ANALISIS VECTORIAL
Las magnitudes físicas se pueden clasificar, de una forma general, en
magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
Las magnitudes escalares son aquellas que necesitan un número
real para quedar completamente determinadas. Por ejemplo, la masa,
la densidad, la temperatura, etc.
Las magnitudes vectoriales son aquellas que necesitan para su
determinación un número real o módulo, una dirección y un sentido
sobre la dirección. Por ejemplo, la fuerza, la velocidad, campo eléctrico,
campo magnético, etc. En estas últimas es en donde fijaremos la
atención.
La representación gráfica de una magnitud vectorial es un
segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector
El módulo indica, en la
unidad elegida, el valor
numérico de la cantidad de
la magnitud representada. Al
origen A se le denomina
punto de aplicación.
La dirección es la de
la recta en que está
contenido y el sentido se
representa por una punta de
flecha en su extremo.
Sistema de coordenadas
Es un sistema que permite definir
unívocamente la posición de
cualquier punto
Sistema de coordenadas cartesianas
Sistema de coordenadas cilíndricas
Por lo que podemos definir:
la coordenada z al estar asociada con
la altura del cilindro no cambia.
Cambio de coordenadas cilíndricas a rectangulares
EJEMPLO: Expresar en coordenadas rectangulares el punto
(r, , z)  (4,  / 6,3)
Cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas
EJEMPLO: Expresar el punto (x, y, z)= (1, √3 ,2) en coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
ρ
EJEMPLO: Expresar en coordenadas
rectangulares el punto(  , ,  )  (3,  / 3,  / 6)
EJEMPLO: Expresar en coordenadas esféricas el punto (x,y,z) =(2,2,3)
COMPONENTES Y COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Para referir los desarrollos teóricos y las aplicaciones vectoriales elegimos
como sistema de referencia el cartesiano trirrectangular a derechas, es decir,
el formado por tres ejes (X, Y, Z), perpendiculares dos a dos y orientados de
forma que al girar la cabeza de un sacacorchos en el sentido que de X a Y
por el camino mas corto, la punta avanza en el sentido del eje Z. Este
sistema así definido, también se denomina directo o dextrógiro.
Sobre cada uno de los ejes tomaremos un
vector unitario que denominaremos
respectivamente i, j, k y que constituyen
los vectores fundamentales o base del
sistema de referencia
a x , a y y az
reciben el nombre de componentes escalares de a
el vector a queda expresado en
función de los vectores unitarios,
mediante
a  axi  ay j  azk
El módulo de a es la diagonal del
paralelepípedo recto, es decir
a  a 2x  a 2y  a 2z
El vector unitario en la dirección de a viene dado por
ay
a ax
az
ua   i  j  k
a a
a
a
a
ua
Para determinar la dirección del vector hay que conocer los ángulos ,
 y , que forma con cada uno de los ejes del sistema de referencia
Observando se aprecia que
ay
ax
az
cos 
; cos =
; cos 
a
a
a
a dichos cosenos se les denomina
cosenos directores de a.
Los cosenos directores están
relacionados entre sí, mediante
2
x
2
a 2y
2
a
a
cos2   cos2   cos2  
 2  z2  1
a
a
a
El vector unitario se podrá expresar también como
u a  cos i  cos j  cos  k
es decir, las componentes del vector unitario
son, precisamente, los correspondientes
cosenos directores.
Hallar el vector unitario en la dirección de a
a
a  2i  3j  2k
ua
¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector A(1,m,2) forme un ángulo de 60º con el
eje Z?.
A
Halla el vector unitario de C=3i+4j+5k. Determina el ángulo que forma
con el eje OX
C
Si de un vector se conocen las coordenadas de su extremo Nx N , y N , z N 
y de su origen Mx M , y M , z M 
las componentes del vector se obtienen
restando a las coordenadas de N las de M, es
decir
a  (x N  x M )i  ( y N  yM ) j  ( zN  zM )k
Nx N , y N , z N 
a  a x i  a y j  a zk
a
Mx M , y M , z M 
En este sistema un desplazamiento elemental dr
(elemento diferencial) se puede representar así:
dr = dx i + dy j + dz k
dr
dr
r1
r2
La expresión analítica de la suma de n vectores es:
a1  a1x i  a1y j  a1z k
a2  a 2x i  a 2y j  a 2z k
..................................
..................................
an  a nx i  a ny j  a nz k
a1  a 2  .... a n  (a1x  a 2x  .... a nx )i  (a1y  a 2y  .... a ny ) j
 (a1z  a 2z  .... a nz )k
a1  i  3j - 2 k
a2  2i - 2j  k
a2
a1
La expresión analítica del producto de un escalar por un vector es
ma  m(a x i  a y j  a z k )  ma x i  ma y j  ma z k
ma
a
a
ma
ma
PRODUCTO ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores a y b es un escalar de valor igual al
producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que
forman
a  b  a bcos
a  2i  2 j
bj
a  i  j 2k
b  i  2j  2 k
a  b  a b cos   ??
Si los vectores a y b están expresados en forma analítica, es decir
a  ax i  ay j az k
b  bx i  by j  bz k
a  i  j 2k
b  i  2j  2 k
a  b  axbx  ayby  azbz
a  i  j 2k
b   4j
a  b /(a b)  cos
a  2i  3j
b  - 2i  2 j  2 k
El producto escalar de dos vectores es positivo o negativo según que el
ángulo de las direcciones de los vectores sea agudo u obtuso. Y será nulo
cuando los vectores sean perpendiculares y máximo cuando los vectores
sean paralelos.
Los productos escalares de los vectores unitarios de la base, teniendo en
cuenta lo expuesto anteriormente, valdrán:
ii=jj=kk=1
ij=ji=ik=ki=jk=kj=0
El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo
a  a  a a cos 0  a
2
Demostración de la expresión analítica del producto escalar
a  b  (ax i  a y j  az k )  (bx i  by j  bz k ) =
axbx (i  i)  axby (i  j)  axbz (i  k ) 
a ybx ( j  i)  a yby ( j  j)  a ybz ( j  k ) 
azbx (k  i)  azby (k  j)  azbz (k  k )
a  b  (ax i  a y j  az k )  (bx i  by j  bz k ) =
axbx (i  i)  axby (i  j)  axbz (i  k ) 
a ybx ( j  i)  a yby ( j  j)  a ybz ( j  k ) 
azbx (k  i)  azby (k  j)  azbz (k  k )
a  b  axbx  ayby  azbz
Calcula el producto escalar de los vectores V=3i+5j-k y W(-2,0,4). Determina
el ángulo que forman.
PRODUCTO VECTORIAL.
El producto vectorial de dos vectores a y b, representado por a  b, es otro
vector que coincide con el valor del determinante
a  ax i  ay j az k
i
j
k
a  b  ax
ay
az
bx
by
bz
b  bx i  by j  bz k
obteniéndose la expresión analítica
a  b  (a y b z  a z b y )i  (a z b x  a x b z ) j  (a x b y  a y b x )k
i
j
k
a  2 i  j  3k
a  b  2 1 3
b  4i  3 j  k
4
3
1
a  2i 3 j
b  4i
i
j k
ab  2 3 0
4 0 0
Su dirección es perpendicular al plano definido por
los vectores a y b.
El producto vectorial posee la propiedad
“anticonmutativa”
a  b  (b  a)
a  2i 3 j
i
j k
ab  2 3 0
b  4i
4 0 0
Su módulo es igual al producto de
los módulos, de ambos vectores,
por el seno del ángulo que forman
a  b = a b sen
Hallamos : a  b /(a b)  cos
Su sentido es el del avance de un sacacorchos, cuyo sentido de giro
coincidiera con el que lleve el primer vector a a coincidir con el segundo
vector por el camino mas corto.
Geométricamente, el módulo del producto vectorial representa el área del
paralelogramo formado por los dos vectores como lados
b sen = altura
a = base
a xb
= basealtura =
= área del paralelogramo.
El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo y de
dos vectores perpendiculares es máximo.
Los productos vectoriales de los vectores unitarios de la base que son
perpendiculares entre sí, valdrán
ijk
i  k  j
j k  i
j  i  k
ki  j
k  j  i
i i  j j  k  k  0
Halla el vector unitario perpendicular a los vectores V(1,2,3) y W(-1,0,2).
Dados los vectores A=3i-3j+2k y B(3,4,0), calcular: a) AxB y BxA. b) Un vector de módulo
3 perpendicular al plano formado por A y B. c) (A+B)x(A-B).
Sean los vectores A = 2 i + 3k y B = 3i - j - k . Calcular:
•El vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es 4.
•El vector que tiene la misma dirección y sentido contrario que B y su módulo es 3.
•El ángulo que forman A y B.
Sean los vectores A = - 3j + k y B = i +2 j + k . Representarlos y determinar su módulo.
Calcular además: A + B. Representar. A - B. Representar. El vector que tiene la misma
dirección y sentido que A pero su módulo es 3. El vector que tiene la misma dirección y
sentido contrario que B y su módulo es 4. El ángulo que forman A y B.
Sean los vectores A = 3i -2 j +2 k y B = -i +4 j + 2k . Representarlos y determinar su
módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B.
Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B.
Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en el
plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es perpendicular
a A y B y tiene de módulo 5.
Sean los vectores A =2 k y B =i - j - k . Representarlos y determinar su
módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B.
Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B.
Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en
el plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es
perpendicular a A y B y tiene de módulo 2.
PRODUCTO MIXTO.
Se define el producto mixto de tres vectores como un escalar de valor
a  b  c  a b  c cos  abc sen  cos
El producto mixto será
nulo si los vectores a, b y
c son coplanarios y
también si dos cualquiera
de los vectores son
paralelos.
representa , en valor absoluto, el volumen de un prisma de lados
los propios vectores
Si los vectores a, b y c son
a  ax i  ay j  az k
b  bx i  by j  bz k
c  cx i  cy j  cz k
la expresión analítica del producto mixto coincide con el resultado
del determinante:
i
j
a  ( b  c )  (a x i  a y j  a z k )  b x
cx
k
ax
ay
az
by
bz  bx
by
bz
cy
cz
cy
cz
cx
Halla el producto mixto de los tres vectores
a  2i 3 j
2
b  4i
4 0 0
2 1 2
c  2 i  j  2k
3
0
Halla el producto mixto de los tres vectores
a  2i 3 j
b  4i
c  2 i  j  2k
a  b  c  a b  c cos  abc sen  cos
MOMENTO DE UNA MAGNITUD.
El momento de un vector a aplicado en A respecto de un punto cualquiera
del espacio P MP se define como el producto vectorial de la distancia que
separa a P de A por el vector
M P  PA  a  r  a
siendo su módulo
M P  r a sen   d a
El momento de un vector deslizante respecto de un punto es único y no
depende de la posición del punto de aplicación del vector, siempre que
se mantenga sobre su recta soporte.
M P  r a sen   d a
d
FUNCION VECTORIAL.
En muchos procesos físicos, las magnitudes vectoriales no
permanecen constantes, sino que van variando. Esto quiere decir,
que sí por ejemplo, la expresión analítica de un vector a es
a  ax i  ay j  az k
las componentes del vector no van a ser fijas, sino que pueden
tomar diferentes valores en función de una cierta variable, de tal
modo que, para un valor de la variable corresponda un valor del
vector a, se tiene así una función vectorial, expresándose su
dependencia funcional mediante
a = a(u)
siendo, en este caso, la variable u de carácter escalar, siendo la
más típica el tiempo.
Como la función vectorial a va tomando distintos valores según varíe u
observaremos que sus extremos describen una curva que se denomina
hodógrafa (trayectoria si es el dibujo que hace el extremo del vector de
posición).
Para un incremento de la variable ∆u,
le corresponde un incremento del
vector ∆a dado por
a  a( u  u)  a( u)
Se denomina derivada vectorial de la función a respecto de la variable
u, al límite del cociente entre el incremento del vector y el incremento
de la variable, cuando esta última tiende a cero. Es decir
da
a
a(u  u )  a(u )
 lim
 lim
du u 0 u u 0
u
Si la variable u es el tiempo.
da
a
a(t  t )  a(t )
 lim
 lim
dt t 0 t t 0
t
La derivada es otra función vectorial, que tiene como dirección, la de la
tangente a la hodógrafa
Teniendo en cuenta que a( u )  a x ( u )i  a y ( u ) j  a z ( u )k
y que los vectores unitarios (i, j, k) son fijos nos quedará que
da y
da z
da da x

i
j
k
du du
du
du
Si la variable u es el tiempo.
day
da dax
daz

i
j
k
dt
dt
dt
dt
2i +(2t+4)j en el SI.
La
posición
de
unadepartícula
partícula
viene
dada
por
r=3t
La
Una
posición
partícula
de
tiene
una
masa
2kg
viene
y
sobre
dada
ella
por
actúa
r=3ti
una
fuerza
+ SI.
4k
F=Calcular
en
(2t)i
el +SI.
j la
2
La posición de una partícula viene dada por r=(3t +1)i+2tj
en
el
Determina:
la posición
en los
instantes
t=0; tt=2s
Velocidad
Calcular
+
(t2 + 1)klaen
(N).
velocidad
Halla eleninstante.
vector
cualquier
aceleración,
instante.para
= 1s,y t t=5s.
= 0s yc)para
t = 4s.
velocidad
cualquier
instantánea en los instantes t=2s y t=5s.
Sobre una partícula actúa una fuerza F(x,y)= (2xy2)i + (4y-x)j + x2k (N). Halla el
vector F(0,0) , F(1,0) , F(0,1) , F(1,1) , F(-2,1).
Sea el vector r = (2t2 + t) j + 2tk de una partícula de masa m =3kg Determina
el valor de r para t = 0 y 2s y representar. Calcula también el módulo de dicho
vector en esos instantes ¿qué tipo de movimiento y trayectoria describe ese
móvil?.¿Qué podemos decir acerca de velocidad?. Calcula F, P, L, M en
función del tiempo y particularizar para t = 1s. Comprueba que efectivamente
F = dP/dt y que M = dL/dt.
Sea el vector v(t) =2t i + j . Determina el valor de r(t) sabiendo que para t
= 1 seg la posición de la partícula es (2,1,3).Calcula también el vector a, at, an
en el instante t = 2 seg . ¿Qué tipo de trayectoria y movimiento describe?.
Calcula, en este instante de tiempo, el ángulo que forman v y a y el vector que
se obtiene de efectuar el producto vxa. Si la masa de la partícula es de m =4kg
halla F, P, L, M en función del tiempo y particularizar para t = 1s. Comprueba
que efectivamente F = dP/dt y que M = dL/dt. Halla la energía cinética de la
partícula para t=1s y para t = 3s.
Sea el vector r(t) =(2t2 - 1) i + 2t2 k. Determina el valor de r(t) para t = 0, 1,
2s y representar. Calcula el vector desplazamiento y la velocidad media entre t =
1s y t = 4s . ¿Qué tipo de trayectoria y movimiento describe?. Determina la
velocidad instantánea en los tiempos anteriores. Determina la aceleración y las
componentes intrínsecas para t= 1 seg. Dibujar estos vectores. Si la masa de la
partícula es de m =2kg halla F, P, L, M en función del tiempo y particularizar para t
= 2s. Comprueba que efectivamente F = dP/dt y que M = dL/dt. Halla la energía
cinética de la partícula para t = 1s y para t = 2s.
En las olimpiadas, un atleta en la prueba de los 100m lisos ganó la medalla de
plata con un tiempo de 10s. El atleta usó la siguiente estrategia: acelerar
uniformemente los dos primeros segundos y luego mantener una velocidad
constante hasta el final. Determina: V media de su carrera, V con que cruza la
meta, construye los gráficos x(t), V(t) y a(t).
Dos cuerpos inician una caída libre, partiendo del reposo y desde la misma altura, con
un intervalo de tiempo de 1s. ¿Cuánto tiempo después de que comienza a caer el
primer cuerpo estarán estos separados por una distancia de 10 m.
10m
Un trabajador está pintando una viga de un puente que está 23m sobre una línea férrea.
Un vagón, con su techo a 3m sobre la línea, avanza con una aceleración de 20m/s2. En
cierto instante cae una gota de pintura, que llega al techo del vagón cuándo la velocidad
de éste es de 20m/s. Una segunda gota cae 0,3s después de la primera. Calcula la
distancia entre estas gotas sobre el techo del vagón.
La posición de una partícula está determinada por su vector de posición descrito por:

r t   (3t 2  3)iˆ  (t 2  1) ˆj  4t 2 kˆm.
¿en que instante el vector posición es  a la aceleración?.
¿qué ángulo forma la velocidad con el eje X en t=1 [s]?.
Se lanza horizontalmente una pelota con una velocidad de 2m/s desde
una altura de 20m sobre el suelo. Despreciando la resistencia del aire y
tomando como origen el punto del suelo situado en la vertical del punto de
lanzamiento, calcular: Su posición después de 1s. Tiempo que tarda en
llegar al suelo. Velocidad en ese instante.
después de 1s
20m
Llega al suelo
Un avión desciende con una velocidad de 720 km/h formando un ángulo de 45
con la horizontal. Cuando se encuentra a 400 m del suelo deja caer una bomba.
Calcular: Su posición después de 1 s. El tiempo que tarda en llegar al suelo y su
velocidad.
después de 1s
400m
Llega al suelo
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