FUNCION LINEAL
Problema de aplicación
El número de calorías que se queman en una hora de ejercicio en
una máquina de ejercicios, es una función de la velocidad que se
emplea. Si una persona que se ejercita a una velocidad de 2,5
kilómetros por hora, quema 210 calorías y a 6 kilómetros por hora,
esta persona quemará 370 calorías. Sea C las calorías quemadas en
una hora y V la velocidad de la maquina de ejercicios.
a) Determine la función lineal
b) ¿Cuántas calorías se queman si la persona se ejercita a una
velocidad de 5 kilómetros por hora?
c) Interprete la pendiente
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Calcular distancia y el punto medio entre dos
puntos del plano.
• Identificar la pendiente y coeficiente de posición
en una ecuación de recta dada.
• Representar gráficamente ecuaciones de recta.
• Determinar la pendiente de una recta, dados dos
puntos de ella.
• Determinar la ecuación principal de la recta, dados
dos puntos o dado un punto y la pendiente.
• Determinar si dos rectas son paralelas.
• Determinar si dos rectas son coincidentes.
• Determinar si dos rectas son perpendiculares.
Contenidos
1. Distancia entre dos puntos
1.1 Punto medio
2. La recta
3. Ecuación de la recta
3.1 Ecuación General de la recta
3.2 Ecuación Principal de la recta
3.3 Pendiente de la recta dados dos puntos de ella
3.4 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
3.5 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella
4. Rectas paralelas, rectas coincidentes y
rectas perpendiculares
1. Distancia entre dos puntos
La “distancia” entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1)
y
P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
1.1 Punto Medio
El “punto medio” entre dos puntos del plano
P1 (x1, y1)
y
P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
M=
x1 + x 2 y1 + y 2
,
2
2
Ejemplos:
x1 y1
x2 y2
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
d = 13
x1 y1
x2 y 2
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
M=
-3 + 9 , 4 + -1
2
M = (3, 1,5)
2
M=
x1 + x 2 y1 + y 2
,
2
2
2. La recta
Definición
La gráfica de la figura, es una línea recta y su
representación algebraica está dada por F(x)= ax + b
Ejemplo:
Representación gráfica de:
y = 2x + 3
Si un punto (x,y) pertenece a
esta recta, entonces se debe
-2 1
cumplir la igualdad al reemplazarlo
en la ecuación.
Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x +3
3. Ecuación de la recta
3.1 Ecuación General de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.
Ejemplos:
1.
5x + 6y + 8 = 0
2.
2x - 4y + 7 = 0
3.
-x + 12y - 9 = 0
3.2 Ecuación Principal de la recta
Es de la forma:
y = mx + n
m : pendiente
n : coeficiente de posición
El coeficiente de posición (n), es el punto donde la recta
intersecta al eje Y (0,n).
Ejemplos:
1. En la ecuación y = 2x + 3,
n=3
m=2 y n=3
m=2
-2 1
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (n) es 3 (punto donde la recta intersecta al eje Y).
2. En la ecuación:
a)
y=x–8
m = 1 y n = -8
b)
y = 4x
m=4 y n=0
c)
6x – y+ 13 = 8
Para determinar m y n, primero despejaremos y :
– y = 8 – 13 - 6x
– y = – 5 - 6x
y = 6x + 5
Luego, m = 6 y n = 5.
3. ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en
ecuaciones como: y = 5
y x=2?
Tipos de pendiente
y
y
m>0
m<0
x
y
x
y
m=0
NO existe m
(Indefinida)
x
x
3.3 Pendiente de la recta
La pendiente de la recta que pasa por los puntos:
P1 (x1, y1)
y
P2 (x2, y2)
se obtiene a través de la siguiente fórmula:
m=
y2 – y1
x2 – x1
Ejemplo:
1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos
x1 y1
x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
7 – (-2)
m=
m=
1 – (-4)
9
5
Ejemplo:
2. La pendiente de la recta que pasa por los puntos
x1 y1 x2 y2
(8, 5) y (8, 10) es:
m=
10 – 5
8–8
 m=
5
0
Como el denominador es cero,
la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es
paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.
3.4 Ecuación de la recta,
dado un punto de ella y la pendiente
La Ecuación de la recta que pasa por el punto
P1 (x1, y1) y tiene pendiente “m”,
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
y – y1 = m (x – x1)
Ejemplo:
La ecuación de la recta de pendiente m = -6,
que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3)
y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
3.5 Ecuación de la recta, dados dos puntos
La Ecuación de la recta que pasa por los puntos:
P1 (x1, y1)
y
P2 (x2, y2)
se puede obtener a través de la siguiente fórmula:
y – y1 =
y2 – y1
x2 – x1
(x – x1)
Ejemplo:
La ecuación de la recta que pasa por los puntos
x1 y1
x2 y 2
( 2,-3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – (-3) = 6 – (-3) (x – 2)
5–2
y + 3 = 9 (x – 2)
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
y = 3x – 9
y – y1 =
y 2 – y1
x2 – x1
(x – x1)
4. Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen
igual pendiente y distinto coeficiente de posición.
Ejemplo:
L1: y = 5x +3
(m = 5)
y
L2: y = 5x - 10
(m = 5)
Rectas coincidentes:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son coincidentes si tienen
la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición.
Ejemplo: L1: y = 5x + 4
3
y
L2: y = 5x + 4
3
Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.
Rectas perpendiculares:
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: L1: y = -5x +3
2
y
L2: y = 2x - 10
5
(m = -5 )
2
(m = 2 )
5
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