El pensamiento geométrico y la
“aplicabilidad” de las matemáticas
Algunas citas
• Paul Dirac: “La matemática es la herramienta especialmente adaptada
para tratar con conceptos abstractos de cualquier tipo, y no hay límites
a su poder en ese ámbito”.
• Einstein, El mundo como yo lo veo (1934):
“Nuestra experiencia hasta el momento
justifica nuestra creencia en que la naturaleza
es la realización de las más simples ideas
matemáticas que cabe concebir. […] La
experiencia sigue siendo, por supuesto, el
único criterio de utilidad de las construcciones
matemáticas. Pero el principio creativo reside
en las matemáticas”.
• El premio Nobel E. P. Wigner escribió Sobre la nada razonable
eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales (1960). Y A.
Einstein: “Lo más incomprensible del mundo es que resulta
comprensible”.
El camino de la
geometrización
Leonardo y Durero;
Galileo y Kepler: el gran libro de Natura está
escrito en formas geométricas;
Descartes: la física se reduce a geometría.
Pero lo de Newton no...
Ό   έ.
Ergo, “homo geometricus”.
Inflexión: el siglo XIX
• La clave: generalización y abstracción de las
nociones mismas de espacio y geometría.
• Doble proceso: dentro de la inicial geometría se
distinguen varios estratos conceptuales o
estructuras (métrica, proyectiva, afín,
topológica), y simultáneamente se formulan
alternativas a muchas de esas estructuras.
• Dos transformaciones prácticamente a la vez,
aprox. entre 1820 y 1850:
– se desarrolla la geometría proyectiva con gran
pujanza,
– y las geometrías no-euclideas de manera algo
subterránea.
Geometrías no euclideas
Bolyai en 1823:
“De la nada, he creado
un nuevo universo."
• El problema del espacio: orígenes con
Descartes, el espacio absoluto de Newton vs. la
visión relacional de Leibniz; intervención de Kant.
• Giro completamente nuevo en el XIX, Gauss:
“debemos conceder con humildad que, si el número es
puramente un producto de nuestro espíritu, el espacio
tiene también una realidad fuera de nuestro espíritu, y
que no podemos prescribir sus leyes completamente a
priori.”
• Observaciones y mediciones geodésicas y
astronómicas: Gauss, Riemann, Schwarzschild...
Geometría proyectiva
• Abstracción: distancia y ángulo no se conservan
bajo transformación proyectiva
• Nociones controvertidas: puntos y línea en el
infinito
• Aspectos metodológicos:
– fenómeno de dualidad,
– contraste entre enfoques sintético y analítico,
– desarrollo independiente de conceptos métricos.
• Exigencias axiomáticas: Pasch, Hilbert, etc.
• Permite fundamentar las geometrías euclidea y
no-euclideas
• Considerada “el todo” de la geometría en el XIX.
¿Cambio de tema?
Matemática de construcciones Matemática de los axiomas
Euclides diagramático:
Hilbert relacional:
Postulamos el trazar una línea
recta de cualquier punto a
cualquier punto.
Dados dos puntos cualesquiera,
existe una recta que pasa por
ambos.
El triángulo mágico:
matemáticas, física y filosofía
“Sobre las hipótesis en
que se funda la
geometría”, 1854 (public.
1868)
• Generaliza la geometría
diferencial de Gauss.
• Libera la idea de
espacio, aspecto filosófico.
• Aplicaciones múltiples.
Diagramas del espacio-tiempo y
de contracción de longitudes por
Minkowski.
Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen (tomado de
Scott Walter).
Reflexiones
• Estructuras matemáticas: modelos posibles de lo
real.
• El aspecto misterioso:
– Dialéctica entre lo real y un mundo ideal?
– Juego del pensamiento y la imaginación, razón
creativa?
• Implicaciones educativas:
– El conocimiento matemático no puede construirse sólo
“desde abajo”: “sumergir” al alumno
– Importancia de repasar las grandes transformaciones
en la Universidad
– Papel de la formación física y aplicada.
Fin... ¿?
José Ferreirós, Noviembre 2006
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