Series de Fourier
Sensibilización
1
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Fue en Grenoble ( Sur de Francia ) donde
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)
condujo sus experimentos sobre la
propagación del calor que le permiten
modelar la evolución de la temperatura a
través de series trigonométricas.
Estos trabajos provocan un adelanto en el
proceso de modelación matemática en
fenómenos físicos y contribuyeron a los
fundamentos de la termodinámica.
Sin embargo, la simplificación excesiva que
proponen estas herramientas fue muy
debatida, principalmente por Pierre-Simon
Laplace y Joseph-Louis Lagrange.
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2
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Fourier, seguidor de la teoría matemática de la conducción del
calor, estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la
difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas
de funciones trigonométricas. En esto introduce la
representación de una función como una serie de senos y
cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.
El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en
series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables
reales.
En la obra Théorie analytique de la chaleur (Teoría Analítica del
calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan
problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en
cantidad finita, es decir el problema discreto.
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3
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En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo
rectangular infinito es donde Fourier introduce su
método original de trabajo con series trigonométricas.
Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el
método de eliminación para la solución de un sistema de
desigualdades, teoría muy usada actualmente para
programación lineal.
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4
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Conceptos Principales
En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de
Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por una
serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas
armónicamente.
Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829
Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal
periódica pueda ser representada por una serie de Fourier.
Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas,
no como suma de senoides relacionadas armónicamente, sino como
integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas
armónicamente.
Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier, llamada
Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas
para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).
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La mayoría de las señales se distorsionan cuando
pasan a través de un dispositivo lineal e invariante
en el tiempo, y la única señal que no sufre
distorsión es una señal sinusoidal pura.
Un ejemplo de una señal periódica
y sus componentes de frecuencia.
Las primeras componentes de
frecuencia son:
Sumando las primeras 40
Sumando las primeras 3
componentes de
componentes de
frecuencia de la señal periódica.
frecuencia de la señal periódica.
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Aplicaciones
Contenido: Señales y sistemas .
Señal
Sistema
Respuesta
Señal= f (t ) función real
del tiempo
Señal eléctrica: forma de onda de
voltaje o corriente
Resistencia estándar, para todos los
cálculos de energía y potencia se
asume una resistencia de 1 ohm.
f ( t )  A cos(  t   )
A : amplitud
 : frecuencia
angular  2  f
 : fase , f : frecuencia
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7
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Justificación: :Señales y sistemas .
Análisis de Fourier descompone una señal en una suma de señales
senoidales y analiza como se distribuye la energía y la potencia en
cada una de esas frecuencias
Las señales se clasifican en:
• Señales de Energía y
• Señales de Potencia
Las Señales de Energía es una señal en forma de pulso que existe
sólo en un intervalo finito de tiempo, o en la que al menos tiene la
mayor parte de la energía concentrada en un intervalo finito de
tiempo
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8
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Señales y sistemas .
Energía disipada por la señal en el intervalo de tiempo es:
E 
t2
t1
2
f ( t ) dt
Señal de energía se define como la señal que tiene energía
finita aún cuando el intervalo de tiempo es infinito esto es
cuando
E 

 
2
f ( t ) dt ; menor que 
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9
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Señales y sistemas .
Ejemplos:
Señales de pulso Rectangular
Señales de pulso Senoidal
Señales de pulso Exponencial
Señales de pulso Gaussiano
Un ejemplo de una señal periódica
y sus componentes de frecuencia.
Las primeras componentes de
frecuencia son:
Sumando las primeras 3 componentes de
frecuencia de la señal periódica.
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Señales y sistemas .
Potencia promedio disipada por la señal
P
1
t2
( t 2  t1 ) t1
2
f ( t ) dt
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Señales y sistemas .
Señal de Potencia, se define como la señal que tiene potencia
promedio finita, pero diferente de cero, aún cuando el
intervalo de tiempo es infinito esto es cuando:
2
T /2
0  lim T  
T / 2
f ( t ) dt  
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12
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Cuando se aplica a un sistema lineal invariante en el
tiempo, una señal sinusoidal no cambia su forma
pero sí cambian:
– Su amplitud.
– Su fase.
• En general, el cambio en la amplitud y en la
fase dependen:
– del sistema.
– de la frecuencia de la señal sinusoidal.
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13
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Para entender las causas que originan esta distorsión es
necesario analizar el contenido de frecuencias de las
señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier
permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y
entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.
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14
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Sensibilización:
Otra razón para estudiar a Fourier
Las vibraciones en una membrana o un tambor o las
oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín
son explicadas por una ecuación diferencial parcial
llamada ecuación de onda .
Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de
frontera constituyen información para encontrar la
solución única de la ecuación parcial. Pues bien la
solución es una suma infinita de funciones seno, una
forma de expresión de series de Fourier.
Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las
membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba
conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de
navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la
destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los
glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno
Imágenes en 3D de un glóbulo rojo
invadido por el parásito de la
malaria. (Foto: YongKeun Park,
Michael Feld y Subra Suresh)
http://www.falstad.com/m
embrane/
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15
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Hacia las Series de Fourier ( justifications matemáticas)
La teoría de Series de Fourier trabaja con desarrollos en series trigonométricas.
Primero revisaremos algunas propiedades de las funciones, particularmente importantes
para este estudio: la continuidad por partes, la periodicidad y la simetría par e impar.
Continua por partes
Un función es continua por partes en [a, b] si f es continua en cada punto [a, b], excepto
posiblemente para un número finito de puntos donde f tiene una discontinuidad de salto . Tales
funciones son integrables en cualquier intervalo finito donde sean continuas por partes.
Periodicidad
Una función es periódica con periodo T si f ( x  T )  f ( x ) para toda x en el dominio de f . Si se
cumple lo anterior, tambien se cumple f(t)=f(t+2*T)=f(t+3T) etc. El menor valor positivo se llama el
período fundamental.
Las funciones trigonométricas sen x y cos x son ejemplos de funciónes periódicas, con período
fundamental 2π y tan x es períodica con período fundamental π.
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16
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Función Par
Una función par es aquella que satisface f (  x )  f ( x )
. Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al eje y.
2
para toda x en el dominio de f
4
Ejemplos 1, x , x ,....
cos x
Función Impar
Una función impar es aquélla que satisface f (  x )   f ( x ) para toda x en el dominio de
f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al origen.
Ejemplos
3
x, x , x
5
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17
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Propiedades
El producto de dos funciones pares es una función par.
El producto de dos funciones impares es una función par.
El producto de una función par y una impar es impar
La suma ( resta ) de dos funciones pares es una función par.
La suma ( resta ) de dos funciones impares es una función impar.
a
Si f es una función par, entonces

a
f ( x ) dx  2
a
Si f es una función impar entonces

f ( x ) dx
0
a

f ( x ) dx  0
a
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18
Determina si la funciones siguientes son de la forma par o
impar, o ninguna de ellas.
2 ) f ( x )  x cos x
4) f ( x)  x  4 x
3
6) f ( x)  e  e
x
x
x  5  2  x  0
8) f ( x )  
 x  5 0  x  2
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19
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Producto interno de Funciones
El producto interno de dos funciones f1 , f 2
es el numero obtenido al evaluar la integral
en un intervalo [a,b]
b
f1 , f 2 

f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a
Funciones ortogonales
Se dice que dos funciones f1 , f 2 son ortogonales en un intervalo [a,b] si el producto
interno entre ellas es cero, es decir si:
b
f1 , f 2 

f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx  0
a
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20
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Determina si las funciones dadas son
ortogonales en el intervalo indicado.
2 ) f1 ( x )  x ,
f2 ( x)  x  1
3
en [  1,1]
2
4 ) f 1 ( x )  cos x ,
7 ) f 1 ( x )  senx ,
f 2 ( x )  sen 3 x
f 2 ( x )  sen 3 x
en [   ,  ]
en [ 0 ,

]
2
n ota : el producto entre sen(m * x) con m impar cumple esto. tambien .
8 ) f 1 ( x )  1,
f 2 ( x )  cos
x
en [  2 , 2 ]
2
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21
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
8 ) f 1 ( x )  1,
x
f 2 ( x )  cos
2
9 ) f 1 ( x )  1,
f 2 ( x )  cos
10 ) f 1 ( x )  1,
f 2 ( x )  sen
11 ) f 1 ( x )  1,
* f 1 ( x )  1,
f 2 ( x )  sen
f 2 ( x )  sen
en [  2 , 2 ]
x
3
x
en [  3 ,3 ]
en [  2 , 2 ]
2
x
en [  3 ,3 ]
3
x
en [  p , p ]
p
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22
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EN GENERAL, EL CONJUNTO
FORMA UN CONJUNTO ORTOGONAL, ES DECIR…
LOS PRODUCTOS INTERNOS ENTRE ELLOS SON SIEMPRE
CERO EN EL INTERVALO [-P,P]
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23
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A continuación algunos lineamientos:
•Norma cuadrada

f (t )
2
de la función
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f (t )
24
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
f (t ) 

fn
 n (t )
1
*
Dos funciones complejas  n ( t )  m
( t ) son ortogonales en el
intervalo [t1, t2] si
t2
t2
*

( t )  m ( t )dt 
n

*

( t ) n ( t ) dt  0
m

t1
t1
Dos funciones complejas son mutuamente ortogonales en el
intervalo [t1, t2] si
t2
 n
(t )
*
m
( t )dt
 0
si
n  m;
t1

K n
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si
n  m
25
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
• Se dice que el conjunto de funciones
normalizado si
t2
Kn 

 n (t )
2
 n (t )
dt  1, para
está
toda
n
t1
• Si el conjunto de funciones  n (t ) es ortogonal y esta
normalizado se llama conjunto ortonormal
• Una función arbitraria f (t ) se puede representar en
una serie de funciones ortogonales como

f (t ) 

fn
n
(t )
n 1
• en donde los coeficientes f n (t ) pueden determinarse
como
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26
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• en donde los coeficientes
como sigue: Sea:
f n (t ) pueden determinarse

f (t ) 

fn
n
(t )
n 1
*
f ( t ) m



fn
*
 n ( t ) m
n 1
t2

*
f ( t ) m
t2


 
*
f n  n ( t ) m dt


t1 n  1
t1
fn
n 1
Por tanto:
fn 

t2
 n
*
m
dt   m K m
t1
t2
1
Kn

*
f ( t ) n ( t ) dt
t1
t2

O bien:
fn 
*
f ( t ) n dt 
t1
t2
 n
*
m
dt 
t1
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27
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• Cálculo del error que se tiene al aproximar f (t )
con
una sumatoria de N términos en lugar de una serie infinita
N

f (t ) 
n 1
f n  n ( t ) 
(t )
N
De donde el error cuadrático :
t2


N
(t )
2
t2 
dt 
t1 
t1
t2
O bien:
  f

t1

N
(t )
2
N


(t ) 
f n n (t )   f (t ) 
f n n (t ) 


n 1
n 1


N

t2
dt 

t1
f (t )
2

2
N
dt 

fn
Kn
n 1
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• desarrollando se llega a
2
t2


dt 
f (t )
2

f (t )
K n,
Teorema
de Parseval
n 1
t1
1
t

n
 1

De donde el error cuadrático para un conjunto ortogonal
completo :
t
f
(
t
)
2
dt
2

f

(
t
)
K
n
,
Teor
em a
de
P ar
s
ev
al
2
t2
Lim N  


N
(t )
2
dt  0
t1

f (t ) 

n 1
f n n (t )
Es la representación en una serie
generalizada de Series de Fourier
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• Cierta función rectangular esta definida
 1
f (t )  
  1,
0  x 1
1 x  2
Se desea aproximar esta función de energía finita empleando un
conjunto de funciones definidas por
 n ( t )  sen ( n  t ), n mayor
que
0
Solución: El conjunto sen ( n  t ) es un conjunto ortonormal
en
1
sen ( n  t ) sen ( m  t )  
0
0

2
nm
nm
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• Por lo tanto


f (t ) 
f n sen ( n  t )
n 1
2

En donde
f ( t ) sen ( n  t ) dt
fn  0
2
0
fn 
2
0 f (t )sen ( n 

sen
t ) dt 
 cos( n  t )
1
n
0

2
( n  t ) dt
1
2
0 sen ( n  t ) dt  1
cos( n  t )
2
n
1

2
n
sen ( n  t ) dt
{1  cos ( n  )}
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• Por lo tanto
1
1


f ( t )  4   sen  t  sen 3  t  sen ( 5  t )  ...... 
3
5


En donde el error cuadrático integral puede calcularse a partir de

N

t2
t1
2

N
dt 
t2
t1
2
f ( t ) dt 
2 2
4
e  2  ( )  . 379
0 1


2 2
4
e  2
0 3


2

 4




 3
2
N

f (t ) K n
n 1
2 2
4
e  2
0 5





2
 . 119
2

 4
 

 3
2
2 2
4  4
e  2  
0 7
    3

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2

 4
 

 5
2
  4
 
  5



2
 . 134
2
  4
 
  7
2

  . 101

32
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
• Por lo tanto
2 2
4
e  2  ( )  . 379 / 2  19 %
0 1


2 2
4
e  2
0 3


2 2
4
e  2
0 5


2
2

 4 
 
  . 119 / 2  10 %

 3 
2

 4




 3
2

 4




 5
2

  . 134 / 2  6 . 7 %

2
2
2
2
2 2
4  4   4   4 
e  2              . 101 / 2  5 . 1 %
0 7
    3   5   7  

Alrededor del 95% de la energía esta contenida en los primeros
cuatro términos
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
 SERIE DE FOURIER ( Equivalencia en la representación en serie trigonométrica
de f(t) )
Definición 1. Sea f una función continua por partes en el intervalo [-T,T].
La serie de Fourier de f es la serie trigonométrica
f ( x) 
a0


2
Donde
y
an
an 
1
bn 
1
n 1
nx
p
 b n sen
nx
)
p
están dadas por las fórmulas:
bn

p
p
p

p

( a n cos
f ( x ) cos
dx
n  0 ,1, 2 ,....
p
p
p
nx
f ( x ) sen
nx
dx
n  1, 2 ,3,....
p
Se prueba
integrando ambos
lados de manera
conveniente
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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de
  x  0
0,
f ( x)  
 x,
Solución
0  x  
En este caso, T=π. Obtenemos los coeficientes con las fórmulas anteriores.
an 


1


n 2
1
n
2
1


n
u cos udu 
0
cos



n   1 
f ( x ) dx 
n 2
n
1

2


1
1

1
f ( x ) cos nxdx 

1
a0 

x cos nxdx
0
cos
  1
n


xdx 
0
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u  usenu

1,
x
2
2
n
0
n  1, 2 , 3 ,...


0

2
35
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 1 (continuación)
Solución
1
bn 


n 2

f ( x ) sen ( nx ) dx 

1



n
usen ( u ) du 
0
 cos n 

n
(  1)
1

1
n 2


xsen ( nx ) dx
0
sen
n
( u )  u cos u  0
n 1
n  1, 2 , 3 ,..
.
n
Por lo tanto,
f (x) 



4


4

n 1

 1

2
 n
(  1)
n

 1 cos nx 
(  1)
n
n 1

sen ( nx ) 

2 
1
1

cos 3 x 
cos 5 x  ... 
 cos x 
 
9
25

1
1


  senx 
sen 2 x 
sen 3 x  ... 
2
3


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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 2 Calcular la serie de Fourier de
 0,
f ( x)  
  x ,
  x  0
0  x  
Solución: Usted podrá llegar a esta representación, puede
utilizar el tutorial, si lo hace en la calculadora, puede
acceder al proceso de solución en la pagina del curso.
f ( x) 

4



n 1


1
 1

n
1

(

1
)
cos
nx

sen
(
nx
)


2
n
 n

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Gráfica del problema anterior
http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/home.htm
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EJEMPLO 3 Calcular la serie de Fourier de
0,
f ( x)   2
 x ,
  x  0
0  x  
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39
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 4 Calcular la serie de Fourier de
  x  0
  1,
f ( x)  
 1,
0  x  
De nuevo, T=π. Observe que f es una función impar. Como el producto de una
función impar y una función par es impar, f(x) cos nx también es una función impar.
Así,
Solución
an 

1



f ( x ) cos nxdx  0 ,
n  0 ,1, 2 ,....
Además, f(x) sen nx es el producto de dos funciones impar y por tanto es una función par, de modo que
bn 
1




f ( x ) sen ( nx ) dx 
2



0
2   cos nx 
sen ( nx ) dx 

 
n

0
n
2 1
(  1)

 
 n
n

,

n  1, 2 , 3 ,...
 0,

  4
,

 n
Así
f (x) ~

2



n 1
[1  (  1) ]
n
n
sen ( nx ) 
n
par
n
impar
4 
1
1

sen
(
x
)

sen
(
3
x
)

sen
(
5
x
)

...

 
3
5

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40
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
f ( x) 
EJEMPLO 5 Calcular la serie de Fourier de
1  x  1
x ,
En este caso T=1. Como f es una función par, f(x)sen nπx es una función impar.
Por consiguiente,
Solución
bn 

1
1
f ( x ) sen ( nx ) dx  0 ,
n  1, 2 , 3 ,....
Como f(x) cos nπx es una par, tenemos
a0 
an 


1
1

1
1
1
f ( x ) dx  2  xdx  x
0
1
2
1
1
0
f ( x ) cos n  xdx  2  x cos n  xdx  x
2
0
2
2
n
 n
2
2
[cos u  usenu ] 0 
 n
2
2
1

0
(cos n   1) 
2
 n
2
2
2
 n
2

n
u cos udu
0
[(  1)  1],
n
2
n  1, 2 ,3 ,...
Por lo tanto
f ( x) ~
1
2



n 1
2
2
n
[(  1)  1] cos n  x 
n
2
1
2

4 
1
1

cos

x

cos
3

x

cos
5

x

...


2 
9
25

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41
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
 RECORDEMOS LAS PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES E IMPARES
SUPONGAMOS QUE f (x) espar
f ( x) 
a0


2
ENTONCES
an 
Se
prueba
integran
do
ambos
lados de
manera
convenie
nte
1

p
nx
p
n 1
nx
 b n sen
)
p
YA QUE EL PRODUCTO DE PARES ES PAR
p
p

( a n cos
f ( x ) cos
nx
dx

p
2

p
nx
p
f ( x ) cos
p
0
YA QUE EL PRODUCTO
DE PAR POR IMPAR ES
IMPAR
bn 
dx
1
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
p
p
p
f ( x ) sen
nx
dx  0
p
42
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
 SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER
Definición 2. Sea f(x) continua por partes en el intervalo [0,T]. La serie de cosenos de
Fourier de f(x) en [0,T] es
a0


2
a
n
cos
nx
T
n 1
,
Donde
an 
2
T

T
f ( x ) cos
nx
dx ,
n  0 ,1,...
dx ,
n  1, 2 ,...
T
0
La serie de Fourier de senos de Fourier de f(x) en [0,T] es

b
n 1
n
sen
nx
T
,
Donde
bn 
2
T

T
f ( x ) sen
0
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nx
T
43
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de
Solución
bn 
2

2
n 2

2
2
 x  
Usamos las fórmulas anteriores con T=π, para obtener


f ( x ) sen ( nx ) dx 
0


0  x  

x,

f ( x)  
  x,


sen
2
n 2

n / 2

4
n 2
sen

xsen ( nx ) dx 
0

 /2
0
n / 2

 /2
 2
usenudu
( u )  u cos u  0
2

n
2
sen ( nx ) dx 
2



(   x ) sen ( nx ) dx
/2
n
2
n 2

usen ( u ) du
n/2
2 
n 
2
cos

n

cos

[ sen ( u )  u cos( u )]
n 
2 
n 2


0,


  4 (  1) ( n  1 ) / 2
,

n 2

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n
n
par
impar
44
n
n / 2
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO 1 (continuación)
Solución

4



k 0
Así que al hacer n=2k+1, tenemos que la serie de senos de Fourier para f(x) es
(  1)
k
( 2 k  1)
2
sen ( 2 k  1) 
4 
1
1

sen 3 x 
sen 5 x  ... 
 senx 
 
9
25

La función f(x) es continua y f ´(x) es continua por partes en (0,π), de modo que el teorema de la
convergencia puntual de las series de Fourier implica que
f ( x) 
4 
1
1

sen 3 x 
sen 5 x  .... 
 senx 
 
9
25

Para toda x en [0,π]
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45
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
SERIE DE FOURIER COMPLEJA
Sea f una función de variable real, periódica con periodo fundamental p. Supongamos que f es
integrable en [-p/2,p/2]. La serie de Fourier en este intervalo es
1
2
Con  0

a0 
2

2
En la serie sea

n 1
1
cos( n  o x )  b n sen ( n  o x ) ,
Se reescriben las ecuaciones como

a0 
n
n 1
 2 / p .
1
 a
1

a
n

2


a0 
d0 

n 1
1
2
a0
e
in  0 x
 e
 in  0 x
 b
1
n
2i
e
in  0 x
 e
 in  0 x
 ,

1
1
in  0 x
 in  0 x 
(
a

ib
)
e

(
a

ib
)
e
n
n
n
n
2
,
2


y para cada entero positivo
dn 
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1
2
( a n  ib n )
46
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación)
Entonces la serie llega a ser

d0 
 [d
n
e
in  0 x
 d ne
 in  0 x

]  d0 
n 1

d ne

in  0 x

n 1
1
1
p

f ( t ) cos( n  0 t ) dt 
i
2
2
d ne
 in  0 x
n 1
a0 
d0 
Ahora consideramos los coeficientes. Primero,

p /2
 p /2
f ( t ) dt
Y, para n=1,2,…
dn 
1
2
( a n  ib n ) 
1 2
2 p

1
p

p /2
 p /2

p /2
 p /2
f (t ) e
 in  0 t
2 p

p /2
 p /2
f ( t ) sen ( n  0 t ) dt
dt
Y, para n=1,2,…
dn 
1
p

p /2
 p /2
f (t ) e
 in 
0
t

1
p

p /2
 p /2
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f (t ) e
in  0 t
dt  d  n
47
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación 2)
Ponemos estos resultados en la serie para obtener

d0 

d ne
in  0 x
n 1

d ne
in  0 x
n 1
 in  0 x

  d ne
 in  0 x
n 1

 d0 
  d ne
n 1

 d0 


d ne
n   , n  0
in  0 x



d ne
in  0 x
n  
Hemos encontrado esta expresión rearreglando los términos en la serie de Fourier de una función periódica f
.
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48
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
 TEOREMA
Sea f periódica con un periodo fundamental p. Sea f suave a pedazos en [-p/2, p/2].
Entonces, en cada x la serie de Fourier converge a
1
( f ( x  )  f ( x  ))
2
El espectro de amplitud de la serie de Fourier compleja de una función periódica es la gráfica de
los puntos ( n  , d ) , en donde d
es la magnitud del complejo d .
0
n
n
n
Algunas veces este espectro de amplitud es llamado también espectro de frecuencia.
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49
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
EJEMPLO
Sea f ( x )  3 x / 4 para
periodo fundamental 8.
0  x  8, y
f ( x  8)  f ( x )
para todo x. Entonces f es periódica con
Aquí p=8 y  0   / 4 . Recordemos que en las fórmulas para los coeficientes se puede realizar la
integración sobre cualquier intervalo de longitud 8. Aquí es conveniente usar [0,8] en lugar de [-4,4]
debido a como está definida f(x). Entonces.
1 0 3
d0  
tdt  3
8 4 4
Si usamos el intervalo [-4,4], entonces podríamos calcular
Ahora,
dn 
1

8
8
0
3
4
te
 ni / 4
dt 
3i
n
d0 
1
0
3
4
4

8
( t  8 ) dt 
La serie de Fourier
compleja es
1

8
4
0
3
tdt  3
4

3i
n
3

n   , n  0
1
e
n  ix / 4
n
Esta serie converge a f(x) para 0< x <8, 8< x <16, 16 < x < 24…. .8< x <0, -16 < x < -8
3
Para trazar el espectro de amplitud, calculamos d 0  3, d n 
. Como n  0  n  / 4 el espectro de
n
amplitud es un trazo de los puntos 

n
3


,
 4  n 


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