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Ejemplo
A continuación aparecen las tasas de retorno de dos
fondos de inversión durante los últimos 10 años.
1. ¿Cuál es más riesgoso?
2. ¿En cuál invertiría y por qué?
• Fondo A: 8.3, -6.2, 20.9, -2.7, 33.6, 42.9, 24.4, 5.2, 3.1,
30.05
• Fondo B: 12.1, -2.8, 6.4, 12.2, 27.8, 25.3, 18.2, 10.7, 1.3, 11.4
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Medidas de Posición Central:
• Usualmente, nuestra atención se centra en dos
aspectos de las medidas de posición central:
– Medición del punto central (promedio)
– Medición de la dispersión en torno al promedio
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Medidas de Posición Central: la media
• Es la medida mas popular.
Suma de las observaciones
Media =
Número de observaciones
• Es decir, tenemos una muestra de n observaciones:
x1, x2,…,xn. Su media muestral es:
x
( x 1  x 2  ...  x n )
n
• De forma compacta:
x 
1
n
n

i 1
xi
3
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Medidas de Posición Central: la media
• Ejemplo:
La media de la muestra de seis observaciones:
7, 3, 9, -2, 4, 6
esta dada por:
x
6
 i1
6
xi

x71  x32  x93  x24  x45  x66
6
 4.5
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Medidas de Posición Central: la media
• Ejemplo:
Cuando muchas observaciones toman el mismo valor, estas se pueden
resumir en una tabla de frecuencias. Supongamos que el número de
Hijos en una muestra de 16 empleados fuera el siguiente:
NUMERO DE HIJOS
0
NUMERO DE EMPLEADOS 3
1
4
2
7
3
2
16 empleados
x

16
x
i1 i
16
x 1  x 2 ...  x 16
3 ( 0 )  4 (1)  7 ( 2 )  2 ( 3 )


 1 .5
16
16
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La mediana
• La mediana (M) es el “valor central” de un
histograma.
• Para hallar la mediana de una distribución
debemos:
1. Ordenar las observaciones en orden ascendente.
2. Si el número de observaciones n es impar, M es la observación
central de la lista ordenada. M se halla contando (n+1)/2
observaciones desde el comienzo de la lista.
3. Si el número de observaciones n es par, M es la media de las dos
observaciones centrales de la lista ordenada.
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La mediana
• Ejemplo:
Los salarios de siete empleados fueron
los siguientes (en 1000s) :
28, 60, 26, 32, 30, 26, 29.
¿Cuál es la mediana?
Supongamos que se agrega al grupo el
Salario de un empleado más ($31,000).
¿Cuál es la mediana?
Nro. de observaciones es impar
Nro. de observaciones es par
Primero, ordenar los salarios.
Luego, localizar el valor en el medio.
Primero, ordenar los salarios.
Luego, localizar el valor en el medio.
Hay dos valores en el medio!
26,26,28,29,30,32,60
26,26,28,29,29.530,31,
32,60
,30,31,32,60
26,26,28,29,
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La moda
El modo es el valor que ocurre con mayor frecuencia
en un grupo de observaciones.
El modo
Cuando la muestra
es grande, los datos
se agrupan en intervalos
y obtenemos el
Intervalo modal
En un conjunto de observaciones puede haber más de un modo.
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La moda
Ejemplo
El gerente de una tienda de ropa posee la siguiente
información sobre el talle de los pantalones que se
vendieron ayer:
31, 34, 36, 33, 28, 34, 30, 34, 32, 40.
El modo es 34
En muchos casos, el modo nos da
información mas valiosa que la
mediana: 33.2.
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Media, Mediana y Moda
• Si una distribución es simétrica, la media, mediana
y modo coinciden
• Si una distribución no es simétrica, las tres
medidas difieren.
Asimetría hacia la derecha
(asimetría positiva)
Modo
Media
Mediana
Asimetría hacia la izquierda
(asimetría negativa)
Media Modo
Mediana
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Medidas de dispersión
• Caracterizar una distribución solamente a través de una medida
central no es apropiado.
• Las distribuciones del ingreso de dos provincias con el mismo
ingreso medio por hogar son muy distintas si una de ellas tiene
extremos de pobreza y de riqueza, mientras que la otra tiene poca
variación de ingresos entre familias.
• Estamos interesados en la dispersión o variabilidad de los
ingresos, además de estarlo en sus centros.
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Medidas de dispersión
Ejemplo de dos conjuntos de datos con igual media
Datos con baja dispersión
Datos con alta dispersión
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Medidas de dispersión
• Rango
Una manera de medir la dispersión es calcular el
recorrido de la distribución empírica, es decir, la
diferencia entre las observaciones máxima y mínima.
Su mayor ventaja es que se puede calcular
facilmente, sin embargo, no brinda información
sobre la dispersión existente entre ambos valores
extremos.
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Una medida de dispersión: La varianza
• La varianza s2 de un conjunto de observaciones es el
promedio de los cuadrados de la desviaciones de las
observaciones respecto a su media. Formalmente:
( x 1  x )  ( x 2  x )  ...  ( x n  x )
2
s 
2
2
2
n 1
• De forma compacta:
s 
2
1
(x

n 1
i
 x)
2
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Propiedades del desviación estándar
• s mide la dispersión respecto a la media. Debe
emplearse solo cuando se escoge la media como
medida central de la distribución.
• s = 0 solo ocurre cuando no hay dispersión: todas las
observaciones toman el mismo valor. De lo contrario s
> 0.
• Cuanto más dispersión hay entre las observaciones,
mayor es s.
• s, al igual que la media, se encuentra fuertemente
influenciado por las observaciones extremas.
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Distribuciones normales
• Todas las distribuciones normales tienen la misma forma
general.
• La curva de densidad de una distribución normal se
describe por su media  y su desviación estándar .
• La media se sitúa en el centro de la curva simétrica, en el
mismo lugar que la mediana.
• Si se cambia  sin cambiar  se provoca un
desplazamiento de la curva de densidad a lo largo del eje
de las abscisas sin que cambie su dispersión.
• La desviación típica  controla la dispersión de la curva
normal.
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Corto 2
• La edad promedio de los ejecutivos de 500 empresas es de
56.2 años con una desviación estándar de 12.7 años y su
ingreso promedio es de $ 89,432.00 con una desviación
estándar de $ 16,097.00. En que característica son más
homogéneos los ejecutivos?
• Por qué es necesario calcular el coeficiente de variación y
que información nos proporciona?
• Si el fondo de inversión A tiene una media de 17.50 y una
desviación estándar de 12.00 y el fondo B tiene una media
de 18 con una desviación estándar de 24.00 ¿en cuál
invertiría y por qué?
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Distribuciones normales
• La curva con mayor desviación estándar es la curva que presenta
mayor dispersión.
• La desviación típica  es la medida natural de la dispersión de una
distribución normal. La forma de una curva normal no solo queda
completamente determinada por  y , sino que además es posible
situar  a simple vista en la curva.
• Cuando nos alejamos de , en cualquier dirección, la curva pasa de
descender rápidamente a descender suavemente.
• Estos puntos de inflexión están situados a una distancia  de .




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Regla Empírica
• En una distribución normal:
 El 68 % de las observaciones se encuentra entre   .
 El 95 % de las observaciones se encuentra entre   2 .
 El 99.7 % de las observaciones se encuentra entre   3 .
68% de los datos
95% de los datos
99.7% de los datos
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Distribución normal estandarizada
• Si x es una observación de una distribución de media  y
de desviación estándar , el valor estandarizado de x es:
x  
z 

• La distribución normal estandarizada es la distribución
normal N(0,1): su media es 0 y su desviación estándar es 1.
• Si una variable x tiene una distribución normal N(,),
entonces z posee una distribución normal estandarizada.
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Estadistica Clase 2 y 3