MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1
1.
CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
2.
ECUACIÓN DE UN M.A.S.
3.
CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S.
4.
1.
USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES COSENO Y SENO
2.
EJEMPLOS EN DIFERENTES POSICIONES
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
1.
CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD
2.
CARACTERÍSTICAS DE LA ACELERACIÓN
3.
VALORES MÁXIMOS
5.
ESTUDIO DINÁMICO DEL M.A.S. - MUELLES
6.
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DEL M.A.S.
7.
ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.
8.
1.
GRÁFICAMENTE
2.
POSICIONES IMPORTANTES
EL PÉNDULO FÍSICO – OTRO EJEMPLO DE M.A.S.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
3
Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras.
Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas
Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la
partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa)
Amplitud – Valor máximo de separación de la partícula con respecto a la
posición de equilibrio (+)
Amplitud  Elongación
x(t)Elongación
POSICIÓN DE
EQUILIBRIO
AAMPLITUD
x(t)
x=-A
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=0
x=A
4
Posición
x(t)  Acos(wt  ρ)
Velocidad
dx(t)
v(t)
 Awsen(wt  ρ)
dt
Aceleración
2x(t)
dv(t)
d
a(t) 

 Aw 2cos(wt  ρ)
dt
dt2
A-Amplitud (m)
w – Pulsación ó frecuencia angular (rad/s)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
5
posición:
x(t )  A cos(wt   )
velocidad:
v(t )   Awsen( wt   )
Si se introducecorrectamente la fase, el signode la velocidadinicial
tieneque ser coherentecon el sentidodel movimiento
aceleración :
a(t )   Aw2 cos(wt   )
Signosiempre contrarioal de la posición
x(t)
x=-A
x=0
v=0
v=MAX(+-)
a=MAX(+)
a=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
v=0
a=MAX(-)
6
v(x)  w A2  x2
Esta expresiónno diferenciael signo de la velocidad. solamentecalcula su valor
La velocidades nula en los extremosdel movimiento
x  A ó x  -A  v  0
La velocidades máximaal pasar por la posiciónde equilibrio
x  0  v max  Aw (m/s)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
7
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 6sen(πt/2) (en
metros). a) ¿Cuánto valen la amplitud, el período? b) ¿Dónde está y cuál es su velocidad y
aceleración para t = 1seg? ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 1,4seg? c) Si
la masa de la partícula que oscila es de 2kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca
este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
8
x = 6sen(πt/2)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
9
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 4sen(πt + π) (en
metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál es su
velocidad y aceleración para t = 0,5seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 2kg
¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción
del movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
10
x = 4sen(πt + π)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
11
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 3cos( 3πt + π/3)
(en metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál su
velocidad y aceleración para t = 3 seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 4kg ¿Cuál
es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del
movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
12
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
13
Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo
2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un
extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe la ecuación de la
posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese
punto (3cm).
v(x)  w A2  x2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
14
Una partícula se mueve a lo largo de una recta con m.a.s. En el punto x = 3 cm lleva una
velocidad de 9 cm/s y en el punto x = 6 cm lleva una velocidad de 4 cm/s. Determina: a) la
frecuencia y la velocidad angular, b) el período del movimiento, c) la amplitud de la vibración.
v(x)  w A2  x2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
15
Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 0,20 m; su aceleración vale 0,40 m/s2
en un punto cuya elongación es -0,10 m. Determinar: a) las ecuaciones del movimiento
suponiendo nula la fase inicial, b) el período de la oscilación, c) los instantes en que V y a se
hacen máximas.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
16
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
17
v
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
18
v
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
19
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
20
v
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
21
v
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
22
v
x=-A
x=0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
x=A
x(t)
23
CARACTERÍSTICAS:
• SE PRODUCE SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA
•OSCILANDO
EQUILIBRIO
ALREDEDOR
DE
UNA
POSICIÓN
DE
• ES PERIÓDICO (T)
•ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS QUE
INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE
EQUILIBRIO. LAS FUERZAS RESTAURADORAS SON
PROPORCIONALES A LA SEPARACIÓN CON RESPECTO A
LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
24
• SE PUEDE EXPRESAR INDISTINTAMENTE EN FUNCIÓN DEL COSENO O
DEL SENO
• LA DIFERENCIA ESTÁ EN LA FASE A AÑADIR
• EXISTE SIEMPRE ENTRE ELLOS UNA DIFERENCIA DE FASE DE PI/2
• LA FASE DEPENDE DE LA POSICIÓN INICIAL Y DEL SENTIDO DEL
MOVIMIENTO(VELOCIDAD)
• LA FASE PUEDE SUMARSE O RESTARSE, NORMALMENTE SE USAN
FASES MENORES A PI
• LA FASE TIENE QUE GARANTIZAR QUE PARA t=0 LA PARTÍCULA SE
ENCUENTRE EN LA POSICIÓN INICIAL, Y SE CALCULA DE LA SIGUIENTE
FORMA:
x(t )  A cos(wt   )
 x(0) 
t  0  x(0)  A cos( )    ar cos

 A 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
25
posición:
x(t )  A cos(wt   )
aceleración:
v(t )   Aw2 cos(wt   )
Aceleración en funciónde la posición:
a(x)  ?  a
 - w2x
La aceleración es proporcional a la elongación(carácterística del M.A.S.)
El signo de la aceleración es siemprecontrarioal de la posición(recuperarel equilibrio)
La aceleración es nula al pasar por la posiciónde equilibrio
x  0 a  0
La aceleración es máximaen los extremosdel movimiento
x  A ó x  -A  amax   Aw 2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
26
P osiciónmáxima
Valor máximo  A
Velocidad máxima
Se producecuando la posiciónes x  0 (equilibrio)
Valor máximo  Aw
Aceleración máxima
Se producecuando la posiciónes máxima  A
Valor máximo  Aw 2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
27
F  ma
F(x)   m  w 2 x(t )

F(x)   k x(t )
Características:
Es proporcional a la elongaciónF(x)  -kx(t)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
28
F  ma
F(x)   m  w 2 x(t )

F(x)   k x(t )
Características:
Es proporcional a la elongación F(x)  -kx(t)
donde k es la constanterecuperadora del movimiento
k  mw 2
en el caso de muelles, k se llama constanteelásticadel muelle
Unidades de k(N/m)
El signo menosindica que la fuerza es siemprecontrariaa la elongación
Es una fuerza recuperadora de la posiciónde equilibrio.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
29
w - P ulsación / frecuenciaangular
T - P eriododel moviento
(rad/s)
(s)
f - Frecuenciadel movimiento
(s-1 )(Hz)
1 2
T 
;
f
w
w  2  f
k - Constanterecuperadora (muelles)
k  mw 2
 w
k
m
 T  2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
(N/m)
m
k
30
Se hace oscilar verticalmente un cuerpo de masa 80 g que está
colgado de un muelle en hélice de constante elástica 2 N/m. Si la
amplitud de la oscilación es de 10 cm, ¿cuál será la expresión de
su elongación en función del tiempo?
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
31
Al suspender un cuerpo de masa 300 g del extremo de un muelle que está colgado
verticalmente, éste se alarga 20 cm. Si se tira del cuerpo 5 cm hacia abajo y se
suelta, comienza a oscilar. Calcular el período del movimiento. ¿Cuál será la
máxima velocidad que alcanzará?
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
32
Un cuerpo colgado de un muelle helicoidal realiza un movimiento armónico
simple barriendo un espacio de 0.5 m. En una oscilación completa invierte 3.0 s.
Calcula: La velocidad máxima del cuerpo. La velocidad del cuerpo 1.0 s después
de pasar por el punto más bajo de su trayectoria. La aceleración máxima del
cuerpo.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
33
Un oscilador consta de un bloque de 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0,
se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su
movimiento cada 0,484 segundos. Halla: a) el período, b) la frecuencia, c) la
frecuencia angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza
máxima ejercida sobre el bloque, y g) la ecuación de movimiento (asumiendo que
v(0) =0).
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
34
Energía potencialelástica(fuerza recuperadora - conservativa)
1
T rabajode la fuerza elástica Ep  kx2
2
Energía cinética 
Ec  1 mv2
2
Energía Mecánica Em  Ep  Ec 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1 kx2  1 mv2
2
2
35
Energía cinéticaen funciónde la posición:
v(x)  -w A 2  x 2
1
1
Ec  m w2 ( A 2  x 2 )  k ( A 2  x 2 )
2
2
1
1
Energía cinéticamáxima x  0  Ecmax  m w2 A 2  kA2
2
2
Energía cinéticamínima x   A  Ec  0
Energía potencialen funciónde la posición:
1
1
Ep  m w2 x 2  kx 2
2
2
1
1
Energía potencialmáxima x   A  Epmax  m w2 A 2  kA2
2
2
Energía potencialmínima x  0  Ep  0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
36
Energía Mecánicaen funciónde la posición:
1 2 1
Em  Ep  Ec  kx  k ( A 2  x 2 )
2
2
Em  1 kA2
2
Es constante
No dependede la posición x(t)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
37
La energía potencialelásticaes siemprepositiva
La energía cinéticaes siemprepositiva
La energía mecánicaes la suma de las dos y es siempreconstante
1
1
2
Em  kA  mw 2A 2
2
2
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
38
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
-A/2
0
A/2
¿? A
x(t)
ESTUDIO ENERGÉTICO EN ALGUNAS POSICIONES DEL M.A.S.
EN T ODOSLOS PUNT OSLA ENERGÍA MECÁNICAES CONST ANT E
1 2

Ep  kA
x  A  
2

 Ec  0
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1 2
kA
2
Ep  0

x 0  
1 2
Ec

kA

2

39
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
-A/2
0
A/2
¿? A
x(t)

1 2 1 A2 1  1 2  1
  kA   Em
Ep  kx  k
2
2 4
4 2
A

 4
x

2
2
2
 Ec  1 k ( A 2  x 2 )  1 k ( A 2  A )  1 k 3 A  3  1 kA2   3 Em
 4

2
2
4
2
4
4  2

x  ¿? para que la Ep  Ec 
1
1 1
1
1
A

Em   kA2   Ep  kx 2  kA2  x  
2
2 2
2
4
2

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
40
Un bloque de 5 kg se cuelga de un resorte y éste se estira 18 cm. Más tarde el
sistema se coloca en horizontal y se estira 7.5 cm y se suelta. Averigua: la
constante elástica del muelle.la amplitud del movimiento. el período del
movimiento.la energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el
bloque en libertad. Ecuaciones del movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
41

L
x
Px  max
mgsen  max
gsen  a
-x
x
sen 
 g  a
L
L
M . A.S .  a   w 2 x 

2  g  w  g  T  2 L

w
x 
L
L
g
a  g 
L 
El periodode oscilaciónde un péndulo solamentedepende de su longitud
y del valorde la gravedad
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
42
Un péndulo simple está constituido por una masa de 0.5 kg que cuelga de
un hilo de 1.5 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 8º en un lugar
con g = 9.8 m/s2, determina: período, ecuaciones del movimiento, su
energía potencial máxima, su velocidad máxima.

L
x
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
43
La longitud de un péndulo es de 0.248 m y tarda 1 s en efectuar una oscilación
completa de  = 18º. Determina: g en ese punto, la velocidad máxima, la
fuerza máxima de recuperación siendo m = 5 g. ¿Cuál sería el período de
oscilación de este péndulo si lo llevamos a la Luna? gL =g/6

L
x
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
44
El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2 s cuando g=9.8 m/s2. Si la
longitud del péndulo, L, se incrementa en un milímetro ¿cuánto se atrasará el
reloj en 24 horas?
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
45
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