DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
IGUALDAD
HOJA
Dos figuras son iguales cuando tienen
sus lados y ángulos iguales y
dispuestos en el mismo orden.
•
Igualdad por copia de ángulos
Dado el polígono ABCDE
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB
2. Con centro en B’ se traza un ángulo
igual al B
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC
4. Se repite la operación con todos los
vértices
1
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Igualdad por coordenadas
Dado el polígono ABCDE
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’
5. Se unen los vértices hallados
HOJA
2
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Igualdad por radiación
Dado el polígono ABCDE
1. Se elige un punto O y se une con los
vértices del polígono
2. Con centros en O y O’ se trazan dos
circunferencias del mismo radio
3. Por copia de ángulos se trazan las rectas
que parten de O’
4. Sobre cada recta se llevan las distancias
O’A’, O’B’, etc
3
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Igualdad por triangulación
Dado el polígono ABCDE
1. Se une un vértice con todos los demás
2. Por copia de triángulos se construyen
todos los que se han formado
HOJA
4
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales
1. Por uno de los extremos A se traza
una recta cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan tantos
segmentos iguales, de longitud
arbitraria, como número de partes se
quiera dividir el segmento
3. Se traza la recta t uniendo el
último punto con el extremo B del
segmento dado
4. Se trazan paralelas a t por los
puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.
5
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
División de un segmento en partes proporcionales
1. Por uno de los extremos A se traza
una recta cualquiera s
2. Sobre la recta s se van llevando
cada uno de los segmentos CD, EF,
GH e IJ
3. Se une el último punto J con el otro
extremo B mediante la recta t.
4. Se trazan paralelas a t por los
puntos E, G e I
6
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Producto y división entre dos segmentos
Producto entre dos segmentos
B
A
C
D
s
D
1
C
r
E
B
A
División entre segmentos
A
B
C
A
D
s
C1
r
A
B
E
1. Se trazan dos rectas cualesquiera r
y s que se cortan en A
2. Sobre la recta r se traslada el
segmento AB y sobre la otra el
segmento unidad AC y a continuación
el segmento CD
3. Por el punto D se traza paralela a
BC hasta cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de
los segmentos dados
1. Se trazan dos rectas cualesquiera r
y s que se cortan en A
2. Sobre la recta r se traslada el
segmento AB y sobre la otra el
segmento AC y a continuación el
segmento unidad CD
3. Por el punto D se traza paralela a
BC hasta cortar a r en el punto E
4. El segmento BE es el producto de
los segmentos dados
7
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada
Dado el segmento AB
B
A
1. Sobre una recta se toma el
segmento AB y a continuación el
segmento unidad BC
E
2. Hallamos D, punto medio del
segmento AC y trazamos
semicircunferencia de diámetro AC
1
A
D
B
C
3. La perpendicular al diámetro por el
punto B corta a la semicircunferencia
en el punto E
4. El segmento BE es la raíz cuadrada
del segmento AB
8
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Media proporcional
1. Sobre una recta se trasladan los
segmentos dados
2. Se traza el punto medio E del segmento
AD y la semicircunferencia de radio EA
3. La perpendicular trazada por B a la recta
r corta a la circunferencia en el punto F
4. El segmento BF es la media proporcional
a los segmentos dados.
9
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Tercera proporcional
1. Se trazan dos rectas r y s que se corten
2. A partir del punto A se lleva AB sobre r
y CD sobre s
3. Con centro en A y radio AD se describe
un arco
4. Por el punto E se traza la paralela a BD
5. El segmento AF es la tercera
proporcional
10
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Cuarta proporcional
1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera
que se corten
2. A partir del punto A se lleva AB sobre la
recta r y CD sobre la recta s
3. Sobre la recta r y a continuación del
segmento AB se traslada EF
4. Por el punto F se traza la recta
paralela a BD
5. El segmento DG es al cuarta
proporcional
11
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Potencia de un punto
Potencia de un punto
Eje radical
Potencia del punto P respecto de la
circunferencia de centro O es el producto
de las distancias de P a los dos puntos
de intersección de una recta secante
Eje radical de dos circunferencias es el
lugar geométrico de los puntos que
tienen la misma potencia respecto de
ambas
p = PA x PB
p = MA x MB = MC x MD
12
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Eje radical de dos circunferencias (I)
Circunferencias secantes
Se determina uniendo los dos puntos A y B
de intersección de ambas circunferencias
13
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Eje radical de dos circunferencias (II)
Circunferencias tangentes
Se determina trazando la recta tangente
común a ambas circunferencias
HOJA
14
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Eje radical de dos circunferencias (III)
Circunferencias exteriores
1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores
2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1
3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2
4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2
HOJA
15
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Centro radical de tres circunferencias
Dadas tres circunferencias
O1
e
O2
O
O3
e'
1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2
2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3
3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes
radicales hallados
HOJA
16
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
SEMEJANZA
HOJA
17
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos
iguales y sus lados proporcionales.
A la relación entre los segmentos proporcionales se le llama
razón de semejanza.
•
Semejanza directa por radiación
Dado el polígono ABCDE
Sea la razón de semejanza 2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos
los vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes
como indique el denominador de la razón de
semejanza (3) y a partir de O se toman
tantas partes como indique el numerador (2)
3. A partir del punto A’ se trazan paralelas
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Semejanza por coordenadas
Dado el polígono ABCDE
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las
distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y =
2/3(OCY), ...
5. Se trazan perpendiculares a X e Y
6. Se unen los vértices hallados
HOJA
18
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Semejanza inversa por radiación
Dado el polígono ABCDE
Sea la razón de semejanza -2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos
los vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes
como indique el denominador de la razón de
semejanza (3) y a partir de O se toman, en
sentido contrario, tantas partes como indique
el numerador (2)
3. A partir del punto A’ se trazan paralelas
HOJA
19
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Escala gráfica
1. Sobre una cartulina se trazan dos
rectas paralelas
El objeto real se mide siempre con la
regla natural (E.1:1)
2. Se trasladan tantas unidades
reducidas como quepan
3. La primera división se divide en diez
partes iguales (contraescala)
4. Se numeran todas las divisiones
En el dibujo se mide con la escala gráfica
Se hace coincidir el extremo derecho del
segmento con una división entera
Los decimales se observan en la
contraescala gráfica
20
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Escala transversal
1. Sobre una recta r se construye una escala gráfica
2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con distancias iguales entre sí
3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos de división de la escala gráfica
4. En las contraescalas de la primera y última paralelas se unen los puntos 1 y 2,
2 y 3, 3 y 4, etc
Para medir, las unidades se observan en la escala gráfica, las décimas en la
contraescala inferior y las centésimas en el número de la paralela
21
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Triángulo universal de escalas
1. Se construye un triángulo de manera que
uno de los lados quede dividido en 10 cm
2. Se une cada uno de los puntos de
división con el vértice opuesto A
3. Otro de los lados se divide en diez partes
y se trazan paralelas al primer lado, donde
van formándose las diversas escalas
4. Por debajo de la escala natural se
forman las escalas de ampliación
22
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Triángulos: clasificación
Clasificación según sus lados
Clasificación según sus ángulos
Triángulo equilátero
Triángulo rectángulo
Triángulo isósceles
Triángulo acutángulo
Triángulo escaleno
Triángulo obtusángulo
HOJA
23
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Triángulos: rectas y puntos notables (I)
Altura
Mediana
Es la perpendicular trazada a un lado
desde el vértice opuesto
Es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto
Ortocentro
Baricentro
Punto donde se cortan las tres alturas de
un triángulo
Punto donde se cortan las tres medianas
de un triángulo
24
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Triángulos: rectas y puntos notables (II)
Bisectriz
Mediatriz
Es la perpendicular trazada a un lado por
su punto medio
Circuncentro
Punto donde se cortan las tres
mediatrices de un triángulo
Es la recta que divide un ángulo en dos
partes iguales
Incentro
Punto donde se cortan las tres bisectrices
de un triángulo
25
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Triángulos: rectas y puntos notables (III)
Bisectrices exteriores
Son las bisectrices de los ángulos
exteriores
El punto de intersección de las tres
bisectrices interiores de un triángulo es el
centro de la circunferencia inscrita
Los puntos de intersección de las tres
bisectrices exteriores de un triángulo son
los centros de las circunferencias
exinscritas
26
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de triángulos
Construir un triángulo conociendo sus tres
lados
1. Sobre una recta se toma uno de los
lados
Construir un triángulo equilátero
conociendo la altura
1. Se divide la altura en tres partes iguales
2. Con centro en A y radio igual al
segundo lado, se traza un arco
2. Con centro en C y radio CB se traza
una circunferencia
3. Con centro en B y radio igual al tercer
lado se traza otro arco
3. Por el punto A se traza la perpendicular
a la altura AB
27
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de triángulos isósceles (I)
Construir un triángulo isósceles
conociendo la base y la altura
Construir un triángulo isósceles
conociendo los lados iguales y la altura
1. Sobre una recta se toma la base
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
1. Sobre una recta se toma un punto A y
se traza la perpendicular
3. A partir de C se lleva la altura
2. A partir de A se traslada la altura
3. Haciendo centro en B y radio igual al
lado se traza un arco
28
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de triángulos isósceles (II)
Construir un triángulo isósceles conociendo
la base y un ángulo adyacente
Construir un triángulo isósceles conociendo
la base y el ángulo opuesto
1. Sobre una recta se toma la base
1. Sobre una recta se toma la base
2. En A se transporta el ángulo dado
2. Se traza la mediatriz de AB
3. En B se transporta el ángulo dado
3. Sobre un punto C cualquiera se
construye el ángulo dado
4. Por A y B se trazan paralelas al ángulo
29
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de triángulos rectángulos
Construir un triángulo rectángulo
conociendo la hipotenusa y un cateto
Construir un triángulo rectángulo
conociendo un cateto y el ángulo opuesto
1. Sobre una recta r se coloca el cateto
1. Sobre una recta r se coloca el cateto
2. Por A se traza la perpendicular a AB
2. Por A se traza la perpendicular a AB
3. Con centro en B y radio la hipotenusa
se traza un arco
3. Por un punto arbitrario C se traslada el
ángulo dado
4. Por B se traza la paralela al lado del
ángulo
30
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Cuadriláteros: clasificación
Paralelogramos
Trapecios
Cuadrado
Isósceles
Rectángulo
Rectángulo
Rombo
Escaleno
Romboide
Trapezoide
HOJA
31
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de cuadrados
Construir un cuadrado conociendo el
lado
Construir un cuadrado conociendo la
diagonal
1. Sobre una recta se dibuja el lado
1. Se dibuja la diagonal
2. Por A se dibuja la perpendicular
2. Se traza la mediatriz de AC
3. Con centro en A y radio AB se
dibuja un arco
4. El cuarto vértice se halla trazando
arcos de radio AB
3. Se dibuja la circunferencia de
diámetro AC
32
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de rectángulos
Construir un rectángulo conociendo la
suma de los lados y la diagonal
Construir un rectángulo conociendo un
lado y la diagonal
1. Se dibuja el segmento AE igual a la
suma
1. Se dibuja la diagonal AC
2. Por un extremo se traza una recta a 45º
2. Se dibuja la circunferencia de diámetro
AC
3. Con centro en A y radio la diagonal, se
traza un arco
3. Con centros en A y C y radio el lado se
trazan dos arcos
4. Por C se traza la perpendicular a AE
5. El cuarto vértice se halla trazando arcos
33
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de rombos
Construir un rombo conociendo el lado y
una diagonal
Construir un rombo conociendo un ángulo
y su diagonal
1. Se dibuja la diagonal AC
1. Se construye el ángulo dado
2. Con centro en A y radio el lado se dibuja
un arco
2. Se traza la bisectriz del ángulo
3. Con centro en C y radio el lado se dibuja
otro arco
4. Por C se trazan paralelas a los lados del
ángulo
3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal
34
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de romboides
Construir un romboide conociendo sus
lados y un ángulo
Construir un romboide conociendo sus
lados y la altura
1. Se dibuja el ángulo dado
1. Se dibuja el lado AB
2. Sobre los lados del ángulo se
transportan las dimensiones de los lados
2. Se traza la perpendicular al lado AB
3. El cuarto vértice se halla trazando dos
arcos de radio igual a los lados
3. Sobre la perpendicular se traslada la
altura
4. Por E se traza la paralela a AB
5. Con centros en A y B y radio el otro
lado se trazan dos arcos
35
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
HOJA
Construcción de trapecios
Construir un trapecio escaleno conociendo
los cuatro lados
Construir un trapecio escaleno conociendo
sus bases y sus diagonales
1. Se dibuja el primero de los lados AB
2. Sobre AB se traslada el lado opuesto AE
3. Con centro en E y radio igual al tercer
lado se dibuja un arco
4. Con centro en B y radio igual al cuarto
lado se dibuja un arco
5. Con centro en A y C y radios EC y AE
respectivamente se dibujan dos arcos
1. Se dibuja una de las bases AB
2. Al lado AB se le suma el lado opuesto
3. Con centro en A y radio una diagonal, y
centro en E y radio la otra diagonal se
dibujan dos arcos
4. Por C se traza una paralela a la base AB
5. Con centro en B y radio EC se dibuja un
arco
36
DIBUJO TÉCNICO I
TEMA 02. IGUALDAD, TEOREMA DE TALES, SEMEJANZA, POTENCIA.
•
Definición y clasificación
Clasificación
Triángulo equilátero:
Cuadrado:
3 lados
4 lados
Pentágono:
5 lados
Hexágono:
6 lados
Heptágono:
7 lados
Octógono:
8 lados
Eneágono:
9 lados
Decágono:
10 lados
Definición
Undecágono:
11 lados
Es el espacio limitado por una línea
quebrada, cerrada y plana
Dodecágono:
12 lados
Pentadecágono:
15 lados
Líneas notables
AB: Lado
h:
Altura
R:
Radio
d’:
Diagonal
a:
Apotema
p:
Perímetro
HOJA
37
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