Evolución de interfases fluidas: gotas
Marco Antonio Fontelos
Universidad Rey Juan Carlos
Primera Clase
1.1.- Las Ecuaciones
1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad
1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases
1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar
Segunda Clase
2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos
2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico
2.3.- La estructura de gotas-en-alambre
2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del
polímero
1.1. Las Ecuaciones
Fluido 1
Fluido 2
Interfase
n
Fluido 1
Fluido 2
Interfase
Caso de un solo fluido (ocupando
N-S
(en
C.C.
(en
)
)
Cinemát.
(en
)
)
La condición cinemática en un dominio axisimétrico
n
h(z,t)
z
del fluido
La curvatura de un
Dominio axisimétrico
R2
s
1.2. Soluciones de equilibrio y su
estabilidad
Reescale:
g
Ecuación y cond. de contorno:
z
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
Inestable. Wente 1980
Reescale:
Ecuación y cond. de contorno:
g
Superficies capilares:
Extremos de E con
R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces
S
La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879)
Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional
Ley de Bernoulli:
En la frontera:
Pequeñas perturbaciones del cilindro:
R
Inest. de Rayleigh
Savart 1833
0.2
G(x)
0.1
00
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
x
-0.1
-0.2
Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.
La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879)
R
Kowalewski,
1996
Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)
1.3. Una restricción geométrica a la
ruptura de interfases
A. Córdoba, D. Córdoba,
C. Fefferman, MAF (2002)
h(t)
Simetría cilíndrica, sin gravedad,
sin contacto con sólidos.
-L
L
Nota:
Entonces:
Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente
1.Un solo fluido
1)
2)
Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad,
Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno.
Obtenemos así la siguiente identidad de energía:
2.Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan
todas las demás:
3.En un disco de radio R se tiene
Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos
Cauchy-Schwarz en el término de la derecha:
Por 1) y 2) entonces
1.4. El modelo unidimensional y
ruptura autosimilar
(J. Eggers, T. Dupont, 1993)
El límite unidimensional
n
Navier-Stokes (axisimétricas)
t
D
L
Condiciones de contorno
Condición cinemática
z
n
Navier-Stokes (axisimétricas)
t
D
L
Condiciones de contorno
Condición cinemática
z
Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula:
Entonces:
N-S
p0
C.C.
Cin.
v2
Deshacemos el cambio para h y para z.
Introducimos:
Sistema Unidimensional:
Rutland & Jameson, 1971
Solución numérica del sistema (perfiles)
2
1
h(z,t)
0
-1
-2
-6
-4
-2
0
2
4
6
20
15
0
10
5
0
-10
0
10
20
30
40
50
Solución numérica del sistema (velocidades)
4
3
2
v(z,t)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
4
0.3
3
0.2
2
0.1
1
0
0
-0.1
-1
-0.2
-2
-3
-0.3
-4
-0.4
-5
-0.5
-6
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0.3
20
0.2
0.1
15
0
10
-0.1
-0.2
5
-0.3
0
-0.4
-0.5
-10
0
10
20
30
40
50
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999
La ruptura para un fluido no viscoso
Day et al. 1998
2.1. La evolución para fluidos
muy viscosos: filamentos
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-6
-4
-2
0
Rothert, Richter, Rehberg, 2001
2
4
6
hmin
tiempo
I
II
III
IV
MAF 2001
Etapa I
Etapa II
Etapa III
Imponemos
y entonces
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-6
-4
-2
0
Similaridad de 2º tipo (Barenblatt)
2
4
6
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-8
-6
-4
-2
0
2
Papageorgiou, 1994
4
6
8
Etapa IV
Filamentos iterados:
Shi, Brenner, Nagel, 1994
¿Ruptura autosimilar?
2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo
polimérico
Efecto Weissenberg
Viscosidad vs. esfuerzo
g
Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.
F
Leyes Constitutivas
Fluido Newtoniano
Fluido viscoelástico (Oldroyd-B)
2.3. La estructura de
gotas-en-alambre
J. Eggers, J. Li, MAF (2002)
Goldin et al., 1969
- Gotas en alambre
- Migración y colisión de gotas
McKinley et al., 2001
- Radio: hmin=h0exp(-At)
El modelo unidimensional para fluidos viscoelásticos
Modelo local
Coord. Lagrang.
Soluciones estacionarias
Filamento:
La estabilidad del filamento
Ondas viajeras
Factor integr.
R>>F0 , F0<<1
Evolución de un filamento
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6
-4
-2
0
2
4
6
Perfiles
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6
-4
-2
0
2
4
6
15
0.3
0.2
10
0.1
0
e-(t/3D)
-0.1
5
-0.2
-0.3
0
-3.2
-3
-2.8
e-(t/3D)
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.4
0.3
0.2
e-(t/3D)
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-6
-4
-2
0
2
4
0
-0.05
Velocidad
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
-0.3
-0.35
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
6
140
120
100
80
60
e(t/3D)
40
20
0
-20
-6
e-(t/3D)
-4
-2
0
2
4
1.6
1.4
1.2
Esfuerzo elástico
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
6
El cuello
t>>1
Matching con la gota
Matching con el filamento
Experimentos
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0.55
C. Clasen, G. McKinley (2002)
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
-1.5
-2
-2.5
Log(hmín)
-3
-3.5
-4
-t/3D
-4.5
-5
-5.5
-6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-3
10
x 10
-1.5
data 1
linear
data 1
linear
9
-2
8
-2.5
7
-3
6
-3.5
5
-4
4
-4.5
-5
10
3
20
30
40
50
60
70
Régimen exponencial
80
2
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
Régimen lineal (hmín)
100
2.4. Correcciones debidas a la
extensibilidad finita del polímero
Extensibilidad infinita:
Extensibilidad finita:
Q+Qeq
Ext. infinita
Ext. finita
Oldroyd B
FENE (finitely extensible nonlinear elastic)
log(hmin)
t
Problemas
1.- Existencia y unicidad de soluciones hasta el punto de ruptura
(sistemas unidimensional y tridimensional).
2.- Justificación del límite unidimensional a partir del modelo
tridimensional (shallow waters).
3.- Demostración de la existencia de las soluciones autosimilares
del modelo unidimensional.
4.- Existencia de ruptura en tiempo finito para el caso tridimensional y descripción completa del mecanismo. Estabilidad.
5.- Mecanismo de formación de filamentos iterados.
6.- Algoritmos numéricos que resuelvan la singularidad.
7.- Idénticas cuestiones en el caso de los fluidos viscoelásticos.
8.- Efectos “finos” de los polímeros (varias frecuencias de oscilación, efectos de enrollamiento, etc.) en la dinámica y observación experimental.
Ejercicio 1. Hallar la relación entre
longitud de onda y velocidad de las
ondas gravitatorio-capilares generadas
en un contenedor de altura media H.
h(x,t)
H
vy(x,0)=0
y
x
Ejercicio 2. Las ecuaciones para una película plana delgada, en la
aproximación unidimensional, con simetría en una dirección, y
bajo la acción de fuerzas de Van der Waals, son las siguientes:
(Vaynblat et al. 2001).
i) Estudiar la estabilidad de una película de espesor constante.
ii) Proponer mecanismos autosimilares de ruptura y deducir los
sistemas de EDOs correspondientes.
h(x,t)
x
g
z
NOTA:
NOTA:
NOTA:
NOTA:
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