1-1
Capítulo tres
Descripción de los datos:
medidas de ubicación
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
UNO
Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media
geométrica.
DOS
Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada
medida de ubicación.
TRES
Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto
para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.
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3-2
Media de la población
• Para datos no agrupados, la media de la
población es la suma de todos los valores en
ella dividida entre el total de valores en la
población:   X / N
• donde µ representa la media de la población.
• N es el número total de elementos en la
población.
• X representa cualquier valor en particular.
•  indica la operación de sumar.
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3-3
EJEMPLO 1
• Parámetro: una característica de una
población.
• La familia Kiers posee cuatro carros. Los
datos son las millas recorridas por cada
uno:
56 000, 23 000, 42 000 y 73 000.
Encuentre el promedio de millas de los
cuatro carros.
• Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73
000)/4 = 48 500
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3-4
Media de una muestra
• Para datos no agrupados, la media de una
muestra es la suma de todos los valores
divididos entre el número total de los
mismos:
X  X / n
• donde X denota la media muestral
• n es el número total de valores en la
muestra.
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3-5
EJEMPLO 2
• Dato estadístico: una característica de una
muestra.
• Una muestra de cinco ejecutivos recibió la
siguiente cantidad en bonos el año
pasado:
$14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y
$15 000. Encuentre el promedio en bonos
para los cinco ejecutivos.
• Como estos valores representan la
muestra de 5 ejecutivos, la media de la
muestra es
(14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 +
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3-6
Propiedades de la media aritmética
• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y
de nivel de razón tiene un valor medio.
• Al evaluar la media se incluyen todos los
valores.
• Un conjunto de valores sólo tiene una media.
• La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta
la media.
• La media es la única medida de ubicación
donde la suma de las desviaciones de cada
valor con respecto a la media, siempre es
cero.
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3-7
EJEMPLO 3
• Considere el conjunto de valores: 3, 8 y
4. La media es 5. Para ilustrar la quinta
propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2
+ 3 - 1 = 0. En otras palabras,
( X  X )  0
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3-8
Media ponderada
• La media ponderada de un conjunto de
números X1, X2, ..., Xn, con las
ponderaciones correspondientes w1, w2,
...,wn, se calcula con la fórmula:
Xw  ( w1 X 1  w 2 X 2  ...  w n X n ) /( w 1  w 2  ... w n )
Xw   ( w * X ) /  w
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3-9
EJEMPLO 6
• Durante un periodo de una hora en una
tarde calurosa de un sábado, el cantinero
Chris sirvió cincuenta bebidas. Calcule la
media ponderada de los precios de las
bebidas. (Precio ($), cantidad vendida):
(.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).
• La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x
15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 +
15) = $43.75/50 = $0.875
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3-10
Mediana
• Mediana: es el punto medio de los
valores después de ordenarlos de menor
a mayor, o de mayor a menor. La misma
cantidad de valores se encuentra por
arriba de la mediana que por debajo de
ella.
• Nota: para un conjunto con un número
par de números, la mediana será el
promedio aritmético de los dos números
medios.
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3-11
EJEMPLO 4
• Calcule la mediana para los siguientes
datos.
• La edad de una muestra de cinco
estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.
• Al ordenar los datos de manera ascendente
quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es
21.
• La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores
de basquetbol es 76, 73, 80 y 75.
• Al ordenar los datos de manera ascendente
quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es
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3-12
Propiedades de la mediana
• La mediana es única para cada conjunto de
datos.
• No se ve afectada por valores muy grandes
o muy pequeños, y por lo tanto es una
medida valiosa de tendencia central
cuando ocurren.
• Puede obtenerse para datos de nivel de
razón, de intervalo y ordinal.
• Puede calcularse para una distribución de
frecuencias con una clase de extremo
abierto, si la mediana no se encuentra en
una de estas clases.
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3-13
Moda
• La moda es el valor de la observación
que aparece con más frecuencia.
• EJEMPLO 5: las calificaciones de un
examen de diez estudantes son: 81, 93,
84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la
calificación 81 es la que más ocurre, la
calificación modal es 81.
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3-14
Media geométrica
• La media geométrica (MG) de un
conjunto de n números positivos se
define como la raíz n-ésima del producto
de los n valores. Su fórmula es:
MG 
n
( X 1)( X 2 )( X 3 )...( X n )
· La media geométrica se usa para
encontrar el promedio de porcentajes,
razones, índices o tasas de
crecimiento.
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3-15
EJEMPLO 7
• Las tasas de interés de tres bonos son
5%, 7% y 4%.
• La media geométrica es MG  3 ( 7 )( 5 )( 4 )
= 5.192.
• La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 =
5.333.
• La MG da una cifra de ganancia más
conservadora porque no tiene una
ponderación alta para la tasa de 7%.
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3-16
Media geométrica
continuación
• Otra aplicación de la media geométrica
es determinar el porcentaje promedio del
incremento en ventas, producción u otros
negocios o series económicas de un
periodo a otro. La fórmula para este tipo
de problema es:
MG 
n
( valor al final del periodo)/(
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valor al inicio
del periodo)
1
3-17
EJEMPLO 8
• El número total de mujeres inscritas en
colegios americanos aumentó de 755 000
en 1986 a 835 000 en 1995.
• Aquí n = 10, así (n - 1) = 9.
MG 
8
835 000 / 755 000  1  . 0127 .
• Es decir, la media geométrica de la tasa
de crecimiento es 1.27%.
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3-18
Media de datos agrupados
• La media de una muestra de datos
organizados en una distribución de
frecuencias se calcula mediante la
siguiente fórmula:
X 
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Xf
f

Xf
n
3-19
EJEMPLO 9
• Una muestra de diez cines en una gran
área metropolitana dio el número total de
películas exhibidas la semana anterior.
Calcule la media de las películas
proyectadas.
X 
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X f
f

X f
n
3-20
EJEMPLO 9
continuación
P elícu las
ex h ib id as
1 -2
frecu en cia
f
1
p u n to m ed io
d e clase X
1 .5
(f)(X )
3 -4
2
3 .5
7 .0
5 -6
3
5 .5
1 6 .5
7 -8
1
7 .5
7 .5
9 -1 0
3
9 .5
2 8 .5
T o tal
10
61/10 = 6.1 películas
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1 .5
61
3-21
Mediana de datos agrupados
• La mediana de una muestra de datos
organizados en una distribución de
frecuencias se calcula mediante la siguiente
fórmula:
• Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)
• donde L es el límite inferior de la clase que
contiene a la mediana, FA es la frecuencia
acumulada que precede a la clase de la
mediana, f es la frecuencia de clase de la
mediana e i es el intervalo de clase de la
mediana.
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3-22
Cálculo de la clase de la mediana
Para determinar la clase de la mediana de
datos agrupados:
• Elabore una distribución de frecuencias
acumulada.
• Divida el número total de datos entre 2.
• Determine qué clase contiene este valor. Por
ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después
determine qué clase contiene el 25° valor (la
clase de la mediana).
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3-23
EJEMPLO 10
P elículas
exhibidas
1-2
F recuencia
1
F recuencia
acum ulada
1
3-4
2
3
5-6
3
6
7-8
1
7
9-10
3
10
• La clase de la mediana es 5 - 6, ya
que contiene el 5° valor (n/2 = 5)
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3-24
EJEMPLO 10
continuación
• De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA
= 3.
• Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) =
6.33
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3-25
Moda de datos agrupados
• La moda de los datos agrupados se
aproxima por el punto medio de la clase
que contiene la frecuencia de clase mayor.
• Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y
9.5. Cuando dos valores ocurren una gran
cantidad de veces, la distribución se llama
bimodal, como en el ejemplo 10.
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3-26
Distribución simétrica
• sesgo cero
media
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moda = mediana =
3-27
Distribución con asimetría positiva
• sesgo a la derecha: media y mediana se
encuentran a la
derecha de la moda.
• moda < mediana < media
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3-28
Distribución con asimetría negativa
• sesgo a la izquierda: media y mediana
están a la izquierda de la moda.
• media < mediana < moda
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3-29
NOTA
• Si se conocen dos promedios de una
distribución de frecuencias con sesgo
moderado, el tercero se puede aproximar.
• moda = media - 3(media - mediana)
• media = [3(mediana) - moda]/2
• mediana = [2(media) + moda]/3
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