REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
DISCONTÍNUAS
MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS
EXACTAS, CERRADAS Y
CONTÍNUAS
Enrique Chicurel-Uziel
MOTIVACIÓN
Cuando una función discontínua se expande en series de Fourier, aparecen
oscilaciones espurias en los puntos de discontinuidad introduciendo un error de 9%
que no disminuye por más que se aumente el número de términos de la serie. Esto se
conoce como el fenómeno de Gibbs.
J. Fourier
1768-1830
J. W. Gibbs
1839-1903
Sin embargo…
1913, L. Fejér, desarrolla su método de promedios.
1913 a la fecha, Muchos investigadores proponen una gran variedad de métodos que van
disminuyendo la gravedad de los efectos del fenómeno de Gibbs.
1942, G. C. Danielson, C. Lanczos, método de factores σ, muy citado por investigadores
posteriores.
Hacia 1990 surge un grupo encabezado por D. Gottlieb en la Universidad de Brown que,
entre otros métodos, propone uno que utiliza los polinomios de Gegenbauer.
2003, Aparece el artículo:
B. D. Shizgal, Jae-Hun Jung, Towards the resolution of the Gibbs Phenomena, Journal
of Computational and Applied Mathematics, Vol. 161, No. 1, 2003, pp. 41-65.
que utiliza el método inverso de los polinomios de Gegenbauer.
Durante un tiempo se consideró que el problema del fenómeno de Gibbs había
quedado totalmente resuelto por este método.
2005, Aparece el artículo:
J.P. Boyd, Trouble with the Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs´
phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial approximations, Journal
of Computational Physics, Vol. 204, No.1, 2005, pp. 253-264
que señala serias limitaciones del método de los polinomios de Gegenbauer
En todos los métodos anteriores primero se establece la
serie de Fourier y después, la misma, se reconstruye.
Es decir que se trata de un post procesamiento.
En este trabajo se utiliza un enfoque totalmente diferente.
Si el problema es la discontinuidad,
eliminémosla
pero, sin alterar las características básicas de la función
Escalón unitario de Heaviside
O. Heaviside
1850-1925
h(x,a) = 0
h(x,a) = 1
x<a
x≥a
h(x,a) se utilizará como un “switch”
para prender o apagar funciones
Ejemplo: función DISCONTíNUA
y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2
y(x) = 4
3 ≤ x<7
7 ≤ x < 11
Se puede representar con una sola ecuación:
y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)
Vínculos
Para darle existencia analítica a los vínculos recurrimos a la PARAMETRIZACIÓN
El parámetro u
es la distancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas:
desplazamientos en x de las funciones componentes más
desplazamientos en y de los vínculos
° u=6
u=10
u=2
u=0
.
u=6
Establecimiento gráfico de las funciones paramétricas
Coordenada vs parámetro,
C vs P
x(u)
Función vinculada
e
yy(x)
x
f
b
12
c
d
6
12
16
d
e
c
10
u=6
a
b
8
2
6
d
4
y(u)
y u
u=16
e
u=12
c
10
8
bu=2
2
u=6
6
a
2
u=20 f
4
6
8
10
12
x
4
b
2
a
f
2
5
6
10
12
15
16
Funciones paramétricas
CONTÍNUAS
20
u
Establecimiento analítico de las ecuaciones paramétricas
Gráficas de
Coordenadas vs. parámetro,
C vs P
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTíNUAS
obtenidas a partir de las gráficas
C vs P
x ( u )  h ( u , 0 )  h ( u , 2 )  ( 3 )
Graficación de las
ecuaciones paramétricas
para checar la validez de
las mismas
 h ( u , 2 )  h ( u , 6 )  ( u  1 )
 h ( u , 6 )  h ( u ,12 )  ( 7 )
 h ( u ,12 )  h ( u ,16 )  ( u  5 )
 h ( u ,16 )  h ( u , 20 )  (11 )
 h ( u , 20 )  ( u  9 )
y ( u )  h ( u , 0 )  h ( u , 2 )  ( u )
2

(u  2 ) 
 h ( u , 2 )  h ( u , 6 )   2 

2


 h ( u , 6 )  h ( u ,12 )  (  u  16 )
 h ( u ,12 )  h ( u ,16 )  ( 4 )
 h ( u ,16 )  h ( u , 20 )  (  u  20 )
Se obtiene
la función vinculada,
por lo tanto, las
ecuaciones paramétricas
están correctas.
Expansión directa
en series de Fourier
Viciada por el
10 términos
30 términos
100 términos
fenómeno de Gibbs,
i.e.,oscilaciones espurias
en los brincos
Error = 9%
por más términos
que tenga la serie
Expansión
paramétrica
en series de Fourier
No hay oscilaciones espurias, i. e., no hay fenómeno de Gibbs
Convergencia más rápida
Ascenso y descenso verticales
Con la parametrización, primero se modifica la función original,
después se establece la serie de Fourier.
Se trata de un preprocesamiento.
El fenómeno de Gibbs no se eliminó, sino que, simplemente,
nunca surgió.
Se agradecen las revisiones de la
presentación por parte de:
Carlos Gómez
Paco Godínez
estoica
Gracias por su atención.
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