El modelo nuclear de
capas
Víctor Velázquez
Facultad de Ciencias UNAM

Los cálculos demostrativos realizados durante la
escuela utilizando el código Antoine no están
incluidos aquí, si deseas tener una copia del
código debes accesar a la siguiente página y
solicitarla a los autores:
http://sbgat194.in2p3.fr/~theory/antoine/main.h
tml


Si deseas ayuda para instalación, resolución de
problemas o deseas trabajar en física nuclear con
el modelo de capas puedes escribirme a
[email protected]
Agradezco a Frederic Nowacki gran parte del
material para esta presentación
Estructura del núcleo
 PARTE
I
 Modelos Nucleares.
 El modelo de capas
 PARTE II
 Código Antoine
 Ejemplos
Introducción
En sus inicios, la teoría nuclear
solo consideraba al núcleo como
un conjunto de protones y
neutrones en un volumen muy
pequeño dentro del átomo. La
investigación de sus
propiedades nos ha llevado a
muchos experimentos y
modelos para establecer su
estructura y dinámica.
Estructura Nuclear
 Modelo
de la gota de líquido.
 Modelo de partícula independiente.
 Modelo de capas.
 Modelo de bosones interactuantes.
 Teoría de Hartree-Fock
 Modelos colectivos
Fórmula de la energía de amarre.
Maria Goeppert-Mayer, the
Nuclear Shell Model, and Magic
Numbers
Potencial promedio
Construido a partir de un potencial promedio de oscilador armónico
más términos que toman en cuenta el acoplamiento órbita-órbita y
Espín-órbita
La solución del Hamiltoniano de
partícula independiente:
donde
Las funciones propias están dadas como la función producto
de la parte radial y la parte angular:
Para el caso del oscilador armónico, los valores propios son:
Tomando en cuenta el acoplamiento espín-órbita la solución es:
donde la funcion de onda de acoplamiento de espín orbital es:
Las energías correspondientes son:
con
Modelo de Nilsson
Un Hamiltoniano con términos de uno y dos cuerpos tiene la
forma:
El término de dos cuerpos puede ser reemplazado por uno de un
cuerpo
Para una partícula independiente, en el potencial:
Para un sistema de A partículas independientes:
cuyas funciones propias son
… y valores propios
Partículas idénticas
Para un sistema de partículas identicas, es necesario tomar en
cuenta que las partículas son indistinguibles.
La función de onda total es antisimétrica ante el intercambio
de dos partículas.
Existen dos posibles estados finales, pero asociados a un estado
Físico individual.
Con la medida no es posible distinguir los dos procesos.
Postulado de simetrización:
Para un sistema de partículas idénticas solamente algunas funciones
propias describen estados físicos: estas son antisimétricas para
fermiones y simétricas para bosones.
Si |u> es un ket físico, entonces P|u> , también es un ket físico.
Para fermiones los kets físicos son aquellos obtenidos por
antisimetrización
Ejemplo para dos partículas:
Por el principio de exclusión de Pauli:
Para tres partículas:
Para el caso de dos partículas:
Un determinante de Slater.
Para el caso de tres partículas:
En un sistema de A partículas:
La fase global está determinada por el orden de los índices
El formalismo de los números de ocupación simplifica enormemente
la notación:
Solamente números de ocupación de órbitas de partícula independiente
son necesarios.
Segunda Cuantización
Operadores de creación y aniquilación:
El vacío es tal que
Para fermiones, la antisimetría está dada por las reglas de
anticonmutación
El operador de un cuerpo queda definido como:
los operadores multipolares:
Los operadores de dos cuerpos:
Correlaciones en los núcleos.
Para la descripción del núcleo, el campo promedio sólo es el punto
de partida
La interacción residual de dos cuerpos (correlaciones) son
responsables de la estructura detallada del núcleo.
Particularmente, las correlaciones pueden inducir coherencia, es
decir movimientos colectivos
El movimiento coherente de particulas independientes, está generado
por las correlaciones de dos cuerpos.
El éxito del modelo de partícula independiente de N partículas pueda
ser simplificada en el medio nuclear (regularización). Para un número
dado de protones y neutrones los orbitales de campo promedio pueden
Ser agrupados en tres bloques:
-Carozo inerte
-Valencia: órbitales que contienen los grados de libertad físicos
relevantes para una propiedad dada. La distribución de las partículas de
valencia entre estos orbitales, está gobernada por la interacción.
-Espacio externo
Comenzando con una interacción regularizada, la solución exacta del
problema en el espacio de Hilbert (infinito) construido con los orbitales
de campo promedio, es aproximadamente la solución de la ecuación de
Schrodinger en el espacio de valencia utilizando una interaccion
efectiva, tal que:
En general, operadores efectivos, también deben introducirse para
tomar en cuenta restricciones en el espacio de Hilbert:
Modelo de capas
Un modelo de capas necesita los siguientes ingredientes:
° Un espacio de valencia
°Una interacción efectiva
°Un códico que construya y diagonalice la matriz de interacción.
Los dos últimos puntos limitan el espacio de valencia
Espacio de valencia
La selección del espacio de valencia
Para los núcleos ligeros, el oscilador armónico determina las
clausuras del espacio de valencia.
Capa
p
Cohen
/Kurat
ah
Capa
sd,
Brown/
Wildent
hal
Capa pf
deformada
Para núcleos pesados: el acoplamiento jj debido al término espínórbita controla las clausuras, por ejemplo
La interacción en segunda
cuantización
El Hamiltoniano puede ser escrito como:
Y en segunda cuantización:
Introduciendo un campo promedio:
El Hamiltoniano puede ser reescrito como:
Los estados base son vectores propios del campo promedio, y el
Hamiltoniano de dos cuerpos es diagonzalizado en esta base.
El Hamiltoniano desacoplado:
El Hamiltoniano acoplado
Introduciendo los operadores:
Tensor de acoplamiento como:
obtenemos
Y definiendo el
Ejemplos: espacio de valencia,
interacción y código
Wigner decía que la sustitución de una matriz realista por una
interacción aleatoria con el mínimo de propiedades reales
(simetrías) deberia arrojar como resultado, propiedades básicas
del sistema a estudiar.
Utilizando una interacción
aleatoria con una mayor
proporción de números
negativos, es posible
obtener el comportamiento
colectivo rotacional.
R=E(4+)/E(2+). Para un
rotor perfecto R=3.33
Valores B(E2) con interacciones
aleatorias con proporción de
números negativos
Valores B(E2)
Backbending con interacciones
aleatorias utilizando el código
Antoine.
Predominacia de 0+ en el estado
base utilizando interacciones
aleatorias, utilizando el código
Antoine
Estructura nuclear
(laboratorio
computacional)
Víctor Velázquez
Facultad de Ciencias UNAM
Los tres pilares del modelo de
capas
 El
espacio de valencia
 La interacción
 Un código corriendo en una
computadora lo suficientemente
rápida
El esquema M
 Las
simetrías del Hamiltoniano no
son explícitas.
 La base está construida por
determinantes de Slater a partir de
los orbitales de valencia.
 Así
los estados físicos provienen de
la diagonalización de la matriz
Hamiltoniana:
 Los
elementos de matriz son fáciles
12
de calcular. Tomemos el ejemplo
del
Ca en la capa p.
 Representamos un determinante de
Slater por una palabra de máquina
donde cada estado es un bit.
 En el ejemplo, el determinante de
Slater ocupa una palabra de 12 bits.
 La
acción del Hamiltoniano en este
objeto es muy simple.
 Sea
|I> una función base. La acción
de un término de dos cuerpos nos
lleva a:
•Una amplitud
•Si K, l están ocupados e i,j están vacíos,
de otra manera dichas amplitudes son igual a cero
 Si
el resultado no es cero, esto nos
lleva a otro estado |J>.
 La
aplicación del operador:
 En
la práctica:
 todas las palabras de máquina
correspondientes a todos los estados
de la base son generados: {|I>}
I=1,…,N
 e iteraciones son hechas sobre todos
los operadores de dos cuerpos.
 Los
estados |J> resultantes se
clasifican
( o se identifican) dentro de la lista de
determinantes de Slater, quedando
el elemento de matriz
 Ejemplo:
Con la acción de
y fase
Dimensiones de espacio para
diferentes núcleos en la capa pf
Diagonalización del Hamiltoniano
Resulta imposible almacenar la Matriz Hamiltoniana,
Pero aún es posible calcular HΨ.
Es posible utilizar un algoritmo iterativo para diagonalizar.
El método de Lanczos
 El
método de Lanczos consiste en la
construcción de una base ortonormal
por la ortogonalización de los
estados
Obtenida por la acción repetida del
Hamiltoniano sobre un estado pivote
|1>
De este procedimiento resulta una
matriz tridiagonal.
 En
el primer paso:
Donde E11 es el valor esperado de H en el
estado |1>.
 E12
es ontenido por normalización
En el segundo paso
Ya que H es Hermitiano
 E23
es obtenido por normalización
En el paso N
 ASi
obtenemos una matriz
tridiagonal
Convergencia
 No
es necesario realizar la
diagonalización completa de una
matriz Hamiltoniana si no se desea o
no es posible. Utilizando el método
de Lanczos, es posible detener el
proceso hasta que los valores
propios converjan a su valor final con
una tolerancia exigida.
La interacción
 La
información relativa a la
interacción está completamente
contenida en
Las simetrias del Hamiltoniano tiene la
siguientes consecuencias
A
valores fijos de J(T), los
correspondientes valores de M(M_z)
son
todos iguales.
Los elementos de matriz entre valores
de diferente J(T), son cero.
Interacción realista efectiva
Descomposición multipolar
 Parte
monopolar y multipolar
 Las
matrices obtenidas de
información experimental tienen dos
características:
 La parte multipolar funciona bien
 La parte monopar funciona mal.
Descomposicion multipolar
 En
el espacio de particula-particula
Distribución de intensidades de la
descomposiciónmultipolar
 En
el espacio partícula agujero
 Descomposición
multipolar
Descomposición multipolar de la
interacción realista
 Difrentes
multipolos
Algunos resultados
 Backbending
en Cr 48.
 B8
para J=3
 Na23
para J=3

Los cálculos realizados durante la escuela, no
están incluidos aquí, si deseas tener una copia
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pagina y solicitarla a los autores:
http://sbgat194.in2p3.fr/~theory/antoine/main.h
tml


Si deseas ayuda para instalación, resolución de
problemas o deseas trabajar en fisica nuclear con
el modelo de capas puedes escribirme a
[email protected]
Agradezco a Frederic Nowacki gran parte del
material para esta presentacion