Papiroflexia: geometría con papel
José Ignacio Royo Prieto
Universidad del País Vasco
MATEMÁTICAS EN ACCIÓN
Santander, 24 de mayo de 2006
Reglas de la Papiroflexia
(ortodoxa)
• Se empieza con un único trozo de papel
cuadrado;
• Sólo se puede plegar el papel;
• No se pueden realizar cortes;
• No se puede usar pegamento.
Modelos tradicionales
Barco de papel
Ilustración de “A través del Espejo”,
de Lewis Carrol
León, leona y cría (David Brill)
Mantis religiosa (Ronald Koh)
Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)
Dos Cisnes (David Derudas)
Peces (John Montroll)
Demonio
(Jun Maekawa)
Dragón (Shatoshi Kamiya)
Insectos (Robert Lang)
Rosa (Toshikazu Kawasaki)
Eric Joisel
Jedi Master Yoda
(Fumiaki Kawahata)
• Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)
Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)
Demonio de Tasmania
(J.I.R.)
Mosca (J.I.R.)
Pájaro aleteador
Origami
Ori = Doblar
Kami= Papel
“Un mago
convierte hojas de
papel en pájaros”
Grabado en madera japonés
de 1818.
“Senbazuru Orikata”
Japón, 1789
Miguel de Unamuno
(Zuloaga)
Monumento a la Pajarita
(Ramón Acín),
Parque de Huesca
Akira Yoshizawa
Akira Yoshizawa
Elefantes (Akira Yoshizawa)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Avispa (Kamiya)
Tomoko Fuse
Instrucciones de plegado
de un insecto de Robert
Lang.
Sistema de símbolos de
Yoshizawa-Randlett
Relación Matemáticas-Papiroflexia
•
•
•
•
Papiroflexia modular
Teoremas de papel
Constructibilidad de puntos con Origami
Diseño de figuras con métodos matemáticos
Poliedros
• Definición: conjunto
conexo de R3 formado por
polígonos (caras) que
cumplen:
• cada lado de cada cara
es compartido con otra
cara;
• en cada vértice hay un
circuito cerrado de
polígonos.
Poliedros convexos
Su interior es convexo, y su interior se puede definir
mediante fórmulas:
Siendo C el número de caras.
Sólidos Platónicos
- Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares;
-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.
-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Pirámide de
Micerinos
(Gizeh, Egipto)
Icosaedro truncado, cuestión de estado.
Papiroflexia modular
• Hacer figuras geométricas ensamblando
piezas de papel sencillas e idénticas
(módulos)
• El interés para con las matemáticas es
doble:
– representación de poliedros y otras figuras;
– la construcción nos acerca a las propiedades de
esas figuras.
Clases de módulos
• Por vértices;
• por aristas;
• por caras.
Problema de la coloración
• Construir el poliedro en cuestión de modo
que sus caras, vértices o aristas sigan un
patrón. Ejemplo: que no concurran dos
colores iguales
• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro
Grafos planos de los sólidos platónicos
Coloración
icosaedro

Coloración
icosidodecae
dro
Icosidodecaedro
6 ciclos de
aristas en
un
icosidodeca
edro
Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico
Triacontaedro rómbico
Coloración
icosaedro
estrellado
usando
módulos
Sonobè
Dualidad de poliedros
Dualidad icosaedro-dodecaedro
Cinco Tetraedros Intersecados
Satoshi Kamiya
Balón de fútbol
• 12 pentágonos;
• 20 hexágonos;
• En cada vértice, se
juntan 2 hexágonos y
un pentágono.
Fullerenos
• Están formados por
hexágonos y
pentágonos;
• Concurren 3 aristas en
cada vértice
Cúpula geodésica de Montreal
(Richard Buckminster Fuller)
Característica de Euler
Pentágonos de un fullereno
Construcción de nuevos fullerenos
Fullereno
gigante
(810
piezas)
Teorema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un
poliedro convexo de 3 si y sólo si es
plano y 3-conexo.
Problema de Steinitz
Decidir cuándo un grafo se puede realizar
en 3 como un poliedro convexo
circunscrito en la esfera usual.
El balón de la Champions
• Pentágonos
• Triángulos
• ¿Cuadrados?
Fórmula de Euler para 2
Dominios fundamentales
Sergei Lupashin (120 piezas)
Roberto Gretter
Sarah Belcastro (105 piezas)
(555 piezas)
Curvatura de 2 con origami
• Pentágonos: curvatura positiva
• Hexágonos: curvatura cero
• Heptágonos: curvatura negativa
Teoremas de papel
• Teoremas del triángulo
• División en 3 partes
• Nudo pentagonal
Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe
Axiomática de Humiaki Huzita
O3
O1
O4
O2
O5
O6
New York Journal of Mathematics, 2000
Métodos matemáticos de diseño
Propiedades del mapa de
cicatrices de un modelo plano
Proyección sobre la base
de un modelo plano
Mapa de
cicatrices y base
correspondiente
Método de Kawahata-Meguro
Pliegue oreja de conejo
Hipérbola: lugar geométrico de los incentros
Figuras de
Fumiaki
Kawahata
Treemaker de Robert Lang
“Tree theorem” de Lang
Figura diseñada con Treemaker
Origag
(Roberto Morassi, 1984)
Bibliografía
Más bibliografía
• http://www.pajarita.org (A.E.P.)
• http://www.divulgamat.net (sección cultura
=> matemáticas y papiroflexia)
• http://web.merrimack.edu/~thull
• Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.
GRACIAS
http://www.ehu.es/joseroyo
Descargar

Matemáticas, papiroflexia y balones de fútbol