Teselaciones
(o como embaldosar el plano)
Planteamiento del problema
 Las teselaciones o recubrimientos del
plano más simples se construyen a
partir de piezas, todas de la misma
forma, que encajan sin dejar huecos
ni solaparse. Cuando las piezas son
polígonos, hablamos de recubrimientos poligonales, y si además son regulares, de recubrimientos regulares.
Teselaciones regulares
 El caso más sencillo, por ser el que
más vemos, es el recubrimiento por
cuadrados. He aquí dos ejemplos:
Tipo 1
Tipo 2
Teselaciones regulares
 Solamente nos ocuparemos de recubrimientos del primer tipo, en los que los
polígonos se adosan unos a otros de
manera que los lados coincidentes lo
hacen en su totalidad (lado a lado).
Cada vértice presenta una configuración
que se llama figura en el vértice, constituida por los polígonos que en él se
juntan.
Teselaciones regulares
 Exigiremos que las figuras en los
vértices sean iguales.
 Puesto que en cada vértice se han de
juntar polígonos regulares iguales, sin
huecos ni solapamientos, esto obliga
a que tales polígonos no puedan ser
más que triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. La
razón de este hecho es la siguiente:
Ángulos interiores
Ángulo interior
Ángulo exterior
Ángulos en polígonos regulares
 Todos los ángulos exteriores de un
polígono regular suman 360 grados.
Por tanto cada uno de ellos, al ser
todos iguales entre sí, mide 360
dividido por el número de lados.
Ángulos en polígonos regulares
 Como cada ángulo exterior, con el correspondiente interior, suma 180 grados, el ángulo interior de un polígono
regular de n lados tiene como medida,
en grados,
180 
360
n
Ángulos en los vértices
 Si en cada vértice del recubrimiento
regular coinciden m polígonos, cada
uno de n lados, debe cumplirse que
m (180 
360
)  360
n
Esta ecuación se puede escribir, tras
un poco de cálculo, de esta forma
más simple:
( m  2 )( n  2 )  4
¿Cuántas teselaciones regulares
existen?
 m y n deben ser números naturales, y además mayores o iguales que 3. Solo hay tres posibilidades:
m
6
n
3 (triángulos)
4
3
4(cuadrados)
6(hexágonos)
¿Cuántas teselaciones regulares
existen?
 Por tanto solamente existen tres
teselaciones regulares, constituidas
por triángulos equiláteros, cuadrados
o hexágonos.
Teselación triangular
Teselación cuadrada
Teselación hexagonal
Teselaciones duales
 Si en una de las tres teselaciones
anteriores unimos los centros de los
polígonos ¿qué obtenemos?
Tomemos la hexagonal:
Teselación dual
Teselación dual
 Ha resultado una teselación triangular
que se llama dual de la hexagonal.
 Si se parte de una hexagonal, se
obtiene como dual una triangular.
 La teselación cuadrada tiene como
dual otra cuadrada.
Teselaciones semirregulares
 Si se mantienen las restricciones de
seguir usando como teselas polígonos
regulares, que los recubrimientos
sean lado a lado, y que las figuras en
los vértices sean iguales, pero se
admite que puedan utilizarse polígonos de diferente número de lados
¿cuántas teselaciones distintas
existen?
Teselaciones semirregulares
 La respuesta es ocho. Estas son:
Teselaciones semirregulares
Teselaciones semirregulares
Teselaciones semirregulares
 Una obra de Salvador Dalí:
Teselación “Cairo”
 Esta es una teselación con pentágonos, pero no son regulares. Es dual
de la que aparece a su lado.
Teselaciones con polígonos
irregulares
 ¿Con qué tipo de polígonos irregulares se podrá teselar el plano, manteniendo que se adosen lado a lado y
que todos sean de la misma forma y
tamaño? He aquí un resultado:
Cualquier paralelogramo permite
teselar el plano.
Teselaciones con polígonos
irregulares
Teselaciones con polígonos
irregulares
 Consecuencia inmediata del hecho
anterior es este otro:
Cualquier triángulo permite
teselar el plano.
Pues dos copias del triángulo dado
pueden unirse para formar un paralelogramo, y se aplica lo anterior.
Teselaciones con polígonos
irregulares
 ¿Será posible teselar el plano con
cuadriláteros cualesquiera? La
respuesta es afirmativa. Para verlo,
tomamos el punto medio de uno
cualquiera de los lados del cuadrilátero, y hallamos la figura simétrica
del mismo respecto de dicho punto.
Teselaciones con polígonos
irregulares
Teselaciones con polígonos
irregulares
 La figura resultante es un hexágono
que tiene los lados opuestos paralelos
e iguales entre sí. Tal hexágono tesela el plano.
¿Qué ocurre si el cuadrilátero del que
se parte no es convexo? El método
sigue siendo válido.
Teselaciones con polígonos
irregulares
Teselaciones con polígonos
irregulares
 Una vez vistos los casos de triángulos
y cuadriláteros ¿qué se puede decir
de la posibilidad de teselar el plano
con polígonos irregulares convexos
de mayor número de lados?
 K. Reinhardt demostró en 1927 que
es imposible recubrir el plano con
teselas poligonales convexas de siete
o mas lados.
Teselaciones con hexágonos
 En su tesis doctoral de 1918, el ya
citado K. Reinhardt demostró que se
puede recubrir el plano con hexágonos irregulares convexos de tres tipos
distintos, que deben verificar unas
condiciones referidas a sus lados y a
sus ángulos.
El curioso caso de los pentágonos
 Fue de nuevo Reinhardt el que estudió
los pentágonos convexos y encontró
cinco clases de ellos que pueden teselar el plano, pero no probó que no hubiera otros. En 1968, R.B.Kershner
descubrió tres clases más, y manifestó
que estaba seguro de haber cerrado el
problema, aunque no lo demostró.
El curioso caso de los pentágonos
 En julio de 1975 se publicó en Scientific American la clasificación aparentemente completa de los pentágonos
convexos que teselan el plano. Poco
tiempo después, un lector descubrió
una nueva clase -¡y ya van nueve!- y
un ama de casa, Marjorie Rice, sin
más bagaje matemático que el estudiado en educación secundaria,
descubrió cuatro clases más.
El curioso caso de los pentágonos
 En 1985, un doctorando en matemáticas halló una nueva clase. Desde
entonces no se ha descubierto
ninguna nueva, pero no se ha
demostrado que las halladas son
todas las posibles.
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