30 , 2
27
Diseño de Sistemas de Control
Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por
debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que: 1  0 ,1 y 1  0 ,0033
T
Y calculando el valor de KC
K  K C   10

Finalmente el compensador diseñado es
KC 
10
T
 0 ,33
30 , 2
G c  s   0 ,33
s  0 ,1
s  0 , 0033
Sist. no compensado
Bode Diagram
Compensador
150
Sist. compensado
Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-100
0
System: tot
Phase Margin (deg): 50.4
Delay Margin (sec): 1.52
At frequency (rad/sec): 0.579
Closed Loop Stable? Yes
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
marzo 2009
Sist. de Control Automático-DACI-EPN
28
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Redes de Compensación