Matemáticas: Paradojas




Esta afirmación es falsa
Paradoja de Russell
Paradoja de Richard
Problema: auto-referencia
René Magritte (1930)
MC Escher (1948)
Ambición de la Escuela Formalista




David Hilbert (1862-1943)
Utilización de símbolos para no equivocarse suponiendo
cosas no postuladas – Sistema Formal
Definición de una demostración como cadena de
afirmaciones enlazadas por modus ponens
Los axiomas son “arbitrarios”





Consistencia - necesaria (no deben llevar a contradicción)
Completitud (todas las verdades se pueden demostrar)
La lógica es parte de la matemática no al revés
De la Teoría de Conjuntos se deduce toda la matemática
Tarea (1920): Utilizar lógica intuicionista en la
metamatemática para demostrar completitud y
consistencia de la matemática
 xA  A    A   xA 
Demostración
1. xA  A
axioma 1
2. xA  A
axioma 1
3. xA  A   A  xA
p  q   q  p 
axioma
4.
A  xA
regla modus ponens 2 y 3
5.
A  xA
definición
6. xA  A   A  xA
xA  xA
regla conjunción 1 y 5
7. xA  A   A  xA  xA  xA
8.
axioma
 p  q   q  r    p  r 
xA  xA
Conclusión
regla modus ponens 6 y 7
xA  xA
Ambición de la Escuela Formalista

Existe un Sistema Formal para la Teoría de Conjuntos
del cual se desprende toda la Matemática




Versión Russell-Whitehead
Versión Zermelo-Frankel
Consistencia: Si se demuestra una contradicción, se
puede demostrar cualquier afirmación: Gravísimo
Completitud
Completo
q
~p
q
~q
Verdadero
= Demostrable
No Completo
~p
~q
Verdadero
p
p
Falso
Falso








Kurt Gödel (Austria 1906-Princeton 1978)
1929 Doctorado Universidad de Viena
Tesis: Demuestra la completitud de la
Lógica de Predicados de primer orden
1931 Teorema de Incompletitud del
Sistema Formal de los Naturales
1933 Hitler sube al poder en Alemania
Gödel sufre de depresión que se
intensifica cuando matan a un colega de
la U. de Viena
1938 Alemania anexa a Austria. No le
renuevan el contrato en la U.
1940 Emigra a EEUU
Sigue trabajando en lógica y teoría de
conjuntos: gana varios premios
Axiomatización de los Naturales
Peano (1889)
Términos básicos: número, 1, sucesor
1. 1 es un número
1 N
2. Para todo número n existe otro número Sn llamado el
sucesor de n.
n  N Sn  N
3. 1 no es el sucesor de ningún número n (Sn  1)
4. Si Sn= Sm entonces n = m nm Sn  Sm   n  m 
5. Adición


6.
Para todo n, n+1 = Sn n(n  1  Sn)
Para todo n, m, n+Sm = S(n+m).nm n  Sm  S(n  m) 
Multiplicación


Para todo n, n·1 = n n(n  1  n)
Para todo n, m, n·Sm = n·m+n nm n  Sm  (n  m  n) 
Axiomatización de los Naturales
Regla de Inducción
Si P es una propiedad tal que:


1 tiene la propiedad P
si n tienen la propiedad P entonces Sn tienen la
propiedad P
Entonces la propiedad P vale para todos los
números.
P (1)
n P(n)  P(Sn) 
n P (n)
La Metamatemática

Tres niveles
Meta-Aritmética: Lenguaje del
entendimeinto (Intuicionista).
Nos va a decir si la Aritmética está
bien hecha. Si es consistente.
Aritmética Formal: sólo fórmulas
lógicas que representan
funciones, afirmaciones, cadenas de
demostraciones sobre
números
Números: Naturales únicamente
MC Escher (1955)
La Metamatemática

Tarea de Gödel: Reflejar la Meta-Aritmética en la
Aritmética y la Aritmética en los números
Meta-Meta-Aritmética
interpretar
Meta-Aritmética
Aritmética
reflejar
Números
René Magritte (1930)
Codificación de Gödel
Símbolos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Predicados
P
Q
R
T
Variables

13.
16.
19.
22.

Número de Gödel


(
)
S
9. 1
10. =
11. 
12. +
14.
17.
20.
23.
n
m
x
y
Proposiciones
15. E
18. F
21. G
n (Sn  1)
22314517611813141710199237
Demostración
1. xA  A
3. xA  A   A  xA
m1
m1
m3
4.
A  xA
m4
5.
A  xA
m5
m6
2. xA  A
6. xA  A   A  xA
7. xA  A   A  xA  xA  xA m7
m8
8. xA  xA
Conclusión
m8
xA  xA
m
m2 m3 m4
Dem( x, y )  Dem(2 1 3
5
7
m
m
m
m
11 513 617 719 8 , m8 )
es verdadero en este caso
Desenlace
es una función de dos variables numéricas
cuyo valor es Verdadero o Falso
Es “calculable” en un número finito de pasos
Luego se puede escribir en símbolos y tiene número
de Gödel
Asimismo xDem( x, y)  tienen número de Gödel G
G. xDem( x, y) 
Por lo tanto xDem( x, G) es una afirmación de la
aritmética ¿Es Verdadera o Falsa?
¿Qué significa esto?
 Dem( x, y )





Gödel: Teorema de incompletitud
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



Se tiene el Sistema Formal de la Aritmética SFA (números
naturales): Símbolos, Axiomas, Reglas de sintaxis, Reglas de
inferencia, Definición de “demostración dentro del sistema”.
Se “refleja” la Meta-aritmética dentro del sistema
Se muestra que G: “Esta afirmación no se puede demostrar
dentro del sistema” se puede escribir “reflejada” como
afirmación del sistema (con sus símbolos y reglas de sintaxis)
La afirmación no puede ser falsa (¿por qué?)
Al ser verdadera, se tiene una afirmación verdadera del sistema
que no se puede demostrar dentro del sistema, luego el
sistema resulta Incompleto.
Gödel: SFA es consistente?
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





Si no es consistente se podrá demostrar p  p
También hay un teorema de la lógica que dice  p  p   q
Por modus ponens:  p  p   q
p  p
q
Es decir, se podría demostrar cualquier afirmación q, en
particular G
Entonces: SFA es consistente  G (“G es indemostrable”)
Si se tuviera una demostración de la consistencia del sistema
“reflejable” en el sistema, se tendría una demostración de G
dentro del sistema: SFA es consistente G
SFA es consistente
G
Luego: No se puede demostrar la consistencia de SFA de
manera “reflejable” en el sistema.
Gödel: Consecuencias
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


No se puede demostrar la consistencia de SFA con
herramientas de lógica equivalentes a las del mismo
SFA
Se podría, posiblemente, con reglas de un sistema más
complejo, pero dudaríamos de la consistencia de ese
sistema.
Cualquier sistema del cual se deduce SFA (como la
Teoría Formal de Conjuntos…o de Reales), tendría el
mismo problema
Se puede hablar de consistencia relativa: Si la
geometría euclidiana es consistente entonces la
geometría hiperbólica también lo es
Gödel: Consecuencias




Como ni G ni G se pueden demostrar en SFA, se
dice que son independientes de ese sistema formal
Cualquiera de las dos afirmaciones se puede añadir
como axioma
En el caso de añadir G se obtendrá una aritmética
“no estándar”, con números mayores que todos los
naturales normales, de la misma manera a como se
obtienen geometrías no euclidianas.
Aunque se añada G como axioma, el sistema seguirá
siendo incompleto; La completitud no se logra aún
añadiendo más y más axiomas del mismo estilo
Gödel: Consecuencias
Pérdida de certeza en Matemáticas
 1° “En cualquier sistema que contenga la aritmética,
existe por lo menos una fórmula , que, aún siendo
verdadera no podrá jamás ser demsotrada”.
 2° “Si un sistema formal es suficientemente interesante
para formular su propia consistencia, puede probar su
propia consistencia si y solo si es inconsistente”
 La matemática es más rica que un sistema formal
 El teorema de Gödel no afectó mucho a las otras áreas
de la matemática ni su uso por el resto de las otras
ciencias.
Gödel: Consecuencias

Con Gödel la abstracción de las matemáticas llega a su máxima
expresión:





Son una construcción de la mente cuya conexión con la realidad
exterior es “accidental”
La “Verdad” en matemáticas se refiere a que:
 Se siguen las reglas del sistema formal que transmiten el valor de
verdad
 El sistema formal es consistente, cosa no se puede demostrar en
los casos interesantes
La exigencia de rigor iniciada por los griegos y revivida en el s.
XIX llega a su conclusión.
Gödelización sienta precedentes para los computadores
Algunos pensadores de la época extenderán las limitaciones de
los Sistemas Formales a las capacidades de la mente y de los
computadores
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GRECIA ANTIGUA