Capítulo 4:
Medidas de dispersión
Medidas de dispersión absolutas
Desviación media
Varianza, Desviación típica o estándar
Tipificación
Medidas de dispersión relativas
Introducción
¿Es la media representativa?
Queremos cuantificar la separación de los
valores de la distribución respecto a la
media. Si todos los valores están
cercanos al valor medio, la media es
representativa.
Medidas de dispersión absolutas
• Recorrido:
Re  máx x i  mín x i
i
i
- la diferencia entre el mayor y el menor
valor.
- Nota: ¡Muy sensible a valores extremos!
Medidas de dispersión absolutas
• Recorrido intercuartílico:
R I  C 3  C1
- la diferencia entre el tercer cuartíl y el
primero.
- 50% de los valores centrales están
incluidos en R I .
• Queremos una medida que hace referencia a la promedia.
• Alternativa: sumar todas las desviaciones al promedio ( P )
y promediar estas ;
n
n
D 

i 1
( xi  P )
i
N
• ¡Pero entonces sumamos valores positivos y negativas y
sería pequeña aunque la dispersión puede ser grande!
¡Si P  x , D  0 !
Desviación media
Se puede calcular las desviaciones en valor
absoluto.
n
Dx 

i 1
xi  x
ni
N
Es la desviación media respecto a la media
aritmética.
Un valor de D x grande indica una gran
dispersión.
Desviación media respecto
a la mediana
n
D Me 

x i  Me
i 1
ni
N
- Recuerda que cuando la distribución está
agrupada en intervalos
N
Me  L i  1  2
 N i 1
ni
ci
y para x i se usa las
marcas de clase.
Varianza
• La varianza es la media aritmética de los
cuadrados de las desviaciones de los
valores de la variable a la media
aritmética;
n
S 
2
 (x
i 1
i
 x)
2
ni
N
Desviación típica o estándar
• La varianza es difícil de interpretar porque
las unidades de la medida están elevadas
al cuadrado. La desviación típica es,
n
S 
S
2

 (x
i 1
i
 x)
2
ni
N
Varianza
• Propiedades de la varianza:
1) La varianza es positiva para un variable (Un constante
tienen la varianza cero!)
2) La varianza es la medida cuadrática de dispersión
óptima:
3) La varianza es igual al momento de segundo orden
respecto al origen menos el de primer orden elevado al
cuadrado.
4) Si sumamos a todos los valores de la variable una
constante, la varianza no varía.
5) Si multiplicamos a todos los valores de la variable una
constante, la varianza queda multiplicada por el
cuadrado de la constante.
Desviación típica
• Propiedades de la desviación típica:
1)…5)
Nota: Valores extremos tiene más influencia
sobre la desviación típica comparado con
la desviación media.
Tipificación
• Una variable se denomina tipificada,
estandardizada o reducida, si su media es
cero y su varianza es uno.
Z 
xi  x
S
• La observación x i está Z
desviaciones típicas por encima (debajo)
de la media.
Medidas de dispersión relativas
• ¿Como podemos comparar la dispersión
de dos variables distintas cuando la
unidad de medida es diferente? (¿o
cuando la media es diferente?).
• Necesitamos medidas adimensionales.
Medidas de dispersión relativas
• Coeficiente de apertura.
• La relación por cociente entre el valor
mayor ( x n ) y menor ( x1 ),
A
xn
x1
Medidas de dispersión relativas
• Recorrido relativo
• El cociente entre el recorrido y la media
aritmética, R  R .
e
r
x
• Indica el número de veces que el recorrido
contiene a la media aritmética.
Medidas de dispersión relativas
• Recorrido semi-intercuartílico:
• El cociente entre el recorrido intercuartílico
y la suma del primer y tercer cuartil:
Rs 
C 3  C1
C 3  C1
Medidas de dispersión relativas
• Coeficiente de variación de Pearson
• Coeficiente de variación de Pearson es la
relación por cociente entre la desviación
típica y la media aritmética:
V 
S
x
Medidas de dispersión relativas
• Índice de dispersión respecto a la
mediana
• Para comparar medianas.
n
V Me 
D Me
Me


x i  Me
i 1
Me
ni
N
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Medidas de dispersión