Conceptos básicos de teoría de
campos y ecuaciones en derivadas
parciales
(repaso)
Jesús Carrera
ETSI Caminos
UPC
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Contenido
•
•
•
•
Campos: definiciones y conceptos básicos
Operadores diferenciales: gradiente y tal
Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc
Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Definiciones: Campo, VER
Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico
Ordinario (EGO):
f :
3

d
x  f (x )
d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales
(ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación).
Para las variables que no
tienen sentido físico a nivel
puntual, entenderemos como
valor puntual el límite para
volúmenes decrecientes de
nuestra:
 ( x )  lim
V 0
VER: Volumen elemental representativo, V
mínimo para que  adopte valor estable
V ( x )
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Coordenadas cartesianas.
x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector
que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus
( x , yo, z ) ( x 1 , x ,2 ,que
componentes
x 3 ) son las del vector de posición:
x  xi  y j zk 
x
i
ei  xi ei
i
x2
Cambio de coordenadas
X’ 2
x '1 e '1  x ' 2 e ' 2  x 1e 1  x 2 e 2
e2
e’ 1
e’ 2
x1
x
 x '1 
 co s  se n    x 1 

  x '  P ·x  

 
x
'

se
n

co
s

x

  2
 2
P es una matriz de rotación
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
e1
x1
Tensores
Definición
Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son
independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de
manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas.
Este tipo de magnitudes se llaman tensores.
Ejercicio
Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: v '  P v
Cambio de coordenadas en matrices
Supongase q  K g en el sistema ( x , y ) y q '  K ' g 'en ( x ', y ')
Sustituyendo q '  P q g '  P g
Resuta
1
K  P K 'P
Analogamente
K '  P K P
1
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Valores principales. Círculo de Mohr
Direcciones principales
Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se
obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación  p
tg 2  p 
Valores principales
Los valores de la diagonal
del tensor en los ejes
principales:
2 K 12
K 11  K 22
Círculo de Mohr
Método gráfico de cálculo de direcciones y
valores principales
KI  Km  d
K II  K m  d
Km 
d 
K 11  K 22
2
2
K 12
 K  K 22 
  11

2


2
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Campo escalar
Definición
Función escalar definida sobre el EGO: f :
3

Ejemplos
Temperatura, presiones, viscosidad, etc
Visualización
Depende de la dimensión del
EGO.
1-D: f vs x
2 ó 3-D curvas o superficies
de igual valor del campo:
curvas de nivel, isopiezas,
isotermas, isobaras, etc.
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Campo Vectorial
Definición
Función vectorial definida sobre el EGO: f :
n

n
, n  1, 2 ó
3
Visualización
Casi solo en 2D.
•mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del
vector y orientadas según su dirección
•mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En
fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza.
Ejemplos
Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc
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Campo Tensorial
Definición
Función tensorial definida sobre el EGO:f :
n

nn
, n  1, 2 ó
3
Visualización
Difícil
Mediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes
iguales a la raíz de los valores principales
Ejemplos
conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones
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Gradiente
Definición
Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial
es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por:
 h / x1 


g ra d h   h   h /  x 2


 h / x 
3 

Propiedades
Su dirección es la de máxima
pendiente (la de máxima variación del
campo), su módulo es la variación de
por unidad de longitud. Cumple:
Ejemplo
Perpendicular a las isolineas de h
Orientado en el sentido creciente de
las isolineas
Tanto mayor cuanto mayor cuanto más
juntas estén las isolineas.
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Divergencia
Definición
Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por:
 f1
 

  
d iv ( f )    f  
,
,
  f2
 x1 x 2 x 3  
 f3

 f3
 f1
 f2
 fi





 x
x 2
x 3
x i
1


Propiedades
Si f representa un flujo de materia,
sus derivadas indican cómo varía
el flujo de materia por unidad de
longitud
en
cada
dirección
coordenada.
Por
ello,
la
divergencia es la variación de
materia almacenada (o diferencia
entre salidas y entradas) por
unidad de volumen.
Ejemplo
f1 ( x )  0,1 x 1
f2  x   0
 f 
x2 f
1
2 x 1

 f2
x 2
 0,1  0  0,1
1
-1
1
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2
3
x1
Rotacional
Definición
El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales.
Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo
vectorial:
 / x1
f1 e 1
ro t f    f   /  x 2
f2
 / x 3
f3
 f
  f1
 f3
 f2 
e


e2   3 
 1 

x

x
x1
2
3 

 x 3
e3
Ejemplo
Propiedades
gradiente
irrotacional:
de
f1  x 2
x2
f2   x 1
Indica la tendencia (local) a rotar del
campo. Es decir, es un campo igual
al aumento lateral del campo original
por unidad de longitud. Se orienta,
según la regla de la mano derecha.
El

  f2
 f1 
e


 2 
 e3
 x1 x 2 

un
campo
2
f3  0
  f  2e 3
1
es
-1
1
rot (Ingeniería
gradf ) Geoambiental.
0
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2
3
x1
Laplaciano
Definición
Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la
divergencia del gradiente
  / x1 
2
2
2







h

h

h


2
h   h  
,
,


   / x 2  f  
2
2
2 

x

x

x

x

x

x
2
3 
2
3 
 1
 1


/

x
3 

Propiedades
Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un
campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia.
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Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano



  / x1 



J a c ( f )  J ( f )    f   /  x 2  ( f1, f 2 , f3 )  



  / x 
3





 f1
 f2
x1
x1
 f1
 f2
x 2
x 2
 f1
 f2
x 3
x 3



  / x1 


 

  
H( h )     h   /  x 2  


h  


x
x 2
x 3 

  / x   1
3 





 f3 

x1

 f3 

x 2 
 f3 

 x 3 
 h
 h
x1
2
 x 1 x 2
 h
2
 h
x 2 x1
x 2
2
2
2
2
 h
2
 h
x 3 x1
x 3x 2
2
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

 x 1 x 3

2
 h 

x 2x 3 
2

 h

2 
x 3 
 h
2
Flujo. Teorema de la divergencia
Flujo
G
f cantidad por unidad de superficie
W
f·n cantidad por unidad de superficie de G
n
f
Flujo de f a través de G: Cantidad total que
pasa (entradas-salidas) F  f  n d G

Teorema de la divergencia

G
f ndG 

W
  f dW
•Da sentido a la divergencia
•Se emplea mucho para establecer balances
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G
Identidades de Green
Primera Identidad de Green
Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce
del teorema de la divergencia tomando f   g . Hay que tener en cuenta,
además, que:   f    ( g )     g     g , con ello resulta:

W
  g dW 

G
 g n d G 

W
g   dW
Segunda Identidad de Green
Se toma un campo escalar y tal que g   y
identidad quedaría como:

  y dW 
2
W

G
  y n d G 

W
, entonces la primera
   y d W
Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la
segunda identidad de Green:

(  y  y   ) d W 
2
W
2

G
(  y  y   )  n d G
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Circulación. Teoremas de Stokes y de Green
Circulación
L
circulación de un campo vectorial a lo largo
de una curva es la integral del mismo sobre
dicha curva
C 
f td l
G

t
f
Teorema de Green
Teorema de Stokes
Dada una superficie de borde L, la
circulación de un campo a lo largo
del borde es igual al flujo del
rotacional del campo a traves de la
superficie

G
  f n
L
dG 

Versión 2-D del Teorema de
Stokes

L
( f1 d x 1  f 2 d x 2 ) 

G
f  t dl
L
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
(
 f2
x1

 f1
x 2
)d G
EDP’s de primer orden: Acumulación
EDP
El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene
dado por:
u
a ( x,t )
t
 f ( x,t )
Integración
u (t )  u (t0 ) 

t
0
f (t )
dt
a(t )
Si a y f son constantes queda:
u ( x, t )  u ( x, t0 ) 
f
a
(t  t0 )
5500
c onc e ntra c ión (unid. a rb .)
c o n c e n tra c ió n (u n id . a rb .)
La integración es trivial por
separación
In ic ia l
4400
In ic ia l + a (t-t0 )
In ic ia l
3300
2200
1100
00
00
550
0
1100
00
1150
50
ista
tannccia
ia (u
(unnid
id a d e s a rb itra
ddis
itraria
riass))
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
2200
00
EDP’s de primer orden: Degradación
EDP
La degradación de materia orgánica (u) puede estar
limitada por la propia concentración, u, o por la
disponibilidad de aceptadores de electrones. En el
primer caso, el balance de materia orgánica en un
du
volumen a es l=b/a):
dt
 lu  0
Vel.
degrad.
1
b
u
Integración
La integración es trivial por
du
separación:
  l (t ) d t
u
Integrando, queda:
t
ln u  I ( t )    l ( t ) d t  K
t0
Imponiendo condiciones iniciales:
u  u 0e
I (t )
c o n c e n tra c ió n (u n id a d e s a rb .)
40
In ic ia l
30
In ic ia l*e xp (-a (t-t0 ))
20
10
Si les constante (1/ les la vida
0
50
100
150
 l (t t )
media): u ( x , t )  u ( x , t 0 )e Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI
d is ta n c ia (a rb itra ria s u n id a d e s )
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería
Caminos, UPC
0
0
200
EDO’s de primer orden lineales
EDO
Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son
a y existe degradación con constante l, el balance es: d u
lu  f
dt
Integración
Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante
de integración como variable u  C ( t )e  I ( t )
Sustituyendo en la ecuación original y simplificando:
C '( t )e
I(t )
 f (t )
l
u
Integrando de nuevo:
C (t ) 
 f (t ) e
I(t )
u
dt  D
u0
t
Imponiendo condiciones iniciales para determinar D:
u (t )  u 0e
 l ( t  t0 )

f
1  e  l ( t  t 0 ) 

l 
u ( t )  u   ( u 0  u  )e
 l ( t  t0 )
u  esy la
donde
solución
estacionaria.
Tema
1. Campos
EDP’s.
Ingeniería
Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas
EDP
a ( x,t )
Coefs. ctes.
u
t
 q ( x,t )
u
x
Si q y a son constantes y hacemos
v=q/a, y desarrollamos la derivada,
queda: d u ( x , t )
u d x
u
 f ( x,t )
concentración
40
dt
vt

x

dt

t
Con d x / d t  v
30
20
Si esta ecuación define la trayectoria
( x  x 0  vt )
10
La ecuación queda:
du
0
dt
Cuya solución es: u ( x ( t ), t )  u 0 ( x 0 )
0
0
50
100
150
d istancia (m )
200
O
u ( x , t )  u ( x  vt )  u 0 ( x  vt )
Coefs. variables
x (t )  x 0 
u 
dx   du
f 
   0 conduce a
v 

x 
dt   dt
a
u ( x ( t ), t )  u 0 ( x 0 , t 0 ) 
t

vdt
t0
t
f ( x ( t ), t )

Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPCa ( x ( t ), t )
t0
dt
El término difusivo. Ecuaciones parabólicas
Ecuación de difusión
Gobierna la difusión de solutos y
gases, la conducción de calor,
2
etc:
u
 u
a
t
D
x
 
x
la ecuación queda
a
2 d
2
D
d u
d
2
x
tD 
L
u
t
 du
xD 
Dt
aL
2
Donde L es una long. característica.
Sustituyendo, queda:
2
Transf de Boltzman
Haciendo el cambio:
Adimensionalización
0
Es decir, la EDP se transforma en
EDO, lo cual es útil para
resolverla (es un truco habitual)
tD
 u
2

x D
2
Esto es importante, porque pone de
manifiesto que la solución solo
depende de xD y tD. En particular, el
estacionario, si lo hay, suele
alcanzarse para tiempos del orden
de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo
característico del fenómeno
modelado). Ver siguiente transp.
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno
Problema
Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia
2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0.
u ( x, 0 )  0
u (L, t )  u 0
Solución
Por separación de
u
variables
u0



n 0
 (2 n  1) 2  D t 
(2 n  1) x
e xp  
co
s

2
(2 n  1)
4
a
L
2L


(  1)
n
tD=0.3
tD=0.4
tD=0.8
u/ u0

4
placa
tD=0.1
tD=.01
esfera
cilindro
tD=0.1
tD=0.1
tD=.01
Tema 1. Camposx/L
y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
tD=.01
Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.
Problema
Difusión, en medio infinito de una masa M.
Solución
u 
M
a 2
 x
e xp  

 2
2
2



Para dimensiones n=1, 2 ó 3
u 
M
a (2  )
u mx 
2
n/2
 x2  y 2  z2 
e xp  

2
2



a
 x
30
20
10
0
0
50
M
a ( 4 D t / a )
M
40
c onc e ntra c ión
Campana de Gauss de área M/a
y desviación tipo   2 D t / a
u  x,0  
100
150
d is ta n c ia (m )
n/2
uSe
conc. max.
m x reduce
propordinalmente a 1 / t n / 2
La
Si x  3   3 2 D t / a , u  0
Es decir,
Dt
a
x
2
 tD 
1
18
Empieza
enterarse
para tD>0.5
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing.
Geológica.aETSI
Caminos, UPC
200
Transporte
a
u
t
  (D  u )  q  u  l u  f
inic ial
tració
cco
o nn
n tra
c ió nn
co
ncc
ceen
en
tració
n
444000
tras dis pers ión

33300
l0
t 
u e
f t 
a 2

tras
acumulación
Tras
advección
Tras
degradación
Tras
dispersión
advec c ión
Condicióntras
inicial
tras degradac ión
M
n/2
Dt /a


 1

t

1
e xp   ( x  v t ) ( D ttras
/ a )ac um
( x ulac
 vión
t ) 
 2


222000
11110000
0000
000
0
55550
000
111
1000000
00
dd
distan
istan
istancia
cia
cia (m
(m
(m)))
1111555
0
5000
d is ta
c ia (mETSI
) Caminos, UPC
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental.
Ing.nGeológica.
222200000000
u e
 lt


f t 
a

M
2
n/2
Dt

 1

t
1
e xp   ( x  v t ) ( D t ) ( x  v t )  
 2


Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
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