Cinemática Directa del Robot
UCR – ECCI
CI-2657 Robótica
Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
Introducción

Consiste en determinar cual es la posición y
orientación del extremo final del robot, con respecto
a un sistema de coordenadas que se toma como
referencia, conocidos los valores de las articulaciones
y los parámetros geométricos de los elementos del
robot.
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Cinemática del Robot
2
Introducción (cont.)
Cinemática
Cinemática directa →→
Valor de las
coordenadas articulares
(q0, q1, ..., qn)
Posición y orientación
del extremo del robot
(x, y, z, α, β, γ)
←← Cinemática inversa
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3
Cinemática Directa


Se utiliza fundamentalmente el álgebra vectorial y matricial
para representar y describir la localización de un objeto en el
espacio tridimensional con respecto a un sistema de referencia
fijo.
Dado que un robot puede considerar como una cadena
cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos
entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un
sistema de referencia fijo situado en la base del robot y
describir la localización de cada uno de los eslabones con
respecto a dicho sistema de referencia.
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4
Cinemática Directa (cont.)


De esta forma, el problema cinemático directo se reduce a
encontrar una matriz homogénea de transformación T que
relacione la posición y orientación del extremo del robot
respecto del sistema de referencia fijo situado en la base del
mismo.
Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.
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5
Matrices de Transformación Homogénea

La resolución del problema cinemático directo consiste en
encontrar las relaciones que permiten conocer la localización
espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus
coordenadas articulares.
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6
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de
Euler para representar la posición y orientación del extremo de
un robot de seis grados de libertad, la solución al problema
cinemático directo vendrá dada por las relaciones:






x = Fx ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
y = Fy ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
z = Fz ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
α = Fα ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
ß = Fß ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
γ = Fγ ( q1,q2,q3,q4,q5,q6 )
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7
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

La obtención de estas relaciones no es en general complicada,
siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos grados de
libertad) fácil de encontrar mediante simples consideraciones
geométricas. Por ejemplo, para el caso de un robot con 2
grados de libertad es fácil comprobar que:



x = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 )
y = I1 cosq1 + I2 cos( q1 + q2 )
Para robots de más grados de libertad puede plantearse un
método sistemático basado en la utilización de las matrices de
transformación homogénea.
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8
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)


En general, un robot de n grados de libertad esta formado por
n eslabones unidos por n articulaciones, de forma que cada par
articulación-eslabón constituye un grado de libertad.
A cada eslabón se le puede asociar un sistema de referencia
solidario a él y, utilizando las transformaciones homogéneas,
es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas
entre los distintos eslabones que componen el robot.
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9
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)


Normalmente, la matriz de transformación homogénea que
representa la posición y orientación relativa entre los sistemas
asociados a dos eslabones consecutivos del robot se le suele
denominar (i-1)Ai.
Así pues, 0Ai describe la posición y orientación del sistema de
referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema
de referencia solidario a la base, 1A2 describe la posición y
orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc.
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10
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)


Del mismo modo, denominando 0Ak a las matrices resultantes
del producto de las matrices (i-1)Ai con i desde 1 hasta k, se
puede representar de forma total o parcial la cadena
cinemática que forma el robot.
Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema
solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al
sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante
la matriz 0A2:

0A2 = 0A1 ( 1A2 )
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11
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

De manera análoga, la matriz 0A3 representa la localización
del sistema del tercer eslabón:



0A3 = 0A1( 1A2 )( 2A3 )
Cuando se consideran todos los grados de libertad, a la matriz
0An se le suele denominar T.
Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene que la
posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la
matriz T:

T = 0A6 = 0A1( 1A2 )( 2A3 )( 3A4 )( 4A5 )( 5A6 )
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12
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

Se utiliza en robótica la representación de DenavitHartenberg.

Denavit-Hartenberg propusieron en 1955 un método matricial que
permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas
(Si) ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose
determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena
completa.
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13
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)


Según la representación D-H, escogiendo adecuadamente los
sistemas de coordenadas asociados para cada eslabón, será
posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones
básicas que dependen exclusivamente de las características
geométricas del eslabón.
Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de
rotaciones y traslaciones que permitan relacionar el sistema de
referencia del elemento i con el sistema del elemento i-1.
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Matrices de Transformación Homogénea (cont.)
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15
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

Las transformaciones en cuestión son las siguientes:





Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi.
Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di; vector di (0,0,di).
Traslación a lo largo de Xi una distancia ai; vector ai (ai,0,0).
Rotación alrededor del eje Xi, un ángulo αi.
De este modo se tiene que:

i-1Ai = T(z,θi) T(0,0,di) T(ai-1,0,0) T(x,αi-1)
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16
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

Y realizando el producto de matrices:
donde αi, ai, di, θi, son los parámetros D-H del eslabón i,
asociados con el enlace i y la articulación i.
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Matrices de Transformación Homogénea (cont.)
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18
Matrices de Transformación Homogénea (cont.)

Los cuatro parámetros αi, ai, di, θi en (3.10) son la vuelta del
enlace, la longitud del enlace, offset del enlace y el ángulo
de las articulaciones, respectivamente.


Estos nombres se derivan de aspectos específicos de la relación
geométrica entre dos marcos de coordenadas.
Dado que la matriz Ai es una función de una sola
variable, resulta que tres de las cuatro parámetros son
constantes para un enlace dado, mientras que el cuarto
parámetro, θi es variable para una articulación de revolución y
di es variable para una articulación prismática.
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Matrices de Transformación Homogénea (cont.)



De este modo, basta con identificar los parámetros αi, ai, di, θi,
para obtener matrices A y relacionar así todos y cada uno de
los eslabones del robot.
Como se ha indicado, para que la matriz i-1Ai, relacione los
sistemas (Si) y (Si-1), es necesario que los sistemas se hayan
escogido de acuerdo a unas determinadas normas.
Estas, junto con la definición de los 4 parámetros de DenavitHartenberg, conforman el siguiente algoritmo para la
resolución del problema cinemático directo.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Denavit-Hartenberg notación Craig
Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)
ai:(longitud eslabón) distancia entre ejes i,i+1 de las articulaciones a lo largo de la perpendicular común
αi:(ángulo torsión) ángulo que existiría entre ejes i,i+1 si se cortasen en punto de corte de la
perpendicular común
θi: ángulo que existiría entre las líneas normales de la articulación i si se cortasen en el mismo punto del
eje i
di: distancia entre las intersecciones de las normales comunes al eje i, medida a lo largo de i
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg – Notación
Craig (cont.)

4 parámetros: ai, αi, θi, di




2 relativos a la forma y tamaño del eslabón: ai, αi
2 describen posición relativa del eslabón respecto a su
predecesor: θi, di *
Los parámetros de forma y tamaño quedan determinados en
tiempo de diseño
Los parámetros de posición relativa varían


θi variable si la rotación es articular (di constante)
di variable si la rotación es prismática (θi constante)
* En notación Craig es respecto al eslabón sucesivo ai-1, αi-1, θi, di
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Términos enlace/articulación

Articulación. Conexión de dos cuerpos rígidos
caracterizados por el movimiento de un sólido sobre
otro.


Grado de libertad. Circular o prismático.
Enlace. Cuerpo rígido que une dos ejes articulares
adyacentes del manipulador.

Posee muchos atributos. Peso, material, inercia, etc.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Parámetros de un Enlace


Eje articular. Línea en el espacio alrededor de la cual el
enlace i rota referido al enlace i-1.
Longitud del enlace (ai-1). Distancia entre los ejes articulares
i e i-. Número de líneas que definen la longitud: ∞




Ejes paralelos:
Ejes no paralelos: 1
Signo: positivo
Ángulo del enlace (αi-1). Ángulo medido entre los ejes
articulares i e i-1. Proyección sobre plano.

Signo: Regla de la mano derecha
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33
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Parámetros de un Enlace (cont.)
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34
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Variables Articulares

Desplazamiento del enlace (di). Distancia medida a lo largo
del eje de la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta
el eje hasta el punto donde ai intersecta el eje.



di es variable si la articulación es prismática
di posee signo
Ángulo de la articulación (θi). Ángulo entre las
perpendiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del
enlace i.
 θ es variable si la articulación es de rotación
 θi posee signo definido por la regla de la mano derecha
i
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35
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Variables Articulares (cont.)
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36
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia

Objetivo. Encontrar una transformación homogénea
(función de los parámetros vistos) que describa la
posición y orientación del extremo del robot respecto
a la base.
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37
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)


Método. Definir SR asociado a cada eslabón, realizar
la transformación entre dos consecutivos con solo 2
giros y 2 traslaciones.
La asignación de SR no es única:

Notación Paul y notación Craig



[Paul]: SRi en el eje que le enlaza con el siguiente eslabón (al final
del eslabón)
[Craig]: SRi en el eje que le enlaza con el eslabón precedente (al
inicio del eslabón)
Las matrices de transformación intermedias varían, pero
el
resultado final es el mismo.
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38
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)

Enlaces primero y último.


Sistema de referencia {0}. Sistema que se adjunta a la
base del robot. No se mueve.
Sistema de referencia {1}. Coincide con la base.
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39
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)

Enlaces intermedios.




Origen del sistema de referencia {i}. Se ubica en el
punto creado por la perpendicular de ai y el eje articular i.
Eje Z. El eje Zi del sistema de referencia {i} se hará
coincidir con el eje articular i.
Eje X. El eje Xi se hace coincidir con la distancia ai desde
la articulación i hacia i+1.
Eje Y. El eje Yi se define a partir del eje Xi, tomando
como referencia la regla de la mano derecha.
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40
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)
El eje Zi del SRi se hará coincidir con el eje articular i.
El eje Xi se hace coincidir con la distancia ai desde la articulación i hacia i+1.
Es normal común a ejes i, i+a, apuntando de i a i+1. *
El eje Yi se define a partir del eje Xi, tomando como referencia la regla de la
mano derecha, trivialmente para que el sistema sea dextrogiro.
Yi-1
Zi-1
Xi-1
Zi
Xi
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Yi
* La normal común puede
no ser única, necesitamos
establecer convenciones
41
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)
Si las articulaciones i, i+a son paralelas:
• Tenemos infinitas posibles perpendiculares comunes
• El origen del sistema de referencia queda indefinido → Tomar origen en la
articulación i+1
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42
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)
Si las articulaciones se cortan en un punto:
• El origen en el punto de corte
• La dirección es perpendicular común al plano formado por Zi-1, Zi
• El sentido se toma arbitrariamente
ai ?
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0
43
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Asignación Sistemas de Referencia (cont.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Identificar los ejes articulares. De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes
consecutivos i e i-1.
Identifique la perpendicular común. Identifique la línea que se intersecta,
perpendicularmente, al eje articular i. Defina el sistema de referencia sobre
el punto de intersección.
Asigne el eje Zi al eje articular i.
Asigne el eje Xi a la perpendicular común que definió el origen del sistema
de referencia i.
Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el eje Yi según la
ley de la mano derecha.
Haga coincidir los SR{0} y {1} cuando la primera variable articular sea
cero.
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44
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Significado de los Parámetros

Los parámetros de DH tienen el siguiente significado:





El parámetro ai es la distancia entre Zi y Zi-1 medida a lo
largo de Xi.
El parámetro αi es el ángulo entre Zi y Zi-1 referido a Xi.
El parámetro di es la distancia entre Xi-1 y Xi medida a lo
largo de Zi.
El parámetro θi es el ángulo entre Xi-1 y Xi referido a Zi.
Nota: ai es la única magnitud positiva, las demás
tienen signo.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación
Yi-1
Zi-1
Xi-1
Zi
Xi
Yi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
Yi-1
Zi-1
Xi-1
Zi
Xi
Yi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
Zi
Yi
Xi
di
Zi
Xi
Yi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
Zi Yi
θ
i
di
Xi
Zi
Xi
Yi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
θi
di
Zi Yi
ai
Zi
Yi
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XiXi
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
θi
di
αi
ai
Zi
Yi
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Zi
XiXi
Yi
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
Yi-1
Zi
Zi-1
Xi-1
Xi
Yi
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
i 1
Yi-1
Zi
Zi-1
Xi-1
Xi
Yi
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Ai  T z , d T z , T x , a T x ,
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
i 1
Ai  T z ,d T z , T x ,a T x ,
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 co s  i

sen  i


 0

 0
 co s  i sen  i
sen  i sen  i
co s  i co s  i
 sen  i co s  i
sen  i
co s  i
0
0
a i co s  i 

a i sen  i

di


1

Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
i 1
Ai  T z ,d T z , T x ,a T x ,
 co s  i

sen  i
 
 0

 0
 co s  i sen  i
sen  i sen  i
co s  i co s  i
 sen  i co s  i
sen  i
co s  i
0
0
Como es sabido, la inversa es la transpuesta
i
Ai  1
co s  i


 co s  i sen  i
 
 sen  i sen  i

0

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sen  i
0
co s  i co s  i
sen  i
 sen  i co s  i co s  i
0
0
 ai


 d i sen  i

 d i co s  i 

1

a i co s  i 

a i sen  i

di


1

Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Representación (cont.)
NOTA: Las operaciones Tx,aTx,α y Tz,dTz,θ se pueden conmutar, el resultado final es el mismo
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Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg




DH1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer
eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón
móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot.
DH2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (la
correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).
DH3. Localizar el eje de cada articulación. Si es rotativa, el
eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo
largo del cual se produce el desplazamiento.
DH4. Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la
articulación i+1.
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Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg




DH5. Situar el origen del sistema de la base (S0) en cualquier
punto del eje Z0. Los ejes X0 e Y0 se situarán de modo que
formen un sistema dextrógiro con Z0.
DH6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al
eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal
común a Zi -1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en
el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la
articulación i+1.
DH7. Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi.
DH8. Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con
Xi y Zi.
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58
Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg




DH9. Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo
que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1
y Zn.
DH10. Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a
Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos.
DH11. Obtener di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1,
que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen
alineados.
DH12. Obtener ai como la distancia medida a lo largo de Xi
(que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el
nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si).
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59
Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg




DH13. Obtener αi como el ángulo que habría que girar
entorno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo
(Si-1) coincidiese totalmente con (Si).
DH14. Obtener las matrices de transformación i-1Ai.
DH15. Obtener la matriz de transformación que relaciona el
sistema de la base con el del extremo del robot T = 0A1, 1A2,
..., n-1An.
DH16. La matriz T define la orientación (submatriz de
rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo
referido a la base en función de las n coordenadas articulares.
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60
Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit- Hartenberg

Los cuatro parámetros de DH (θi, di, ai, αi) dependen
únicamente de las características geométricas de cada eslabón
y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente.


θi es el ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi medido en un plano
perpendicular al eje Zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se
trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.
di es la distancia a lo largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema de
coordenadas (i-1)ésimo hasta la intersección del eje Zi-1 con el eje Xi.
Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.
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61
Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
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Cinemática Directa (cont.)
Algoritmo de Denavit-Hartenberg



Una vez obtenidos los parámetros DH, el cálculo de las relaciones entre los
eslabones consecutivos del robot es inmediato, ya que vienen dadas por las
matrices A, que se calcula según la expresión general.
Las relaciones entre eslabones no consecutivos vienen dadas por las
matrices T que se obtienen como producto de un conjunto de matrices A.
Obtenida la matriz T, esta expresará la orientación (submatriz (3x3) de
rotación) y posición (submatriz (3x1) de traslación) del extremo del robot
en función de sus coordenadas articulares, con lo que quedara resuelto el
problema cinemático directo.
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1
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64
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1 (cont.)
UCR-ECCI CI-2657 Robótica
Cinemática del Robot
65
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1 (cont.)
UCR-ECCI CI-2657 Robótica
Cinemática del Robot
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1
Parámetros DH para el Robot
Articulación
θ
d
a
α
1
θ1
0
l1
0
2
θ2
0
l2
0
3
θ3
0
l3
0
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1 (cont.)

UCR-ECCI CI-2657 Robótica
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68
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1 (cont.)

UCR-ECCI CI-2657 Robótica
Cinemática del Robot
69
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 1 (cont.)

UCR-ECCI CI-2657 Robótica
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70
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 2
Parámetros DH para el Robot
Articulación
θ
d
a
α
1
θ1
l1
0
0
2
90°
d2
0
90°
3
0
d3
0
0
4
θ4
l4
0
0
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Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 2 (cont.)

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72
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 2 (cont.)

UCR-ECCI CI-2657 Robótica
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73
Algoritmo de Denavit-Hartenberg
Ejemplo 2 (cont.)

UCR-ECCI CI-2657 Robótica
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74
Referencias Bibliográficas

La información fue tomada de:
Fu, K.S.; González, R.C. y Lee, C.S.G. Robotics:
Control, Sensing, Vision, and Intelligence. McGraw-Hill.
1987.
 Cinemática. URL:
http://proton.ucting.udg.mx/materias/robotica/r166/r78/r7
8.htm
 Martínez A. G. M.; Jáquez O. S. A.; Rivera M. J. y
Sandoval R. R. “Diseño propio y Construcción de un
Brazo Robótico de 5 GDL”. URL:
http://antiguo.itson.mx/rieeandc/vol4p1_archivos/Art2Jun
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75
Cinemática delio08.pdf
Robot

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