T 2  T1
T2
T1
x0
T 2  T1
T2
T1
T 2  T1
T2
T1
… y es posible que la cuerda no se deslice.
Hipótesis:
T 2  T1
T2
¿Cuán grande puede ser
T1
T2
sin que la cuerda se deslice?
T1
Nota: La barra, si bien es redonda, ella está fija a su eje y en consecuencia no tiene rotación, no gira.
Cada punto del cable determina un ángulo desde una dirección fija
T ( )
T2  T (  )
T1  T ( 0 )
Para cada valor de  existe una correspondiente tensión T(  ) en el cable. Veremos
que T(  ) satisface una ecuación diferencial.
Haremos un análisis en los puntos correspondientes a los ángulo  –  y  + 
  

  
¿Cuál es la longitud del segmento de cable entre    y   ?
Dirección
radial
Dirección
tangencial
Esta es la fuerza de “roce” ejercida en
el punto determinada por el ángulo 
F ( )
N ( )
T (    )
T (    )
Observemos las fuerzas que actúan sobre los puntos que definen los ángulos ,    y
  , respectivamente
N ( )  T (    ) sen (   )  T (    ) sen (   )
Fuerzas
radiales
N ( )
FF ( )


T (    )
T (    )
F ( )  T (    ) cos (   )  T (    ) cos(   )
Fuerzas
tangenciales
¿Cuál es la presión ejercida sobre el punto definido por el ángulo ? De otra forma
¿cuál es la presión promedio ejercida sobre el cable de longitud 2r?
2 r 
La presión promedio es de
n ( ) 
N ( )
2 r 
N ( )
y puesto que
r
N ( )  T (    ) sen (   )  T (    ) sen (   )
entonces
n ( ) 
1 T (    )  T (    ) sen (   )


r
2

lim n ( )  n ( ) 
  0
r
T ( )
r
Que es la presión ejercida en el punto del cable
determinado por el ángulo 
Experimentalmente se puede verificar que mientras mayor sea la presión promedia ejercida
por el cable, mayor va a ser la fuerza de roce, y mayor el roce si mayor es la zona de
contacto (que tiene longitud 2r)
N ( )
n ( )
F ( )  f  n ( )  2 r  
2 r 
Coeficiente de fricción se supone
conocido
FF ( )


T (    )
T (    )
F ( )  T (    ) cos (   )  T (    ) cos(   )
T (    )  T (    )
2 

1
cos(   )
f  n ( )  r
T (    )  T (    )
2 
lim
  0

T (    )  T (    )
2 
1
cos(   )
 lim
  0
T  ( )  f  n ( )  r
n ( ) 
T ( )
r
T ( )  f  T ( )
f  n ( )  r
1
cos(   )
f  n ( )  r
T ( )  f  T ( )
T ( 0 )  T1
Solución:
En particular:
T ( )  T1e
f 
T (  )  T 2  T1 e
f 
T 2  T1
En consecuencia, para que el cable no
se deslice entonces
T1  T 2  T1e
f 
T2
1
T2
T1
Y esta es la respuesta al problema.
T1
e
f 
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