FISICA
LEYES DE KEPLER
LAS LEYES DE KEPLER
Cuando Nicolás Copérnico desechó la platónica idea de que "la Tierra es el centro y los
demás astros orbitan a su alrededor", todavia, durante bastantes años, se mantuvo la
también platónica idea de que las órbitas planetarias alrededor del Sol habrían de ser
exactamente circulares.
Johannes Kepler tardó largos años en superar tal falacia, pero, cuando lo logró, formuló
tres leyes del movimiento planetario que representaron uno de los grandes logros de
la Ciencia.
CONTINUACION
Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona, 1630) al que
se deben las tres leyes que describen el movimiento de los planetas de nuestro sistema
solar. Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso
que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar
el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho,
durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias
observaciones. Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de
obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que
había de desecharse la idea de que fueran circulares. En resumen, descubrió tres
hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían
describirse de la manera que se expone a continuación.
Primera Ley
Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una
elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.
Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos
aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando
alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se
tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar
esta primera ley kepleriana de la siguiente manera:
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1.
Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el movimiento
de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica (círculo, elipse,
parábola, hipérbola).
Segunda Ley
2. El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta
recorre áreas iguales en tiempos iguales.
Esto indicará que los planetas más cercanos al sol se desplazan más rápidamente, o sea,
tardan menos tiempo en dar una vuelta completa a la elipse.
CONTINUACION
Sea F la fuerza central de atracción gravitacional hacia un objeto de masa M
sufrida por un objeto de masa m que revoluciona a su alrededor. Sean sus dos
componentes cartesianas a lo largo de los ejes x e y: Fx, Fy.
Por tratarse de una fuerza central, existe la proporcionalidad Fx/x = Fy/y. Y se
tendría:
premultiplicando por y y por x, respectivamente, y restando ambas expresiones,
se cumpliría
CONTINUACION
y Fy/y,será x.Fy – y.Fx = 0, por lo que siendo Fx/x = :
CONTINUACION
Y se tiene, tomando coordenadas polares:
CONTINUACION
Esto quiere decir, en definitiva, que el área recorrida por el radio vector en cada unidad
de tiempo es constante.
CONTINUACION
DIAGRAMA
Tercera Ley
3. Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
Suponiendo un movimiento aproximadamente circular, la velocidad circular de un objeto que se
desplaza alrededor del sol seria:
CONTINUACION
y la aceleración centrífuga vendría dada por:
siendo T el periodo de traslación. Para que se equilibre con la fuerza de la
gravitación, ha de ser:
CONTINUACION
Si en lugar de considerar el movimiento circular, lo suponemos elíptico, la expresión
anterior sería la misma, solo que r representaría al semieje mayor de la elipse.
Supongamos, entonces, dos objetos de masas m1 y m2, que se mueven orbitando en
trayectoria elíptica alrededor del sol, de masa M. Se tendrían:
CONTINUACION
por lo que, igualando y ordenando:
Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la
aproximación de que la masa del objeto que orbita es despreciable en
comparación con la del Sol, se obtiene exactamente la expresión deducida
por Kepler:
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