Matrices
DEFINICIONES BÁSICAS
Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis.
Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn
filas
1
2
3
4
5
6
columnas
3 -4 21
2
Matriz de dimensión 2x3
7
Matriz 1x5 o vector fila
2
Matriz 3x1 o vector columna
4
-1
3
9
1
0
Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2
Notación
Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se
designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica
la fila y el segundo la columna
A=
a11
a12
a13
…….
a1j
……
a1n
a21
a22
a23
…….
a2j
……
a2n
….
…..
….
…….
….
……
….
ai1
ai2
ai3
........
aij
……
ain
….
….
….
…….
…
……
….
am1
am2
am3
…….
amj
……
amn
Elemento que ocupa
la fila 2 y columna 3
=(aij)
Diagonal principal de una matriz son los elementos aii
Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y aij=bij
Algunos tipos particulares de matrices:
• matriz cuadrada: m=n
• matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0.
• matriz simétrica: aij=aji (tiene que ser cuadrada)
• matriz traspuesta de A(mxn)  At (nxm) aij->aji
-1
3
5
8
0
8
6
1
0
0
5
1
-1
3
5
Matriz triangular
3
8
6
Diagonal principal
5
6
5
-1
3
-2
3
8
7
9
0
4
-1 3 9 5
A=
3
Matriz traspuesta At=
8 0 6
-2 7 4 5
Matriz simétrica
5 6 5
Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) cij = aij + bij
-1 3 9 5
3
8 0 6
+
-2 7 4 5
-8 1 6
-3
0
7 0
11
4
1 4
5
=
-9
4
15
2
3
15
0
17
2
8
8
10
Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( taij )
-1 3 9 5
A=
3
8 0 6
-2 7 4 5
2A=
-2
6
18
10
6
16
0
12
-4
14
8
10
Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C
A=
-1
3
9 5
3
8
0 6
-2
7
4 5
B=
-2
1
0
3
2
2
0 -6
1
-3 2
7
C=
-3
3
6
0
3
8
0
6
-2
3
5
5
Propiedades de la suma de matrices:
• conmutativa: A+B=B+A
• asociativa (A+B)+C=A+(B+C)
• matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0.
Se cumple A+(0)=A
• matriz opuesta de A=(aij), -A=(-aij)
Se cumple: A+(-A)=(0)
Ejemplo: dada la matriz A =
-1
3
3
8
, halla X tal que 2A+X=(0)
Propiedades del producto de un número por una matriz:
• asociativa a·(b·A)=(a·b)·A
• 1·A=A
• 0·A=(0)
• (a+b)·A=a·A+b·A
• a·(A+B)=a·A+a·B
¡Atención!
Es incorrecto:
A·5
ó
A
5
1) Halla las matrices A y B que verifican:
2A+3B =
8
6
2
-4
3A-B =
-1
3
3
8
Sol: A=
5/11
15/11
1
20/11
B=
26/11
12/11
0
-28/11
2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo:
1
0
4
1
A= -1
3
2
B= 2
-1
0
1
3
Sol:
6
1
X= 0
5
4
5
PRODUCTO DE MATRICES. UN EJEMPLO
Una empresa de automóviles fabrica dos modelos de coche: Rapid y Fuego en
cuatro fábricas diferentes (F1, F2, F3, F4). En la matriz A vemos el número de
unidades que se fabricaron en el año 2003 en cada una de las fábricas. Para
cada coche Rapid se necesita una cierta cantidad de caucho, plástico y acero
mientras que en a fabricación de cada coche Fuego se utilizan otras
cantidades de estos mismos materiales. Dichas cantidades, en kilogramos, se
describen en la matriz B. Queremos reflejar en una matriz la cantidad de kg de
cada material (caucho, plástico y acero) que se consumieron en cada una de
las fábricas en el año 2003
Rapid
Fuego
F1
100
25
F2
75
50
F3
20
100
F4
50
50
Matriz A
caucho
plástico
acero
Rapid
2
20
5
Fuego
3
18
7
Matriz B
PRODUCTO DE MATRICES. DEFINICIÓN
A · B = C
mxp pxn
mxn
Sólo se puede hacer el producto A·B
si el nº de columnas de A es igual
al número de filas de B
Cada elemento de la matriz producto cij se obtiene multiplicando la fila i de la
matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos
-1
3 9 5
3
8 0 6
-2
7 4 5
3x4
4
2
-5
6
3
-1
5
6
=
(-1)·2+3·6+9·(-1)+5·6
3·4+8·(-5)+0·3+6·5
3·2+8·6+0·(-1)+6·6
(-2)·4+7·(-5)+4·3+5·5
(-2)·2+7·6+4·(-1)+5·6
3x2
4x2
En general:
cij=ai1·b1j+ai2·b2j+…+aipbpj
p
c ij 
(-1)·4+3·(-5)+9·3+5·5
a
k 1
ik
·b kj
33 37
=
2
90
-6
64
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C
Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C
Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que
llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por
1 y todos los demás elementos son 0
I=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A
Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A =
-3
3
6
0
3
8
0
6
-2
3
5
5
0
3
2
2
En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para
matrices cuadradas)
1
1
1
3
Ejemplo: comprueba que A·B≠B·A siendo A =
B=
0
1
2
1
Matriz inversa de una matriz cuadrada:
Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A-1 a otra
matriz de la misma dimensión que cumpla:
A· A-1 =A-1·A=I
No todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que
es invertible o regular
2
-1
1
3
Ejemplo: utilizando la definición, halla A-1 y B-1
A=
B=
1
1
2
6
Ayuda: haz
Solución:
A-1
x
y
z
t
B no tiene inversa;
y plantea un sistema de ecuaciones
A-1=
1/3
1/3
-1/3
2/3
Vectores. Rango de un conjunto de vectores.
Llamaremos Rn al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es
decir matrices nx1. Los vectores de Rn se llaman también n-tuplas y se
representan así:
 
v , w ,...
Por ejemplo:
 1   1   0  
     

3
R     2  ,  0  ,  4  ,... 
 3   0   1  
     

Los vectores de Rn se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar
un número por un vector
Ejemplo:
 1 

 
u   2
 3 


 1 

 
v  0 
 2


 8 




5 u  3 v    10 
 9 



 
Dados los vectores: u 1 , u 2 ,... u k
Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro
vector que se pueda expresar de la siguiente forma:



 1u1   2 u 2  ...   k u k
siendo  1 ,  2 ,...  k
  3 
  1 
  1 
w  2 es C.L. de: u  0 y v  1
 
 
 
0
 
0
 
números



ya que: w  u  2 v
0
 
Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.)
si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás
Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.)
si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás
Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.
 3   1   1  
      
S   2 ,  0 ,  1  
 0   0   0  
      
 3   1  
    
S   2 ,  0  
 0   0  
    
 3   1  
    
S   0 ,  0  
 0   0  
    
 1   6   2  
      
S   0 ,  1 ,  3  
 0   0   1  
      
Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores
linealmente independientes.
Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores
2, 2, 1, 3
Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores
columna.
Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A1 ; A2;….Am
3

A  2
0

1
3
1
1
 1   2   3  
1  A   2 , A   0 , A   1 
0
0
0
0 
 
 
 
1
0
0
rang(A)=2
Ejemplo: calcula el rango de las matrices:
3

A  0
0

1
4
0
1

1
8 
3

A  2
0

6
4
0
9

6
0 
1
A  
0
2
1
4

3
1

4
0
A
3

4

1

2 

5 
 2

1 

9

0 
Propiedades del rango de una matriz:
• el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna
• el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L:
de las demás columnas (filas)
• el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0
• el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás
columnas (filas)
Ejemplo: calcula el rango:
1

0
A
0

0

0
1
2
1
0
1
0
1
3
0
0
4
3

3
6

9 
1

2
A
3

5

0
1
2
1
0
1
1
1
3
2
1
4
3

3
6

9 
Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales:
x
 y
z

3x
 2y
z

5x
 3y
 4z

1

1
2 
1

3
5

1
2
3
 1 

1  ·
4  
x 1
  
y  1
z   2 
A·X
1

A  3
5

1
2
3
 1

1 
4 
Matriz de
coeficientes o
matriz del sistema
1
 
B  1
2
 
=B
 x  Vector de
 
X   y  incógnitas
 z  (solución)
 
Vector de
términos
independientes
Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla:
A-1 ·(A · X) = A-1 B
A·X =B
(A-1 A) · X = A-1 B
I · X = A-1 B
X = A-1 B
Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A-1 y
calcula con esta fórmula la solución del sistema
A
1
-5

 7
 1

7
-9
-2
- 3

4 
1 
Solución:
 4


X  6 
 1 


SCD x=-4, y=6, z=1
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