Universidad Politécnica de Madrid
E.U.I.T.A.
FUNDAMENTOS
PROYECTIVOS
FP_1
Prof. José Juan Aliaga Maraver
Universidad Politécnica de Madrid
Operaciones proyectivas
– Proyección
V
– Sección
a
b
c
b
A
B
C
Proyectar desde un punto V una serie rectilínea de base b genera un haz
de rectas de vértice dicho punto.
Seccionar por una recta b un haz de rectas de vértice V genera una serie
rectilínea de base dicha recta.
Ternas ordenadas de elementos
• Tres elementos pertenecientes a una forma de
primera categoría determinan una terna.
– puntos: (ABC)
– rectas: (abc)
– planos: (abg)
• La terna tiene un valor numérico o característica
asociado a la ordenación de los términos
– (ABC) = AB/AC = l.
– (abc) = sen(ab)/sen(ac) = l.
– (abg) = sen(ab)/sen(ag) = l.
Ternas ordenadas de elementos
V
El sentido del segmento AB es
contrario al del BA:
C’
AB=-BA
a
B’
b
A
B
(ABC) = AB/AC
(abc) = sen(ab)/sen(ac)
c
C
= (BB’/VB)/ (CC’/VC)
= (BB’/CC’) * (VC/ VB)
= (AB/AC) * (VC/ VB)
(ABC) ≠ (abc)
(ABC) = VB/VC*(abc)
Conservación de la razón simple
V
A’
B’
a
A
A’
b
B C
c
≠ (A’B’C’)
c
B’
B
b
(ABC)
V
a
A
C’
A’
C’
C
(ABC) = (A’B’C’)
Proyección cilíndrica
a
A
V
C’
B’
B C
c
b
(ABC) = (A’B’C’)
Homotecia
Proyecciones cilíndricas:
Conservación de la razón simple
(ABC) = (A’B’C’)
V
a
b
r
A
c
B
r
M
C
=r’
r’
M’
A’
B’
C’
La proyección del punto medio se corresponde con el punto medio de la
proyección
FP_1P_01
Ternas de elementos
1-.En la figura adjunta se cumple:
V
F
C
(ADE) = (ABC)
c
V
F
(BAC) = (DEA)
V
F
(ABC) =1/(ACB)
B
a
A
b
2-.En la figura adjunta se cumple:
V
F
(PRN) = (QRM)
V
F
(PRN) = 1 - (NRP)
D
E
d
M
N
R
P
Q
FP_1P_02
Proyección cilíndrica
Determinar el punto X que cumple:
a) (PQX)=2/3
P
Q
c) (XPQ)=2/3
P
Q
b) (PQX)=-2/3
P
Q
d) (XPQ)=-1
P
Q
FP_1P_03
Proyección cilíndrica
La sombra (simplificada) de una torre de repetidores esta delimitada por el
extremo A de un mástil de 12 metros, y el contorno BC de la edificación
asociada.
Determinar la altura total de la torre
D
D
C
B
C BA
A
Proyección cilíndrica
FP_1P_04
Determinar la altitud del punto P situado en el plano  (definido por los
puntos A, B y C, proyectados cilíndricamente sobre el plano del dibujo)
A
A(10)
P
P(
)
h=10
C
C(6)
A(10)
h=6
C(6)
B(6)
Figura de análisis
FP_1P_05
Proyección cilíndrica
Determinar la proyección del baricentro de un triángulo ABC contenido en
un plano a proyectado cilíndricamente sobre el plano  del dibujo
a
A’
A
B
C’
B’
C
A’
C’
B’
Figura de análisis

FP_1P_06
Ternas
Determinar una recta r que pase por el punto P y seccione a las rectas a y
b en puntos A y B respectivamente, de forma que (PAB)=-2/3
a
P
b
Figura de análisis
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